Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014 - CorrectionSpécialité

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Spécialité  5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A : préliminaires

          1. Soient $n$ et $N$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : \[n^2 \equiv N -1\quad \text{modulo}\: N.\] Montrer que : $n \times n^3 \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: N$.
          2. $n \times n^3 = \left(n^2 \right)^2 \equiv (N-1)^2 [N]$

            Or $(N-1)^2 = N^2 - 2N + 1 \equiv 1 [N]$

            Donc $n \times n^3 \equiv 1 [N]$

          1. Déduire de la question précédente un entier $k_{1}$ tel que: $5k_{1} \equiv 1\quad \text{modulo}\:\: 26$. On admettra que l'unique entier $k$ tel que : $ 0 \leqslant k \leqslant 25$ et $5k \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: 26$ vaut 21.
          2. $5^2 = 25 \equiv 26 - 1 [26]$

            Donc $5 \times 5^3\equiv 1 [26]$

          par conséquent $k_1 = 5^3= 125$
      1. On donne les matrices : $A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 3&4\end{pmatrix},\: X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$.
          1. Calculer la matrice $6A - A^2$.
          2. $A^2 = \begin{pmatrix}19&6 \\18&7 \end{pmatrix}$

            Donc $6A - A^2 = \begin{pmatrix} 5&0 \\0&5 \end{pmatrix}$ $=5I$

          1. En déduire que $A$ est inversible et que sa matrice inverse, notée $A^{- 1}$, peut s'écrire sous la forme $A^{-1} = \alpha I + \beta A$, ou $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels que l'on déterminera.
          2. On a donc $ A(6I - A) = 5I$

            La matrice $A$ est donc inversible, d’inverse $A^{-1} =\dfrac{1}{5}(6I - A)$

          1. Vérifier que : $B = 5A^{-1}$.
          2. $6I - A = \begin{pmatrix} 2&-1\\-3&4 \end{pmatrix}$

            Donc $B = 5A^{-1}$.

        1. Démontrer que si $A X = Y$, alors $5X = B Y$.
        2. $$ \begin{array} AX=Y & \Leftrightarrow X=A^{-1}Y\\ & \Leftrightarrow X = \dfrac{1}{5}BY\\ &\Leftrightarrow 5X = BY \end{array} $$
Partie B : procédure de codage

Coder le mot «   ET »  , en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

  • Le mot à coder est remplacé par la matrice $X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$, où $x_{1}$ est l'entier représentant la première lettre du mot et $x_{2}$ l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous : $$\begin{array}{}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array}$$
  • La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}$ telle que : $Y = AX$.
  • La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}$, où $r_{1}$ est le reste de la division euclidienne de $y_{1}$ par 26 et $r_{2}$ le reste de la division euclidienne de $y_{2}$ par 26.
  • Les entiers $r_{1}$ et $r_{2}$ donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

Exemple : «   OU »   (mot à coder) $\to X \begin{pmatrix}14\\20\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}76\\82\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}24\\4 \end{pmatrix} \to $ «   YE »   (mot codé).

« ET » est remplacé par $X = \begin{pmatrix} 4\\19 \end{pmatrix} $
Donc $Y = AX = \begin{pmatrix} 35\\50 \end{pmatrix}$
Par conséquent $R = \begin{pmatrix} 9\\24 \end{pmatrix}$
Donc « ET » est codé par « JY »

Partie C : procédure de décodage

(on conserve les mêmes notations que pour le codage) Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ telle que : $Y = A X$.

      1. Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} 5x_{1} &=& \phantom{-}2y_{1} - y_{2}\\ 5x_{2} &=&- 3y_{1} + 4y_{2} \end{array}\right..$

 

        $$\begin{array} Y = AX & \Leftrightarrow X = A^{-1}Y\\ &\Leftrightarrow 5X = BY\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 5x_1=2y_1-y_2\\5x_2=-3y_1+4y_2 \end{cases} \end{array}$$
      1. En utilisant la question 1. b. de la \textbf{partie A}, établir que: \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv&16y_{1} + 5y_{2}\\ x_{2}&\equiv&15y_{1} + 6y_{2} \end{array}\right. \quad \text{modulo}\:\: 26\]
      2. D’après la question 1.b de la partie A on a $5 \times 21 \equiv 1 [26]$

 

        Donc en multipliant les $2$ lignes du système précédent par $21$ on obtient :

 

        $$\begin{cases} 21 \times 5x_1=42y_1- 21y_2\\21 \times 5x_2=-63y_1+84y_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 \equiv 16y_1+5y_2 [26]\\x_2 \equiv 15y_1+6y_2 [26] \end{cases}$$

 

      1. Décoder le mot «   QP »  .
      2. « QP » est associé à $\begin{pmatrix} 16\\15 \end{pmatrix}$

 

        Donc $$\begin{cases} x_1 \equiv 16y_1+5y_2 [26]\\x_2 \equiv 15y_1+6y_2 [26] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 \equiv 331 [26]\\x_2 \equiv 330 [26] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = 19\\x_2 = 18 \end{cases}$$

 

        Le mot de départ est donc « TS »
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