Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014 - Exercice 4

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Exercice 4  5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points : \[\text{A}(1 ; 2 ; 7),\quad \text{B}(2 ; 0 ; 2),\quad \text{C}(3 ; 1 ; 3),\quad \text{D}(3 ;  -6 ; 1) \:\:\text{et E}(4 ; -8 ; -4).\]

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit $\vec{u}(1 ; b ; c)$ un vecteur de l'espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels.
   1. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vec{u}$ soit un vecteur normal au plan (ABC).
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $x - 2 y + z - 4 = 0$.
   3. Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
3. On considère la droite $\mathcal{D}$ de l'espace dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& \phantom{-}2t+3\\ y& =& - 4t + 5\\ z& =&\phantom{-}2t-1 \end{array}\right. \: \text{où}\: t\: \text{est un nombre réel.}\]
   1. La droite $\mathcal{D}$ est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
   2. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC).
4. Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).