Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014 - CorrectionSpécialité

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Spécialité  5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A : préliminaires

1. 1. Soient $n$ et $N$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : \[n^2 \equiv N -1\quad \text{modulo}\: N.\] Montrer que : $n \times n^3 \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: N$.
   $n \times n^3 = \left(n^2 \right)^2 \equiv (N-1)^2 [N]$
   
   
   Or $(N-1)^2 = N^2 - 2N + 1 \equiv 1 [N]$
   
   
   Donc $n \times n^3 \equiv 1 [N]$
   
   
   1. Déduire de la question précédente un entier $k_{1}$ tel que: $5k_{1} \equiv 1\quad \text{modulo}\:\: 26$. On admettra que l'unique entier $k$ tel que : $ 0 \leqslant k \leqslant 25$ et $5k \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: 26$ vaut 21.
   $5^2 = 25 \equiv 26 - 1 [26]$
   
   
   Donc $5 \times 5^3\equiv 1 [26]$
   
   
   par conséquent $k_1 = 5^3= 125$
2. On donne les matrices : $A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 3&4\end{pmatrix},\: X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$.
   1. Calculer la matrice $6A - A^2$.
   $A^2 = \begin{pmatrix}19&6 \\18&7 \end{pmatrix}$
   
   
   Donc $6A - A^2 = \begin{pmatrix} 5&0 \\0&5 \end{pmatrix}$ $=5I$
   
   
   1. En déduire que $A$ est inversible et que sa matrice inverse, notée $A^{- 1}$, peut s'écrire sous la forme $A^{-1} = \alpha I + \beta A$, ou $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels que l'on déterminera.
   On a donc $ A(6I - A) = 5I$
   
   
   La matrice $A$ est donc inversible, d’inverse $A^{-1} =\dfrac{1}{5}(6I - A)$
   
   
   1. Vérifier que : $B = 5A^{-1}$.
   $6I - A = \begin{pmatrix} 2&-1\\-3&4 \end{pmatrix}$
   
   
   Donc $B = 5A^{-1}$.
   
   
   1. Démontrer que si $A X = Y$, alors $5X = B Y$.
   $$ \begin{array} AX=Y & \Leftrightarrow X=A^{-1}Y\\ & \Leftrightarrow X = \dfrac{1}{5}BY\\ &\Leftrightarrow 5X = BY \end{array} $$

« ET » est remplacé par $X = \begin{pmatrix} 4\\19 \end{pmatrix} $
Donc $Y = AX = \begin{pmatrix} 35\\50 \end{pmatrix}$
Par conséquent $R = \begin{pmatrix} 9\\24 \end{pmatrix}$
Donc « ET » est codé par « JY »

Partie C : procédure de décodage

(on conserve les mêmes notations que pour le codage) Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ telle que : $Y = A X$.

1. Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} 5x_{1} &=& \phantom{-}2y_{1} - y_{2}\\ 5x_{2} &=&- 3y_{1} + 4y_{2} \end{array}\right..$

 

$$\begin{array} Y = AX & \Leftrightarrow X = A^{-1}Y\\ &\Leftrightarrow 5X = BY\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 5x_1=2y_1-y_2\\5x_2=-3y_1+4y_2 \end{cases} \end{array}$$
1. En utilisant la question 1. b. de la \textbf{partie A}, établir que: \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv&16y_{1} + 5y_{2}\\ x_{2}&\equiv&15y_{1} + 6y_{2} \end{array}\right. \quad \text{modulo}\:\: 26\]
D’après la question 1.b de la partie A on a $5 \times 21 \equiv 1 [26]$

 

Donc en multipliant les $2$ lignes du système précédent par $21$ on obtient :

 

$$\begin{cases} 21 \times 5x_1=42y_1- 21y_2\\21 \times 5x_2=-63y_1+84y_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 \equiv 16y_1+5y_2 [26]\\x_2 \equiv 15y_1+6y_2 [26] \end{cases}$$

 

1. Décoder le mot «   QP »  .
« QP » est associé à $\begin{pmatrix} 16\\15 \end{pmatrix}$

 

Donc $$\begin{cases} x_1 \equiv 16y_1+5y_2 [26]\\x_2 \equiv 15y_1+6y_2 [26] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 \equiv 331 [26]\\x_2 \equiv 330 [26] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = 19\\x_2 = 18 \end{cases}$$

 

Le mot de départ est donc « TS »