Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9$\,\%$ des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. A l'issue des tests, il est noté que

  • 96$\,\%$ des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
  • 97$\,\%$ des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note

  • $N$ l'évènement : « la peluche répond aux normes en vigueur » ;
  • $A$ l'évènement : « la peluche est acceptée à l'issue des tests ».

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
  2. Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est 0,8763 .
  3. Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.

 

Partie B

On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.


  1. On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de $\lambda$.
  2. On prendra ici $\lambda = 0,1733 $. Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.

 

Partie C

Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intér êt des enfants pour ce jouet. A la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$ jours.


  1. Soit $X = \frac{J - 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
  2. On sait que $P(J \leqslant 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche.

 


Correction de l'exercice 1 (6 points)


Commun à tous les candidats


Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9$\,\%$ des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. A l'issue des tests, il est noté que

  • 96$\,\%$ des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
  • 97$\,\%$ des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note

  • $N$ l'évènement : « la peluche répond aux normes en vigueur » ;
  • $A$ l'évènement : « la peluche est acceptée à l'issue des tests ».

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
  2. Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est 0,8763 .
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $$\begin{array} {ll}p(A) &= p(N \cap A) + p\left(\overline{N} \cap A \right) \\ &= 0,91 \times 0,96 + 0,09 \times 0,03 \\ &= 0,8763 \end{array}$$
  4. Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.
  5. On veut calculer $p_A(N) = \dfrac{p(A\cap N)}{p(A)}$ $=\dfrac{0,91 \times 0,96}{0,8763}$ $\approx 0,9969$

 

Partie B

On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.


  1. On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de $\lambda$.
  2. $P(D \le 4) = 0,5$ signifie que la probabilité qu’une peluche « vive » moins de $4$ ans est de $0,5$.
    $\quad$
    On a ainsi $1- \text{e}^{-4\lambda} = 0,5$ $\Leftrightarrow -4\lambda = \ln 0,5$ $\Leftrightarrow \lambda = -\dfrac{ \ln 0,5}{4}$
  3. On prendra ici $\lambda = 0,1733 $. Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.
  4. On veut calculer $P_{D\ge 3}(D \ge 8) $ $=P_{D \ge 3}(D \ge 3 + 5)$ $=P(D \ge 5)$ $= \text{e}^{-5\lambda}$ $\approx 0,4204$ (durée de vie sans vieillissement).

 

Partie C

Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intér êt des enfants pour ce jouet. A la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$ jours.

  1. Soit $X = \frac{J - 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
  2. Puisque $X=\dfrac{J-\mu}{\sigma}$, $X$ suit la loi normale centrée réduite.
  3. On sait que $P(J \leqslant 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche.
  4. $$\begin{array}{ll} P(J \le 385) = 0,975 & \Leftrightarrow P(J – 358 \le 27) = 0,975 \\ & P\left(\dfrac{J – 385}{\sigma} \le \dfrac{27}{\sigma}\right) = 0,975 \\ \end{array}$$
    Par conséquent, en utilisant la calculatrice, on obtient $\dfrac{27}{\sigma} \approx 1,96$ et $\sigma \approx 14$.

 


Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~; + \infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
  2. Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~; + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~; + \infty[$.

On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ a aussi été tracée.


Partie B

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

  1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
  3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
    1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
    2. On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.

Partie C

On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\] Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il calcule $S_{100}$.

Annexe 1 Exercice 2 Partie B , question 1

Annexe 2 Exercice 2 Partie C

$$\begin{array}{|l|}\hline \text{ Déclaration des variables :}\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} S \text{ et } u \text{ sont des nombres réels}\\ k \text{ est un nombre entier} \end{array}\\ \text{Initialisation : }\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ S \text{ prend la valeur }\ldots \ldots\\ \end{array}\\ \text{ Traitement : }\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} \text{Pour } k \text{ variant de 1 à } \ldots.\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } u \times \text{e}^{- u}\\ S \text{ prend la valeur } \ldots.\\ \end{array}\\ \text{Fin Pour }\\ \text{ Afficher } \ldots \ldots\\ \end{array}\\ \hline \end{array}$$

 


Correction de l'exercice 2 (6 points)


Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~; + \infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
  2. $f(x) = -\left(-x\text{e}^{-x}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} x\text{e}^{x} = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
  3. Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~; + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~; + \infty[$.
  4. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    $f'(x) = \text{e}^{-x} – x\text{e}^{-x} = (1-x)\text{e}^{-x}$.
    La fonction exponentielle est toujours positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$.
    Or $1-x \ge 0$ $\Leftrightarrow x <1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ a aussi été tracée.


Partie B

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

  1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
  3. Initialisation : $u_0=1 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 0$.
    On a $u_{n+1} = f(u_n) = u_n \text{e}^{-u_n}$.
    La fonction exponentielle est toujours strictement positive.
    Un produit de nombre strictement positif est strictement positif.
    Par conséquent $u_{n+1} >0$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n > 0$.
  4. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
  5. $u_{n+1} – u_n $ $= u_n \text{-u_n} – u_n $ $= u_n\left(\text{e}^{-u_n} – 1\right)$.
    D’après la question précédente, $u_n > 0$ donc $\text{e}^{-u_n}-1 <0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n <0$.
    La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
    1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
    2. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
    3. On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
    4. $x\text{e}^{-x} = x $ $\Leftrightarrow x\text{e}^{-x}-x = 0$ $ \Leftrightarrow x\left(\text{e}^{-x} -1\right) = 0$ $\Leftrightarrow x= 0$ ou $ \text{e}^{-x} – 1 = 0$ $\Leftrightarrow x=0$
      La limite de la suite $(u_n)$ est donc $0$.

Partie C

On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\] Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il calcule $S_{100}$.

Annexe 2 Exercice 2 Partie C

$$\begin{array}{|l|}\hline \text{ Déclaration des variables :}\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} S \text{ et } u \text{ sont des nombres réels}\\ k \text{ est un nombre entier} \end{array}\\ \text{Initialisation : }\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ S \text{ prend la valeur }\ldots \ldots\\ \end{array}\\ \text{ Traitement : }\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} \text{Pour } k \text{ variant de 1 à } \ldots.\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } u \times \text{e}^{- u}\\ S \text{ prend la valeur } \ldots.\\ \end{array}\\ \text{Fin Pour }\\ \text{ Afficher } \ldots \ldots\\ \end{array}\\ \hline \end{array}$$

Déclaration des variables :
$\quad$ $S$ et $u$ sont des nombres réels
$\quad$ $k$ est un nombre entier
Initialisation :
$\quad$ $u$ prend la valeur $1$
$\quad$ $S$ prend la valeur $1$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $100$
$\qquad$ $u$ prend la valeur $u\times \text{e}^{-u}$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $S+u$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Afficher $S$

$\quad$


Exercice 3 3 points


Fonctions

On considère l'équation $\left(E_{1}\right)$ : \[\text{e}^x - x^n = 0\] où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.


  1. Montrer que l'équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l'équation $\left(E_{2}\right)$ : \[\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0.\]
  2. Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\left(E_{1}\right)$ admet-elle deux solutions ?

 


Correction de l'exercice 3 (3 points)


Commun à tous les candidats


Fonctions

On considère l'équation $\left(E_{1}\right)$ : \[\text{e}^x - x^n = 0\] où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.


  1. Montrer que l'équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l'équation $\left(E_{2}\right)$ : \[\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0.\]
  2. $$\begin{array} {ll}\text{e}^x – x^n = 0 &\Leftrightarrow \text{e}^x=x^n \\ &\Leftrightarrow x = n \ln (x) \\ &\Leftrightarrow \ln(x) = \dfrac{x}{n} \\ &\Leftrightarrow \ln(x) – \dfrac{x}{n} = 0 \end{array}$$
  3. Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\left(E_{1}\right)$ admet-elle deux solutions ?
  4. Soit $f_n$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f_n(x)=\ln(x) – \dfrac{x}{n}$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f_n'(x) = \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{n}= \dfrac{n}{nx} – \dfrac{x}{nx}=\dfrac{n-x}{nx}$.
    On travaille sur $]0; +\infty[$, donc $x>0$, par ailleurs $n$ est un entier strictement positif;
    Ainsi $f_n'(x)$ a le signe de $n-x$. $f_n'(x) >0 \Leftrightarrow x < n$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\lim\limits_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) = -\infty$
    $f(x) = x\left(\dfrac{\ln(x)}{x} – \dfrac{1}{n} \right)$.
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$.
    $\quad$
    $\ln n -1 > 0 \Leftrightarrow n > \text{e}$.
    Par conséquent si $n \le 2$, $f_n(x) < 0$ et l’équation $(E_2)$ n’aura pas de solution.
    Si $n \ge 3$, la fonction $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc continue .
    Sur $]0;n[$ la fonction est strictement croissante.
    $\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) =-\infty$ et $f_n(n) >0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f_n(x) = 0$ possède une unique solution.
    $\quad$
    Sur $]n;+\infty[$, la fonction $f_n$ est strictement décroissante.
    $f_n(n) >0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$.
    D’après le théorème de la bijection l’équation $f_n(x)=0$ possède une unique solution.
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $(E_2)$, et donc $(E_1)$ possède deux solutions si, et seulement si, $n \ge 3$

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.


On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe \[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]

  1. Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
  2. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $f(z) = 5$. Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents.
  3. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$. Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
  4. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie \[|f(z) - 8| = 3.\] Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Tracer (F) sur le graphique.
  5. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
    1. Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
    2. On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l'annexe en traà§ant ces droites.
  6. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).

 


Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.


On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe \[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]

  1. Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
  2. $$\begin{array}{ll} f\left(-1+\text{i}\sqrt{3}\right) &= \left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^2 + 2\left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right) + 9 \\ &=1 -2\sqrt{3}\text{i} – 3 – 2 +\sqrt{3}\text{i} + 9 \\ &= 5 \end{array}$$
  3. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $f(z) = 5$. Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents.
  4. $f(x) = 5 \Leftrightarrow z^2+2z+4 = 0$
    $\Delta = 2^- 4 \times 4 = -12$
    Il y a donc deux racines complexes : $z_1 = \dfrac{-2 -\text{i}\sqrt{12}}{2} = -1 – \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \overline{z_1} = -1 + \text{i}\sqrt{3}$
    $|z_1| = \sqrt{1 + 3} = 2$.
    Donc $z_1 = 2\left(-\dfrac{1}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = 2\text{e}^{-2\text{i}\pi/3}$ et $z_2 = 2\text{e}^{2\text{i}\pi/3}$
    $\quad$
  5. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$. Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
  6. $f(z)=\lambda$ $\Leftrightarrow z^2+2z+9-\lambda$
    $\Delta = 2^2 – 4(9-\lambda) $ $= 4 – 36 + 4\lambda$ $=4(-8 + \lambda)$.
    L’équation $f(z)=\lambda$ possède donc deux solutions complexes conjuguées si, et seulement si, $\lambda <8$.
  7. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie \[|f(z) - 8| = 3.\] Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Tracer (F) sur le graphique.
  8. $|f(z)-8|=|z^2 + 2z + 1| $ $= \left|(z+1)^2\right|$ $ = |z+1|^2$.
    Par conséquent $|f(z)-8|3 \Leftrightarrow |z+1| = \sqrt{3}$.
    $(F)$ est donc bien le cercle de centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
  9. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
    1. Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
    2. $$\begin{array}{ll} f(x+\text{i}y) &= \left(x+\text{i}y\right)^2+2(x+\text{i}y) + 9 \\ &= x^2+2xy\text{i} – y^2 + 2x + 2y\text{i} + 9 \\ &= x^2-y^2+2x + 9 + \text{i}(2xy+2y) \end{array}$$
    3. On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l'annexe en traà§ant ces droites.
    4. $f(z)$ est nombre réel si, et seulement si, $2xy+2y=0$ $\Leftrightarrow 2y(x+1)=0$ $\Leftrightarrow y = 0$ ou $x=-1$.
      $(E)$ est donc la réunion des droites d’équation $y=0$ et $x=-1$.
  10. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).
  11. Regardons dans un premier temps l’intersection de $(F)$ avec $D_1$ d’équation $y=0$.
    Il s’agit donc de deux points d’abscisse respective $-1 – \sqrt{3}$ et $1+\sqrt{3}$. On a donc $C\left(-1-\sqrt{3};0\right)$ et $D\left(-1+\sqrt{3};0\right)$.
    $\quad$
    Regardons maintenant l’intersection de $(F)$ avec la droite $D_2$ d’équation $x=-1$.
    Il s’agit de deux points d’ordonnée respective $0+\sqrt{3}$ et $0-\sqrt{3}$. On a donc $G\left(-1;\sqrt{3}\right)$ et $H\left(-1;-\sqrt{3}\right)$.

 

 


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.


Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence X, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1er janvier de l'année $2014 + n$, exprimées en millions d'euros. On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. On suppose que le 1er janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50 millions d'euros et l'agence Y possède 10 millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : \[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\]

  1. Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice $A$ et le coefficient 3 de la matrice $B$.
  2. Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros.
  3. On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$.
    1. Donner sans détailler le calcul, la matrice $P DQ$.
    2. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. Dans la suite, on admettra que $QP = I$.

    On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n,$ $A^n = P D^nQ$.
  4. On pose pour tout entier naturel $n,\: V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}$.
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = AV_{n}$.
    2. Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $V_{n}$ en fonction de $A,\, n$ et $V_{0}$.
  5. Soit $n$ un entier naturel. On admet que \[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\]
    1. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs.
    2. En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$.
    3. Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.

 


Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.


Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence X, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1er janvier de l'année $2014 + n$, exprimées en millions d'euros. On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. On suppose que le 1er janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50 millions d'euros et l'agence Y possède 10 millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : \[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\]

  1. Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice $A$ et le coefficient 3 de la matrice $B$.
  2. L’agence $X$ conserve $60\%$ de ses fonds d’une année sur l’autre.
    $\quad$
    Chaque année le siège de la banque transfère $3$ millions d’euros à l’agence $Y$.
  3. Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros.
  4. $U_0=\begin{pmatrix} 50 \\\\10 \end{pmatrix}$.
  5. On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$.
    1. Donner sans détailler le calcul, la matrice $P DQ$.
    2. $PDQ = \begin{pmatrix} 0,6&0,15 \\\\0,2&0,4 \end{pmatrix} = A$.
    3. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. Dans la suite, on admettra que $QP = I$.
    4. Ce coefficient est obtenu à partir du calcul suivant : $0,25 \times 3 – 0,375 \times (2) = 0$

    On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n,$ $A^n = P D^nQ$.
  6. On pose pour tout entier naturel $n,\: V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}$.
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = AV_{n}$.
    2. $$\begin{array}{ll} V_{n+1} &= U_{n+1} – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\ &= AU_n+B – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\ &=AU_n + \begin{pmatrix} -4 \\ -11/3 \end{pmatrix} \end{array}$$
      Or $A\begin{pmatrix} -5 \\-20/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\-11/3 \end{pmatrix}$
      Donc $V_{n+1}=AV_n$.
    3. Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $V_{n}$ en fonction de $A,\, n$ et $V_{0}$.
    4. $V_0 = \begin{pmatrix} = 45 \\ 10/3 \end{pmatrix}$.
      On a ainsi $V_n = A^nV_0$ pour tout $n \in \mathbb N$.
  7. Soit $n$ un entier naturel. On admet que \[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\]
    1. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs.
    2. Ce coefficient est donné par :
      $$\begin{array}{ll} v &= 45(0,25\times 0,3^n+0,75 \times 0,7^n) + \dfrac{10}{3}\left[0,375(-0,3^n+0,7^n)\right] \\ &= 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n \end{array}$$
    3. En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$.
    4. On a ainsi $x_n = 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n + 5$
    5. Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
    6. $-1<0,3<1$ et $-1<0,7<1$.
      Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,3^n = \lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n = 0$.
      Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = 5$.
      Au bout d’un grand nombre d’année, les fonds disponibles de l’agence X seront de $5$ millions d’euros.

 

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Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons :

  • une petite taille,
  • une taille standard.

Les trois parties suivantes sont indépendantes.

 


Partie A


Un ballon de football est conforme à la réglementation s'il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence).
En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [410 ; 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle [68 ; 70].


  1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise, associe sa masse en grammes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 430 et d'écart type 10. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(410 \leqslant X \leqslant 450)$.
  2. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise associe sa circonférence en centimètres. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance 69 et d'écart type $\sigma$. Déterminer la valeur de $\sigma$, au centième près, sachant que 97$\,\%$ des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation. On pourra utiliser le résultat suivant: lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors $P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta) = 0,97$ pour $\beta \approx 2,17$.

Partie B


L'entreprise affirme que 98$\,\%$ de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d'entre eux sont conformes à la réglementation. Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse. (On pourra utiliser l'intervalle de fluctuation)


Partie C


L'entreprise produit 40$\,\%$ de ballons de football de petite taille et 60$\,\%$ de ballons de taille standard. On admet que 2$\,\%$ des ballons de petite taille et 5$\,\%$ des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l'entreprise. On considère les évènements : $A$ : « le ballon de football est de petite taille », $B$ : « le ballon de football est de taille standard », $C$ : « le ballon de football est conforme à la réglementation» et $\overline{C}$, l'évènement contraire de $C$.


  1. Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilité.
  2. Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation.
  3. Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,962$.
  4. Le ballon de football choisi n'est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à $10^{- 3}$.

Correction de l'exercice 1 (6 points)


Commun à tous les candidats


Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons :

  • une petite taille,
  • une taille standard.

Les trois parties suivantes sont indépendantes.

 


Partie A


Un ballon de football est conforme à la réglementation s'il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence).
En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [410 ; 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle [68 ; 70].


  1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise, associe sa masse en grammes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 430 et d'écart type 10. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(410 \leqslant X \leqslant 450)$.
  2. $P(410 \le X \le 450) = P(\mu – 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma)$ $\approx 0,954$

    2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

  3. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise associe sa circonférence en centimètres. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance 69 et d'écart type $\sigma$. Déterminer la valeur de $\sigma$, au centième près, sachant que 97$\,\%$ des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation. On pourra utiliser le résultat suivant: lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors $P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta) = 0,97$ pour $\beta \approx 2,17$.
  4. On cherche donc :
    $$\begin{array} {ll}P(68 \le Y \le 70) = 0,97 & \Leftrightarrow P(68 – 69 \le Y – 69 \le 70 – 69) = 0,97 \\ & \Leftrightarrow P\left(\dfrac{-1}{\sigma}\le \dfrac{Y – 69}{\sigma} \le \dfrac{1}{\sigma} \right) = 0,97 \end{array}$$ La variable aléatoire $\dfrac{Y – 69}{\sigma}$ suit donc la loi normale centrée réduite.
    On a ainsi : $ \dfrac{1}{\sigma} \approx 2,17 \Leftrightarrow \sigma \approx \dfrac{1}{2,17} \Leftrightarrow \sigma \approx 0,46$

Partie B

 

L'entreprise affirme que 98$\,\%$ de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d'entre eux sont conformes à la réglementation. Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse. (On pourra utiliser l'intervalle de fluctuation)

On a $n = 250$ et $p=0,98$.
On a donc $n = 250 \ge 30$, $np = 245 \ge 5$ et $n(1-p) = 5 \ge 5$.
Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$.
On a ainsi :
$$\begin{array}{ll} I_{250} & = \left[0,98 – 1,96 \sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{250}};\dfrac{233}{250} + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,98 \times 0,02}{250}}\right]\\ & \approx [0,962;0,998] \end{array}$$ La fréquence observée est $f = \dfrac{233}{250} = 0,932 \notin I_{250}$. Cela signifie donc, qu’au risque de $5\%$, l’affirmation de l’entreprise est remise en question.


Partie C


L'entreprise produit 40$\,\%$ de ballons de football de petite taille et 60$\,\%$ de ballons de taille standard. On admet que 2$\,\%$ des ballons de petite taille et 5$\,\%$ des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l'entreprise. On considère les évènements : $A$ : « le ballon de football est de petite taille », $B$ : « le ballon de football est de taille standard », $C$ : « le ballon de football est conforme à la réglementation» et $\overline{C}$, l'évènement contraire de $C$.


  1. Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilité.
  2. Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation.
  3. On cherche donc $p(A \cap C) = 0,4 \times 0,98 = 0,392$
    $p(C) =0,962$
  4. Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,962$.
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $$\begin{array} {ll}p(C) & = p(A \cap C) + p(B \cap C) \\ & = 0,392 + 0,6 \times 0,95 \\ &= 0,962 \end{array}$$
    $p(A \cap C) =0,392$
  6. Le ballon de football choisi n'est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à $10^{- 3}$.
  7. On cherche ici à calculer $p_{\overline{C}}(A) = \dfrac{p\left(\overline{C} \cap A\right)}{p\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{0,4 \times 0,02}{1 – 0,962}$ $\approx 0,211$.
    $p_{\overline{C}}(A)\approx 0,211$

Exercice 2 4 points


Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.


  1. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A$(2 ; 5 ; - 1)$, B$(3 ; 2 ; 1)$ et C$(1 ; 3 ; - 2)$. Le triangle ABC est :
    1. rectangle et non isocèle
    2. isocèle et non rectangle
    3. rectangle et isocèle
    4. équilatéral
  2. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $P$ d'équation $2x - y + 3z - 1 = 0$ et le point A$(2 ; 5 ; -1)$. Une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $P$ et passant par A est :
    $$\begin{array}{lll} \text{a. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + 2t\\ y &=& 5+t\\ z &=& - 1 + 3t \end{array}\right.& \text{ b. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + 2t\\ y &=& - 1 + 5t\\ z &=& 3 - t \end{array}\right.& \text{ c. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 6 - 2t\\ y &=& 3 + t\\ z &=& 5 - 3t \end{array}\right.& \text{ d. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 2t \\ y &=& 4 - t\\ z &=& - 2 + 3t \end{array}\right.\\ \end{array}$$
  3. Soit A et B deux points distincts du plan. L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vec{M\text{A}} \cdot \vec{M\text{B}} = 0$ est :
    \begin{array}{llll} \text{a. }\text{l'ensemble vide}& \text{ b. } \text{la médiatrice du segment} [AB] &\text{ c. } \text{le cercle de diamètre }[AB] &\text{ d. } \text{ la droite } (AB) \end{array}
  4. La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF.

    Les droites (IJ) et (MN) sont :
    1. perpendiculaires
    2. sécantes, non perpendiculaires
    3. orthogonales
    4. parallèles

 


Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.


  1. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A$(2 ; 5 ; - 1)$, B$(3 ; 2 ; 1)$ et C$(1 ; 3 ; - 2)$. Le triangle ABC est :
    1. rectangle et non isocèle
    2. isocèle et non rectangle
    3. rectangle et isocèle
    4. équilatéral
  2. Déterminons les coordonnées des différents vecteurs.
    $\vec{AB}(1;-3;2)$ $\quad$ $\vec{AC}(-1;-2;-1)$ $\quad$ $\vec{BC}(-2;1;-3)$
    Donc $AB^2 = 1 + 9 + 4 = 14$ $\quad$ $AC^2 = 1 + 2 + 1 = 4$ et $BC^2 = 4 + 1 +9 = 14$
    On constate donc que $AB = BC$ mais $AC^2 \neq AB^2 + BC^2$. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
    Réponse B
  3. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $P$ d'équation $2x - y + 3z - 1 = 0$ et le point A$(2 ; 5 ; -1)$. Une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $P$ et passant par A est :
    $$\begin{array}{lll} \text{a. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + 2t\\ y &=& 5+t\\ z &=& - 1 + 3t \end{array}\right.& \text{ b. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + 2t\\ y &=& - 1 + 5t\\ z &=& 3 - t \end{array}\right.& \text{ c. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 6 - 2t\\ y &=& 3 + t\\ z &=& 5 - 3t \end{array}\right.& \text{ d. }\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 2t \\ y &=& 4 - t\\ z &=& - 2 + 3t \end{array}\right.\\ \end{array}$$
  4. Un vecteur normal est $\vec{n}(2;-1;3)$. Ce vecteur est donc un vecteur directeur de $d$.
    Par conséquent, seules les propositions c et d peuvent convenir.
    Cette droite doit passer par le point $A(2;5;-1)$.
    Si on considère la représentation paramétrique c, en prenant $t= 2$ alors : $\begin{cases} x = 6 – 4 = 2 \\\\y = 3 + 2 = 5\\\\z= 5 – 6 = -1 \end{cases}$.
    Par conséquent la bonne réponse est la réponse C$\quad$
  5. Soit A et B deux points distincts du plan. L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vec{M\text{A}} \cdot \vec{M\text{B}} = 0$ est :
    \begin{array}{llll} \text{a. }\text{l'ensemble vide}& \text{ b. } \text{la médiatrice du segment} [AB] &\text{ c. } \text{le cercle de diamètre }[AB] &\text{ d. } \text{ la droite } (AB) \end{array}
  6. $\vec{MA}.\vec{MB} = 0 \Leftrightarrow AMB$ rectangle en $M$ $\Leftrightarrow$ $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$
    Réponse C
  7. La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF.

    Les droites (IJ) et (MN) sont :
    1. perpendiculaires
    2. sécantes, non perpendiculaires
    3. orthogonales
    4. parallèles
  8. Les points $M$ et $N$ appartiennent tous les deux à un plan parallèle au plan $EFG$, auquel appartient la droite $(IJ)$. Ce ne peut donc pas êtres les réponses a et b.
    La droite parallèle à $(MN)$ passant par $J$ coupe $[EF]$ en son milieu. Par conséquent cette droite et $(IJ)$, qui appartiennent toutes les deux au plan $EFG$ ne sont pas parallèles.
    Réponse C

 

 


Exercice 3 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Suites


On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb N$ par : \[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]

Partie A : Conjecture

  1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$.
  2. Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$.
  3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie B: Validation des conjectures


On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n - 3$.


  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant v_n \leqslant 0$.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$.
    2. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
  3. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
  4. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1 ; 0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. Déterminer la valeur de $\ell$.
  5. Les conjectures faites dans la  partie A  sont-elles validées ?

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Suites


On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb N$ par : \[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]

Partie A : Conjecture

  1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$.
  2. $u_1 = -\dfrac{1}{2} \times 2^2 + 3 \times 2 – \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$
    $\quad$
    $u_2 = – \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 3 \times \dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2} = \dfrac{23}{8}$
  3. Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$.
  4. On a ensuite $u_3 \approx 2,99219$ et $u_4 \approx 2,99997$
  5. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
  6. Il semblerait donc que la suite $(u_n)$ soit croissante et converge vers $3$.

Partie B: Validation des conjectures


On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n - 3$.


  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$.
  2. $$\begin{array}{ll} v_{n+1} &= u_{n+1} – 3 \\ &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n – \dfrac{3}{2} – 3 \\ &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n – \dfrac{9}{2} \\ &= – \dfrac{1}{2} \left(u_n^2 – 6u_n + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{2} (u_n – 3)^2 \\ &= – \dfrac{1}{2} v_n^2 \end{array}$$
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant v_n \leqslant 0$.
  4. Initialisation : Si $n = 0$ alors $v_0 = 2 – 3 = -1$ donc $-1 \le v_0 \le 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $-1 \le v_n \le 0$.
    Ainsi $ 0 \le v_n^2 \le 1$ et $-\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{2}v_n^2 \le 0$ soit $-1 \le v_{n+1} \le 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. Si la propriété est vraie au rang $n$ alors elle est également vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $-1 \le v_n \le 0$.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$.
    2. $v_{n+1} – v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2 – v_n = -v_n \left(-\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$
    3. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
    4. On sait que $-1 \le v_n \le 0$ donc $-v_n \ge 0$
      De plus $-\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n \le 0$ soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n + 1 \le 1$. Par conséquent $\dfrac{1}{2} v_n + 1 \ge 0$
      Finalement, $v_{n+1}-v_n \ge 0$.
      La suite $(v_n)$ est donc croissante.
  5. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
  6. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc.
  7. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1 ; 0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. Déterminer la valeur de $\ell$.
  8. $l = -\dfrac{1}{2}l^2 \Leftrightarrow l + \dfrac{1}{2}l^2 = 0 \Leftrightarrow l \left(1 + \dfrac{1}{2}l \right) = 0$
    Cela signifie donc que $l = 0$ ou $1 + \dfrac{1}{2}l = 0$ (et donc $l=-2$).
    On sait que $l \in [-1;0]$. Par conséquent $l = 0$.
  9. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
  10. On sait que :
    – la suite $(v_n)$ est croissante et converge vers $0$
    – $u_n = v_n + 3$
    Par conséquent la suite $(u_n)$ est également croissante et converge vers $3$.
    Les conjectures de la partie A sont donc validées.

 


Exercice 4 5 points

 


On désire réaliser un portail comme indiqué à l'annexe 1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.


Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail


On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + b\] où $b$ est un nombre réel. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].

    1. Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
    2. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].
  1. Déterminer le nombre $b$ pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5 m.

Dans la suite la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + \dfrac{5}{4}.\]

Partie B : détermination d'une aire


Chaque vantail est réalisé à l'aide d'une plaque métallique. On veut calculer l'aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05 m de hauteur du sol.


  1. Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[F(x) = \left(- \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{8}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4}x\] est une primitive de la fonction $f$.
  2. En déduire l'aire en m$^2$ de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de cette aire. (On s'intéresse ici à l'objet « vantail» sans faire référence à son environnement).

Partie C : utilisation d'un algorithme

On désire réaliser un portail de m ême forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12 m, espacées de 0,05 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l'annexe 2 de l'exercice 4) et le bas de chaque planche à 0,05 m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de $0$ : ainsi la première planche à gauche porte le numéro $0$.


  1. Donner l'aire de la planche numéro $k$.
  2. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite. $$\begin{array}{ |l l|}\hline \text{ Variables :}& \text{ Les nombres } X \text{ et } S \text{ sont des nombres réels}\\ \text{Initialisation:} & \text{ On affecte à } S \text{ la valeur 0} \\ &\text{ On affecte à } X \text{ la valeur 0}\\ \text{ Traitement :}& \text{Tant Que} X + 0,17 < \ldots\\ & \hspace{1cm}S \text{ prend la valeur } S + \ldots.\\ &\hspace{1cm} X \text{ prend la valeur } X + 0,17\\ &\text{Fin de Tant Que}\\ \text{ Affichage :}& \text{ On affiche } S\\ \hline \end{array}$$

Correction de l'exercice 4 5 points


Commun à tous les candidats


On désire réaliser un portail comme indiqué à l'annexe 1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.


Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail


On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + b\] où $b$ est un nombre réel. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].

    1. Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 2].
    2. $f$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
      $f'(x) = \text{e}^{-4x} + \left(x + \dfrac{1}{4} \right) \times (-4) \text{e}^{-4x} = \text{-4x} + (-4x – 1)\text{e}^{-4x} $ $=(1 – 4x – 1)\text{e}^{-4x}$ $=-4x \text{e}^{-4x}$
    3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].
    4. Sur l’intervalle $[0;2]$ $-4x \le 0$ et $\text{e}^{-4x} > 0$.
      Par conséquent $f'(x) \le 0$ sur [$0;2]$ et la fonction $f$ est décroissante sur $[0;2]$.
  1. Déterminer le nombre $b$ pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5 m.
  2. La fonction $f$ atteint donc son maximum en $0$ sur $[0;2]$
    Or $f(0) = \dfrac{1}{4} + b$.
    On veut donc que $\dfrac{1}{4} + b = \dfrac{3}{2}$ soit $b = \dfrac{3}{2} – \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$.

Dans la suite la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + \dfrac{5}{4}.\]

Partie B : détermination d'une aire


Chaque vantail est réalisé à l'aide d'une plaque métallique. On veut calculer l'aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05 m de hauteur du sol.


  1. Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[F(x) = \left(- \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{8}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4}x\] est une primitive de la fonction $f$.
  2. La fonction $F$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $$\begin{array} {ll}F'(x) &= -\dfrac{1}{4}\text{e}^{-4x} – 4\left(-\dfrac{x}{4} – \dfrac{1}{8}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\ &= \left(-\dfrac{1}{4} + x + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\ &= \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\ &= f(x) \end{array}$$
    Par conséquent la fonction $F$ est bien une primitive de la fonction $f$ sur $[0;2]$.
  3. En déduire l'aire en m$^2$ de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de cette aire. (On s'intéresse ici à l'objet « vantail» sans faire référence à son environnement).
  4. L’aire de chaque vantail est donc donnée par :
    $\mathscr{A} = \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x = F(2) – F(0)$
    Or $F(2) = -\dfrac{5}{8}\text{e}^{-8} + \dfrac{5}{2}$ et $F(0) = -\dfrac{1}{8}$
    Donc $\mathscr{A} = \dfrac{21}{8} – \dfrac{5}{8}\text{e}^{-8} \approx 2,62 \text{ m}^2$.

Partie C : utilisation d'un algorithme

On désire réaliser un portail de m ême forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12 m, espacées de 0,05 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l'annexe 2 de l'exercice 4) et le bas de chaque planche à 0,05 m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de $0$ : ainsi la première planche à gauche porte le numéro $0$.


  1. Donner l'aire de la planche numéro $k$.
  2. On considère la planche numéro $k$.
    Sa largeur est : $ 0,12$
    Sa longueur est :
    $$\begin{array}{ll} f\left((0,05+0,12)k\right)-0,05 &= f(0,17k)-0,05 \\ &= \left(0,17k + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4 \times 0,17k} + \dfrac{5}{4} – 0,05 \\ &= \left(0,17k + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4 \times 0,17k} + \dfrac{6}{5} \end{array}$$ Son aire est donc $\mathscr{A}_k = 0,12 \times \left(\left(0,17k + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4 \times 0,17k} + \dfrac{6}{5}\right)$.
  3. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite. $$\begin{array}{ |l l|}\hline \text{ Variables :}& \text{ Les nombres } X \text{ et } S \text{ sont des nombres réels}\\ \text{Initialisation:} & \text{ On affecte à } S \text{ la valeur 0} \\ &\text{ On affecte à } X \text{ la valeur 0}\\ \text{ Traitement :}& \text{Tant Que} X + 0,17 < \ldots\\ & \hspace{1cm}S \text{ prend la valeur } S + \ldots.\\ &\hspace{1cm} X \text{ prend la valeur } X + 0,17\\ &\text{Fin de Tant Que}\\ \text{ Affichage :}& \text{ On affiche } S\\ \hline \end{array}$$
  4. Variables :
    $\quad$ Les nombres $X$ et $S$ sont des nombres réels.
    Initialisation :
    $\quad$ On affecte à $S$ la valeur $0$
    $\quad$ On affecte à $X$ la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Tant Que $X + 0,17 < 2$
    $\qquad$ $S$ prend la valeur $S + 0,12 \times \left( \left(X + \dfrac{1}{4}\right) \text{e}^{-4X} + \dfrac{6}{5}\right)$
    $\qquad$ $X$ prend la valeur $X + 0,17$
    $\quad$ Fin de Tant Que
    Affichage :
    $\quad$ On affiche $S$

 


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d'une colline. On admet qu'aucun vélo des autres stations n'arrive en direction des stations A et B.


On constate pour chaque heure $n$ qu'en moyenne :
$\bullet $20$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont toujours à cette station.
60$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
$\bullet $10$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station B sont à la station A, 30$\,\%$ sont toujours à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
$\bullet $Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos.

Partie A


Au bout de $n$ heures, on note $a_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $b_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$ et donc $U_{0} = \begin{pmatrix}50\\60\end{pmatrix}$.

  1. Déterminer la matrice $M$ telle que $U _{n+1} = M \times U_{n}$.
  2. Déterminer $U_{1}$ et $U_{2}$.
  3. Au bout de combien d'heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ?

Partie B


Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de fonctionnement 30 vélos à la station A et 10 vélos à la station B. Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante :


Au bout de $n$ heures, on note $\alpha_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $\beta_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $V_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}\alpha_{n} \\\beta_{n}\end{pmatrix}$ et $V_{0} = \begin{pmatrix} 50\\60\end{pmatrix}$. Dans ces conditions $V_{n+1} = M \times V_{n} + R$ avec $R = \begin{pmatrix}30\\10\end{pmatrix}$ .


  1. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - M$.
    1. On désigne par $V$ une matrice colonne à deux lignes. Montrer que $V = M \times V + R$ équivaut à $N \times V = R$ .
    2. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{- 1} = \begin{pmatrix}1,4&0,2\\1,2&1,6\end{pmatrix}$. En déduire que $V = \begin{pmatrix}44\\52\end{pmatrix}$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $W_{n} = V_{n} - V$.
    1. Montrer que $W_{n+1} = M \times W_{n}$.
    2. On admet que :
      pour tout entier naturel $n, W_{n} = M^{n} \times W_{0}$,
      pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:\: M^n = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix}$.
      Calculer, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: V_{n}$ en fonction de $n$.
    3. Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d'une colline. On admet qu'aucun vélo des autres stations n'arrive en direction des stations A et B.


On constate pour chaque heure $n$ qu'en moyenne :
$\bullet $20$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont toujours à cette station.
60$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
$\bullet $10$\,\%$ des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station B sont à la station A, 30$\,\%$ sont toujours à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation.
$\bullet $Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos.

Partie A


Au bout de $n$ heures, on note $a_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $b_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$ et donc $U_{0} = \begin{pmatrix}50\\60\end{pmatrix}$.

  1. Déterminer la matrice $M$ telle que $U _{n+1} = M \times U_{n}$.
  2. On a ainsi $a_{n+1} = 0,2a_n + 0,1b_n$ et $b_{n+1} = 0,6a_n + 0,3b_n$.
    On a donc $M = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,1 \\\\0,6 & 0,3 \end{pmatrix}$
  3. Déterminer $U_{1}$ et $U_{2}$.
  4. $U_1 = M \times U_0 = \begin{pmatrix} 16 \\\\48 \end{pmatrix}$
    $\quad$
    $U_2 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 8 \\\\ 24 \end{pmatrix}$
  5. Au bout de combien d'heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ?
  6. On a $U_3 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 4 \\\\ 12 \end{pmatrix}$
    $U_4 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 2 \\\\ 6 \end{pmatrix}$
    $U_5 = M \times U_1 = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 3 \end{pmatrix}$
    Par conséquent au bout de $5$ heures, il ne reste plus qu’un seul véol dans la station A.

Partie B


Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de fonctionnement 30 vélos à la station A et 10 vélos à la station B. Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante :


Au bout de $n$ heures, on note $\alpha_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $\beta_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $V_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}\alpha_{n} \\\beta_{n}\end{pmatrix}$ et $V_{0} = \begin{pmatrix} 50\\60\end{pmatrix}$. Dans ces conditions $V_{n+1} = M \times V_{n} + R$ avec $R = \begin{pmatrix}30\\10\end{pmatrix}$ .


  1. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - M$.
    1. On désigne par $V$ une matrice colonne à deux lignes. Montrer que $V = M \times V + R$ équivaut à $N \times V = R$ .
    2. $V = M \times V + R \Leftrightarrow$ $V – M \times V = R \Leftrightarrow (I – M) \times V = R $ $\Leftrightarrow N \times V = R$
    3. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{- 1} = \begin{pmatrix}1,4&0,2\\1,2&1,6\end{pmatrix}$. En déduire que $V = \begin{pmatrix}44\\52\end{pmatrix}$
    4. Puisque $N$ est inversible on a ainsi $V = N^{-1} \times R = \begin{pmatrix} 1,4 & 0,2\\\\1,2 & 1,6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 30 \\\\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\\\52 \end{pmatrix}$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $W_{n} = V_{n} - V$.
    1. Montrer que $W_{n+1} = M \times W_{n}$.
    2. $$\begin{array}{ll} W_{n+1} &= V_{n+1} – V = M \times V_n + R – V \\ &=M \times V_n + R – (M \times V + R) \\ &=M \times V_n – M \times V \\ &= M \times (V_n – V) \\ &= M \times W_n \end{array}$
    3. On admet que :
      pour tout entier naturel $n, W_{n} = M^{n} \times W_{0}$,
      pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:\: M^n = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix}$.
      Calculer, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: V_{n}$ en fonction de $n$.
    4. $W_0= V_0 – V = \begin{pmatrix} 6 \\\\8 \end{pmatrix}$
      $W_n = M_n \times W_0 = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2 \times 6 + 0,1 \times 0,1 \\\\0,6 \times 6 + 0,3 \times 8 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{2^{n-1}} \begin{pmatrix} 2\\\\6\end{pmatrix}$
      On a $V_n = W_n + V = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix}2\\\\6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 44 \\\\52 \end{pmatrix}$
    5. Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ?
    6. On a donc $a_n = 2 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} + 44$ et $b_n = 6 \times \dfrac{1}{2^{n-1}} + 52$.
      or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} = 0$.
      Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 44$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n = 52$.
      Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B se stabilise donc.
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Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives $(0~;~1)$  et $(-1~;~3)$.
Courbe On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb R$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$. On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\]

    1. Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A.
    2. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
    3. Démontrer que pour tout réel $x$, \[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
    4. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. Déterminer la valeur du réel $a$.
  1. D'après la question précédente, pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
    1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$.
    2. Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$.
    3. Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$. Justifier que $c < - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
  2. On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par : \[c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\]
    1. Ecrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
    2. On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$.

 


Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives $(0~;~1)$ et $(-1~;~3)$.
Courbe On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb R$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$. On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\]

    1. Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A.
    2. $f(0) = 0 + 1 + a \times 0 \times 1 = 1$. donc $A(0;1)$ appartient bien à $\mathscr{C}$.
    3. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
    4. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est : $$\begin{array}{ll} m & = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\ & =\dfrac{3 - 1}{-1 - 0} \\\ & = -2 \end{array}$$
      Le coefficient directeur de la droite (AB) est -2.
    5. Démontrer que pour tout réel $x$, \[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
    6. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
      $\begin{cases}u(x) = ax\\v(x)=\text{e}^{-x^2}\end{cases}$ donc $\begin{cases}u'(x) = a \\v'(x)=-2x \text{e}^{-x^2}\end{cases}$ $$f'(x) = 1 + a\text{e}^{-x^2} – 2x \times ax\text{e}^{-x^2} = 1 – a(2x^2 – 1)\text{e}^{-x^2}$$
    7. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. Déterminer la valeur du réel $a$.
    8. Si la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en $A$ cela signifie donc que $f'(0) =m$.
      Par conséquent $f'(0) = 1 + a = -2$ soit $a= -3$.
  1. D'après la question précédente, pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
    1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$.
    2. si $x \in ]-1;0[$ alors $x+1 \in ]0;1[$ et $-3x \in ]0;3[$.
      la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$ donc sur $]-1;0[$ en particulier.
      Par conséquent $\left.\begin{array}{r} -3x \geq 0 \\ \text{e}^{-x^2} \geq 0 \end{array}\right\}$ par produit on obtient $-3x\text{e}^{-x^2} > 0$
      et donc $\left.\begin{array}{r} -3x\text{e}^{-x^2} \geq 0 \\ 1 > 0 \end{array}\right\}$ par somme $f(x) > 0$.
    3. Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$.
    4. $$\begin{array}{lll} \text{ Si } x < -1 & \text{ alors } x^2 > 1& \text{ car } x\mapsto x^2 \text{ est strictement décroissante sur } \mathbb R^-\\ & 2x^2 > 2& \text{ en multipliant par } 2> 0\\ & 2x^2 -1 > 1> 0 & \text{ en ajoutant } -1 \\ & 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}> 0 & \text{ en multipliant par } 3\text{e}^{- x^2}> 0 \\ & 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}> 1 & \text{ en ajoutant } 1 \\ & f'(x)< 0 & \\ \end{array}$$
    5. Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$. Justifier que $c < - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
    6. D'après le théorème de la bijection :
      • $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = [\2 ; \3]$.
      • $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = [\2 ; \3]$.
      • $\1\left(\2\right)=\4$ et $\1\left(\3\right)=\5$
      $\1$ réalise donc une bijection de $\left[\2;\3\right]$ sur $\left[\4;\5\right]$
      $\6$ est compris entre $\1\left(\2\right)$ et $\1\left(\3\right)$, en effet $\1\left(\2\right) < \6 $ et $\1\left(\3\right) > \6 $
      donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $[\2 ; \3]$ .

       

      \}\{2\}-\dfrac\{1\}\{2\}|3\text\{e\}^\{ -1\}|0|\alpha}
      $f\left(-\dfrac{3}{2}+2\times 10^{-2} \right) \approx 0,02 >0$. Donc $c < -\dfrac{3}{2}+2\times 10^{-2}$
  2. On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par : \[c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\]
    1. Ecrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
    2. Comme $f$ est continue et positive sur $[0; c]$.
      On a donc $\mathscr{A} = \displaystyle \int_c^0 f(x) \mathrm{d}x$.
    3. On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$.
    4. Comme $f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}== x + 1 + \dfrac{3}{2}\times (-2 x)\text{e}^{- x^2}$
      On a mis en évidence la forme $u'e ^u $ qui a pour primitive $e ^u $. Une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb R$ est la fonction $F$ définie sur $\mathbb R$ par
      $$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + x + \dfrac{3}{2}\text{e}^{-x^2}$$ $$\begin{array}{ll} I & = \displaystyle \int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x) \mathrm{d}x \\ & = F(0) – F\left(-\dfrac{3}{2} \right) \\ & = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} \\ & = \dfrac{15}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} ~\text{u.a.} \end{array}$$
      $I = \dfrac{15}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} ~\text{u.a.}$

Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

  • Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
    On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.
    On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
  • Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10 minutes.
  1. Déterminer la valeur de $\lambda$.
  2. Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
  3. Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5 minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
  • Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70 places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$.
    On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
    On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.
    1. Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.
    2. Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.
      Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice.
    3. On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Z \leqslant 70\}$.
      Le restaurant a reçu 81 réservations. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?

     


    Correction de l'exercice 2 (5 points)


    Commun à tous les candidats

    Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

    • Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
      On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.
      On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
    • Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10 minutes.
    1. Déterminer la valeur de $\lambda$.
    2. D’après l’énoncé on a $E(X) = 10 = \dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda = 0,1$.
    3. Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
    4. On cherche à calculer :
      $$\begin{array}{ll} P(10 \le X \le 20) & = \text{e}^{-0,1 \times 10}- \text{e}^{-0,1 \times 20} \\ & = \text{e}^{-1} - \text{e}^{-2} \\ & \approx 0,2325 \end{array}$$
    5. Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5 minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
    6. On cherche donc à calculer :
      $$\begin{array}{ll} P_{X \ge 10}(X \ge 10 + 5) & = P(X \ge 5) \\ &= \text{e}^{-5\times 0,1} \\ &=\text{e}^{-0,5} \\ & \approx 0,6065 \end{array}$$
  • Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70 places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$.
    On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
    On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.
    1. Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.
    2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

      • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
      • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

      Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

      Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$


      La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(n;0,8)$ d’espérance $E(Y) = 0,8n$ et d’écart-type $\sigma = \sqrt{n\times 0,8 \times 0,2} = 0,4\sqrt{n}$
    3. Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.
      Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice.
    4. On a $p_1 = P(Z \le 71) = 0,5 + P(64,8 \le Z \le 71) \approx 0,9575$ 

      2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

      $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

       

      b/>
    5. On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Z \leqslant 70\}$.
      Le restaurant a reçu 81 réservations. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?
    6. On cherche donc à calculer $P(Y > 70) = 1 – P(Y \le 70) = 1 – p_1 \approx 0,0425$

     


    Exercice 3 5 points

    On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
    Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.
    1. On effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute.
      Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$.
      1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
      2. Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
      3. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
    2. Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5 mL, la machine réinjecte 4 mL de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$. L' algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Variables : } & n \text{ est un entier naturel.}\\ & v \text{est un nombre réel.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 10.\\ \text{Traitement :} & \text{ Pour } n \text{ allant de 1 à 15 }\\ & \begin{array}{|l} \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 0,8 \times v. \\ \text{ Si } v < 5 \text{ alors affecter à } v \text{ la valeur } v + 4\\ \text{Afficher }v.\\ \end{array}\\ & \text{ Fin de boucle.}\\ \hline \end{array}$$
      1. Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline v_{n} & 10 & 8 & 6,4 & & & & & 8,15 & 6,52 & 5,21 & 8,17 & 6,54 & 5,23 & 8,18 & 6,55 & 5,24\\ \hline \end{array}$$
      2. Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
      3. On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2 mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 mL et qu'elle s'arrête au bout de 30 minutes.
        Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
    3. On programme la machine de façon que :
      • A l'instant 0, elle injecte 10 mL de médicament,
      • toutes les minutes, elle injecte 1 mL de médicament.
      • On estime que 20% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
        1. Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$.
        2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
        3. En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
        4. Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?

    Correction de l'exercice 3 (5 points)


    Commun à tous les candidats

    Exercice 3 5 points

    On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
    Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.
    1. On effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute.
      Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$.
      1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
      2. On a donc $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = (1-0,2)u_n = 0,8u_n$.
        La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0 = 10$.
      3. Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
      4. La suite $(u_n)$ est donc géométrique donc $u_n=q^n \times u_0$.
        Par conséquent $u_n = 10 \times 0,8^n$.
      5. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
      6. On cherche la valeur de $n$ telle que :
        $$\begin{array}{ll} u_n < 0,01 \times 10 & \Leftrightarrow 10 \times 0,8^n < 0,1 \\ & \Leftrightarrow 0,8^n < 0,01 \\ & \Leftrightarrow n \ln 0,8 < \ln 0,01 \\ & \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} \\ & \Leftrightarrow n > 21 \end{array}$$
        La quantité de médicament dans le sang est inférieure à $1\%$ de la quantité initiale au bout de $21$ minutes.
    2. Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5 mL, la machine réinjecte 4 mL de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$. L' algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Variables : } & n \text{ est un entier naturel.}\\ & v \text{ est un nombre réel.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 10.\\ \text{Traitement :} & \text{ Pour } n \text{ allant de 1 à 15 }\\ & \begin{array}{|l} \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 0,8 \times v. \\ \text{ Si } v < 5 \text{ alors affecter à } v \text{ la valeur } v + 4\\ \text{Afficher }v.\\ \end{array}\\ & \text{ Fin de boucle.}\\ \hline \end{array}$$
      1. Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
      2. $v_3 = 0,8 \times 6,4 = 5,12$
        $v_4 = 0,8 \times 5,12 + 4 = 8,10$ arrondi à $10^{-2}$ car $0,8 \times 5,12 < 5$
        $v_5 = 0,8 \times 8,10 = 6,48$ arrondi à $10^{-2}$
        $v_6 = 0,8 \times 6,48 = 5,18$ arrondi à $10^{-2}$
        $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline v_{n} & 10 & 8 & 6,4 & 5,12 & 8,10 & 6,48 & 5,18 & 8,15 & 6,52 & 5,21 & 8,17 & 6,54 & 5,23 & 8,18 & 6,55 & 5,24\\ \hline \end{array}$$
      3. Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
      4. On a donc injecté initialement $10$ mL mais on a réinjecté $4$ doses de $4$ mL.
        On a donc injecté au total $26$ mL de médicament.
      5. On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2 mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 mL et qu'elle s'arrête au bout de 30 minutes.
        Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
      6. Variables :
        $\quad$ $n$ est un entier naturel.
        $\quad$ $v$ est un réel.
        Initialisation :
        $\quad$ Affecter à $v$ la valeur $10$.
        Traitement :
        $\quad$ Pour $n$ allant de $1$ à $30$
        $\qquad$ Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$
        $\qquad$ Si $v \le 6$ alors affecter à $v$ la valeur $v+2$.
        $\qquad$ Afficher $v$.
        $\quad$ Fin de boucle
    3. On programme la machine de façon que :
      • A l'instant 0, elle injecte 10 mL de médicament,
      • toutes les minutes, elle injecte 1 mL de médicament.
      • On estime que 20% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
        1. Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$.
        2. Toutes le minutes il reste donc $80\%$ de la quantité précédente soit $0,8w_n$. On rajoute alors $1$ mL.
          Donc $w_{n+1} = 0,8w_n+1$.
        3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
        4. $$\begin{array}{ll} z_{n+1} &= w_{n+1} – 5 \\ &= 0,8w_n – 4 \\ &= 0,8w_n – 0,8 \times 5 \\ &= 0,8(w_n-5)\\ &= 0,8z_n \end{array}$$ $\quad$
          De plus $z_0 = w_0 – 5 = 10 – 5 = 5$.
          La suite $(z_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $z_0=5$.
        5. En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
        6. On a par conséquent $z_n = 5 \times 0,8^n = w_n – 5$
          donc $w_n = 5 + 5 \times 0,8^n$.
        7. Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?
        8. $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$.
          Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n = 5$.
          Au bout d’un certain temps, l’organisme conservera $5$ mL de médicament dans le sang avec ce programme.

     


    Exercice 4 5 points


    Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

     

    Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées: \[\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: \text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right).\]
    1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
    2. On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& t\\ y& =& 0\\ z& =& t\sqrt{2} \end{array}\right.,\: t \in \mathbb R\]
      1. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
      2. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
      1. On note L le milieu du segment [AC]. Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
      2. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
    3. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à -dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.

     


    Correction de l'exercice 4 5 points


    Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

     

    Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées: \[\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: \text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right).\]
    1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
    2. On teste l’équation fournie pour chacun des points :
      $A$ : $4 + 0 = 4$
      $B$ : $4 + 0 = 4$
      $D$ : $2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \times 2 = 4$.
      L’équation du plan $(ABD)$ est donc bien $4x + z\sqrt{2} = 4$.
    3. On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& t\\ y& =& 0\\ z& =& t\sqrt{2} \end{array}\right.,\: t \in \mathbb R\]
      1. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
      2. Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}\left(1;0;\sqrt{2} \right)$.
        Or $\vec{CD}\left(2;0;2\sqrt{2} \right) = 2\vec{u}$.
        Donc $\mathscr{D}$ est parallèle à $(CD)$.
        De plus en prenant $t=0$ on constate que $O$ appratient à $\mathscr{D}$.
      3. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
      4. Le point $G$ appartient à la fois au plan $(ABD)$ et à la droite $\mathscr{D}$. Ses coordonnées vérifient donc toutes leurs équations.
        On obtient ainsi $4t+t\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$ soit $6t = 4$ d’où $t = \dfrac{2}{3}$.
        Par conséquent $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};0;\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right)$.
      1. On note L le milieu du segment [AC]. Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
      2. On a donc $L\left(\dfrac{1 – 2}{2};\dfrac{-\sqrt{3}}{2};0\right)$ soit $L\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{-\sqrt{3}}{2};0\right)$.
        Par conséquent $\vec{BL}\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{2}\sqrt{3};0\right) = -\dfrac{3}{2}\vec{OB}$.
        Donc $(BL)$ passe par $O$.
        $\vec{AC}\left(-3;\sqrt{3};0\right)$
        De plus $\vec{BL}.\vec{AC} = -\dfrac{1}{2} \times (-3) + \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} + 0 = \dfrac{3}{2} – \dfrac{3}{2} = 0$.
        Les droites $(BL)$ et $(AC)$ donc sont bien orthogonales.
      3. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
      4. On a $AB = 2\sqrt{3}$, $AC= \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3}$ et $BC= \sqrt{(-2-1)^2+3} = 2\sqrt{3}$.
        Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.
        D’après la question 3.a. On a $\vec{BL} = \dfrac{3}{2}\vec{BO}$ donc $\vec{BO} = \dfrac{2}{3}\vec{BL}$.
        $BL$ est la médiane issue de $B$ du triangle $ABC$. Par conséquent le centre de gravité (qui est aussi le centre du cercle circonscrit) se trouve au $\dfrac{2}{3}$ de cette médiane en partant de $B$. Il s’agit par conséquent de $O$.
        $\quad$
    4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à -dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
    5. $AD = \sqrt{4 \times 2 + 1 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
      $BC = \sqrt{ 4 \times 2 + 1 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
      $CD = \sqrt{4 \times 2 +4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{2}$.
      Les six arêtes ont bien la même longueur. Le tétraèdre est régulier.

     


    Spécialité 5 points


    Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

    Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi. On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour :
    • 20% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
    • 10% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.
    On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la porte. On désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
    1. Soit $n$ un entier naturel.
      1. Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
      2. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
      3. En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera. On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
      4. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.
    2. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1& 1\\2& -1\end{pmatrix}$.
      1. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
      2. Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
      3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $M^n = P D^n P^{- 1}$. A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient \[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\]
    3. En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?

     


    Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


    Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

    Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi. On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour :
    • 20% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
    • 10% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.
    On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la porte. On désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
    1. Soit $n$ un entier naturel.
      1. Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
      2. On a $a_1 = 0,8a_0+0,1b_0 = 0,8 \times 0,5 + 0,1 \times 0,5 = 0,45$ et $b_1 = 1 – a_1 = 0,55$.
        Donc $U_1=\begin{pmatrix}0,45\\\\0,55 \end{pmatrix}$
        $\quad$
      3. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
      4. On a donc $a_{n+1} = 0,8a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,2a_n+0,9b_n$.
        $\quad$
      5. En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera. On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
      6. Si on pose $M=\begin{pmatrix} 0,8&0,1 \\\\0,2&0,9 \end{pmatrix}$ on a ainsi $U_{n+1}=MU_n$
      7. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.
      8. Au bout de $3$ jours on a $U_3 = M^3U_0$ $= \begin{pmatrix}0,3905\\\\0,6095\end{pmatrix}$
    2. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1& 1\\2& -1\end{pmatrix}$.
      1. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
      2. $P^2 = \begin{pmatrix}3&0\\\\0&3\end{pmatrix}$
        Par conséquent $P \times P = 3I_2$ cela signifie donc que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$
      3. Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
      4. $P^{-1}MP = \begin{pmatrix}1&0\\\\0&0,7 \end{pmatrix} = D$
      5. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $M^n = P D^n P^{- 1}$. A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient \[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\]
      6. Démontrons ce résultat par récurrence
        Initialisation : si $n=1$ alors $P^{-1}MP = D$ soit $M=PDP^{-1}$
        La propriété est vraie au rang $1$.
        $\quad$
        Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n = PD^nP^{-1}$.
        Donc $ M^{n+1} = M\times M^n = PDP^{-1} \times PD^n\times P^{-1} = PDD^nP^{-1} = PD^nP^{-1}$.
        La propriété est vraie au rang $n$.
        $\quad$
        Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
        Donc pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, on a $M^n = PD^nP^{-1}$.
    3. En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?
    4. On a $U_{n}=M^nU_0 = \begin{pmatrix} 0,5 \times \dfrac{1 + 2\times 0,7^n}{3} + 0,5 \times \dfrac{1 – 0,7^n}{3} \\\\0,5 \times \dfrac{2 – 2\times 0,7^n}{3} + 0,5 \dfrac{2 + 0,7^n}{3} \end{pmatrix}$
      $-1<0,7<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,7^n = 0$.
      Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} b_n = \dfrac{2}{3}$.
      Sur le long terme la cage A contiendra donc $\dfrac{1}{3}$ de la population des souris et la cage B les deux tiers.
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    Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014

     

    Exercice 1 5 points


    Commun à tous les candidats


    Les trois parties A, B et C sont indépendantes.
    Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace.

    Partie A :


    Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2000 pour la vente en gros. On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à $0,003$. On nomme $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2000 cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.

     

    1. Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
    2. Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de celui-ci. Déterminer la probabilité qu'un lot ne soit pas échangé; le résultat sera arrondi au millième.

     

    Partie B :


    Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacée qu'il contient. On suppose que $Y$ suit une loi normale $\mathcal{N}\left(110 ; \sigma^2\right)$, d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma$. Une glace est considérée comme commercialisable lorsque la masse de crème glacée qu'elle contient appartient à l'intervalle [104 ; 116]. Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près du paramètre $\sigma$ telle que la probabilité de l'évènement «la glace est commercialisable » soit égale à $0,98$.

    Partie C :


    Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces était de 84$\,\%$. En 2010, sur $900$ personnes interrogées, $795$ d'entre elles déclarent consommer des glaces. Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95$\,\%$ et à partir de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre les années 2000 et 2010 ?

     

     


    Correction de l'exercice 1 (5 points)


    Commun à tous les candidats


    Les trois parties A, B et C sont indépendantes.
    Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace.

    Partie A :


    Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2000 pour la vente en gros. On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à $0,003$. On nomme $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2000 cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.

    1. Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
    2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

      • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
      • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

      Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

      Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

    3. Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de celui-ci. Déterminer la probabilité qu'un lot ne soit pas échangé; le résultat sera arrondi au millième.
    4. On cherche donc $P(X \le 11) \approx 0,9801$.

       

      2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
      Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

      $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

      La probabilité qu’un lot ne soit pas échangée est donc de $98,01\%$.

     

    Partie B :

     

    Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacée qu'il contient. On suppose que $Y$ suit une loi normale $\mathcal{N}\left(110 ; \sigma^2\right)$, d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma$. Une glace est considérée comme commercialisable lorsque la masse de crème glacée qu'elle contient appartient à l'intervalle [104 ; 116]. Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près du paramètre $\sigma$ telle que la probabilité de l'évènement «la glace est commercialisable » soit égale à $0,98$.

    On a donc :
    $$ \begin{array}{ll} P(104 \le Y \le 116) = 0,98 & \Leftrightarrow P(-6 \le Y – 110 \le 6) = 0,98 \\ & \Leftrightarrow P\left(-\dfrac{6}{\sigma} \le \dfrac{Y – 110}{\sigma} \le \dfrac{6}{\sigma} \right) = 0,98 \end{array}$$

    La variable aléatoire $ Z =\dfrac{Y – 110}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

    On est donc ramené à trouver la valeur de $x$ telle que $P(-x \le Z \le x) = 0,98$

    Or $P(-x \le Z \le x) = 2P(Z \le x) – 1$.

    Par conséquent $2P(Z \le x) – 1=0,98 \Leftrightarrow P(Z \le x) = \dfrac{1,98}{2} = 0,99$

    La calculatrice nous donne $x \approx 2,326$.

    2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$

    $$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$

    Par conséquent $\dfrac{6}{\sigma} \approx 2,326$ et $\sigma \approx \dfrac{6}{2,326}$

    Donc $\sigma \approx 2,6$

    Partie C :

     

    Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces était de 84$\,\%$. En 2010, sur $900$ personnes interrogées, $795$ d'entre elles déclarent consommer des glaces. Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95$\,\%$ et à partir de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre les années 2000 et 2010 ?

    On note $n = 900$ et $p=0,84$.

    $n = 900 \ge 30$, $np = 756 \ge 5$ et $n(1 – p) = 144 \ge 5$.

    Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.

    $$\begin{array} {ll}I_{900} &= \left[0,84 – 1,96\sqrt{\dfrac{0,84 \times 0,16}{900}};0,84 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,84 \times 0,16}{900}}\right] \\ & \approx [0,816;0,864] \end{array}$$

    La fréquence observée est $f = \dfrac{795}{900} \approx 0,883 \notin I_{900}$.

    Le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces entre les années 2000 et 2010 n’est donc pas resté stable au risque d’erreur de $5\%$.

     

     


    Exercice 2 5 points


    Commun à tous les candidats


    Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
    Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
    Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
    Dans les questions 1. et 2. , le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On désigne par $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.

    1. Affirmation 1 : Le point d'affixe $(-1 + \text{i})^{10}$ est situé sur l'axe imaginaire.
    2. Affirmation 2 : Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \[z - \overline{z} +2 - 4\text{i} = 0\] admet une solution unique.
    3. Affirmation 3 : $\ln \left(\sqrt{\text{e}^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\text{e}^9 \right)}{\ln \left(\text{e}^2 \right)} = \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 - \ln 4}}$
    4. Affirmation 4 : $\displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\:\text{d}x = - \ln \left(\dfrac{3}{5}\right)$
    5. Affirmation 5 : L'équation $\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4$ admet une solution unique dans $\mathbb R$.

    Correction de l'exercice 2 (5 points)


    Commun à tous les candidats


    Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
    Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
    Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
    Dans les questions 1. et 2. , le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On désigne par $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.

    1. Affirmation 1 : Le point d'affixe $(-1 + \text{i})^{10}$ est situé sur l'axe imaginaire.
    2. $|-1 + \text{i}| = \sqrt{2}$ donc $-1 + \text{i} = \sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right) = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}3\pi/4}$
      Un argument de $(-1 + \text{i})^{10}$ est donc $- \dfrac{3\pi}{4} \times 10 = -\dfrac{15\pi}{2}$.
      Le nombre $(-1 + \text{i})^{10}$ est donc un imaginaire pur.
      Affirmation vraie
    3. Affirmation 2 : Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \[z - \overline{z} +2 - 4\text{i} = 0\] admet une solution unique.
    4. On note $z = x + \text{i}z$ un nombre complexe. On a alors $z – \overline{z} = 2y\text{i}$.
      L’équation $z-\overline{z} + 2 – 4\text{i} = 0$ est donc équivalente à $2y\text{i} + 2 -4\text{i} = 0$ qui ne possède aucune solution.
      Affirmation fausse
    5. Affirmation 3 : $\ln \left(\sqrt{\text{e}^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\text{e}^9 \right)}{\ln \left(\text{e}^2 \right)} = \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 - \ln 4}}$
    6. $$\begin{array}{ll} \ln \left(\sqrt{\text{e}^7}\right) + \dfrac{\ln\left(\text{e}^9\right)}{\ln\left(\text{e}^2\right)} &= \dfrac{1}{2}\ln\left(\text{e}^7\right) + \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{7}{2} + \dfrac{9}{2} \\ &=\dfrac{16}{2} \\&=8 \end{array}$$ $$\begin{array}{ll} \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 2 – \ln 4}} & = \dfrac{\text{e}^{\ln 2} \times \text{e}^{\ln 3}}{\dfrac{\text{e}^{\ln 2}}{\text{e}^{\ln 4}}} \\ &= \dfrac{2 \times 3}{\dfrac{2}{4}}\\&= 12 \\ \end{array}$$
      Affirmation fausse
    7. Affirmation 4 : $\displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\:\text{d}x = - \ln \left(\dfrac{3}{5}\right)$
    8. Une primitive de la fonction $f$ définie sur $\left[0;\ln 3\right]$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}$ est la fonction $F$ définie sur le même intervalle par $F(x) = \ln \left(\text{e}^x + 2\right)$
      On a ainsi :
      $$\begin{array}{ll} I = \displaystyle \int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\text{d}x & = F(\ln 3) – F(0) \\ &= \ln\left(\text{e}^{\ln3} + 2\right) – \ln 2 \\
      &=\ln 5 – \ln 2 \\ &= \ln \left(\dfrac{5}{2}\right) \\ &= -\ln\left(\dfrac{2}{5}\right) \end{array}$$
      Affirmation vraie
    9. Affirmation 5 : L'équation $\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4$ admet une solution unique dans $\mathbb R$.
    10. Les solutions de l’équation doivent vérifier $x – 1> 0$ et $x + 2> 0$ soit $x > 1$.
      $$\begin{array}{ll} \ln(x – 1) – \ln(x + 2) = \ln 4 & \Leftrightarrow \ln \dfrac{x – 1}{x + 2} = \ln 4 \quad \text{et } x > 1\\ & \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x+2} = 4 \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow x – 1 = 4(x + 2) \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow 3x = -9 \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow x = -3 \quad \text{et } x > 1 \end{array}$$
      L’équation ne possède donc pas de solution dans $\mathbb R$
      Affirmation fausse

           


      Exercice 3 5 points


      Géométrie dans l'espace


      L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On donne les points A$(1~;~0~;~- 1)$, B$(1~;~2~;~3)$, C$(-5~;~5~;~0)$ et D$(11~;~1~;~-2)$. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Le point K est défini par $\vec{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{BC}}$.

        1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
        2. Démontrer que les points I, J et K définissent un plan.
        3. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(3~;~1~;~4)$ est un vecteur normal au plan (IJK). En déduire une équation cartésienne de ce plan.
      1. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y + 4z - 8 = 0$.
        1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD).
        2. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (BD).
        3. Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?

      Correction de l'exercice 3 (5 points)


      Commun à tous les candidats


      Géométrie dans l'espace


      L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On donne les points A$(1~;~0~;~- 1)$, B$(1~;~2~;~3)$, C$(-5~;~5~;~0)$ et D$(11~;~1~;~-2)$. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Le point K est défini par $\vec{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{BC}}$.

        1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
        2. $I$ est le milieu de $[AB]$ donc $I(1;1;1)$.
          $J$ est le milieu de $[CD]$ donc $J(3;3;-1)$
          $$\begin{array}{ll} \vec{BK} = \dfrac{1}{3}\vec{BC} & \Leftrightarrow \begin{cases} x_k – 1 = \dfrac{1}{3}(-5 – 1) \\ y_k – 2 = \dfrac{1}{3}(5 – 2) \\z_k – 3 = \dfrac{1}{3}(0 – 3) \end{cases} \\
          & \Leftrightarrow \begin{cases} x_k – 1 = -2 \\y_k – 2= 1 \\z_k – 3 = -1 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} x_k = -1 \\y_k = 3 \\z_k = 2 \end{cases}
          \end{array}$$
          Donc $K(-1;3;2)$.
        3. Démontrer que les points I, J et K définissent un plan.
        4. $\vec{IJ}(2;2;-2)$ et $\vec{IK}(-2;2;1)$. $\dfrac{2}{-2} \ne \dfrac{2}{2}$
          Ces deux vecteurs n’étant pas colinéaires,car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. les points $I$, $J$ et $K$ définissent bien un plan.
        5. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(3~;~1~;~4)$ est un vecteur normal au plan (IJK). En déduire une équation cartésienne de ce plan.
        6. $\vec{n}.\vec{IJ} = 3 \times 2 + 1 \times 2 + 4 \times (-2) = 0$
          $\vec{n}.\vec{Ik} = 3 \times (-2) + 1 \times 2 + 4 \times 1 = 0$
          Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. Il est donc normal au plan $(IJK)$.
          $\quad$
          Une équation du plan $(IJK)$ est donc de la forme $3x + y + 4z + d = 0$.
          Puisque $I$ appartient à ce plan, on a $3 + 1 + 4 + d = 0$ soit $d= -8$.
          Une équation du plan $(IJK)$ est donc :$$3x+y+4z-8=0$$
      1. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y + 4z - 8 = 0$.
        1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD).
        2. Un vecteur directeur de $(BD)$ est $\vec{BD}(10;-1;-5)$. La droite $(BD)$ passe par le point $B$, donc une représentation paramétrique de cette droite est : $$\begin{cases}x = 1 + 10t\\y = 2 – t \qquad t\in \mathbb R \\z=3 – 5t \end{cases}$$
        3. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (BD).
        4. $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
          $\vec{BD}.\vec{n} = 10 \times 3 – 1 \times 1 – 5 \times 4 = 9\ne 0$
          Par conséquent la droite $(BD)$ n’est pas parallèle au plan $\mathscr{P}$. Ils sont donc sécants.
          $\quad$
          Leur point d’intersection vérifie donc leurs équations. On obtient ainsi :
          $3(1 + 10t) + (2 – t) + 4(3 -5t) – 8 = 0 \Leftrightarrow 9t+9=0$ $\Leftrightarrow t = -1$.
          Par conséquent $\begin{cases} x_L = 1 – 10 = -9\\y_L = 2 + 1 = 3\\z_L = 3 + 5 = 8 \end{cases}$
        5. Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?
        6. Déterminons les coordonnées du milieu $E$ de $[LD]$ : $E(1;2;3) = B$.
          Le point $L$ est donc le symétrique du point $D$ par rapport au point $B$.
      2. Une figure faite avec GeoGebra3D

         

       


      Exercice 4 5 points


      Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


      On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\] On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$
      ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.

      1. Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
      2. Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
      3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$  $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
        Sur la figure de annexe 1 , en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $M_0, M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0,\: u_1$ et $u_2$.
        Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
        1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\] où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2.
        2. Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
      4. Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par \[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\]
        1. Calculer $S_0, \:S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près.
        2. Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2} pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur.
        3. Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$.
      5. Annexe 1:
        Annexe 2 de l'exercice 4 à rendre avec la copie réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignementde spécialité
        $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :}& n \text{ un entier naturel} \\ \text{Variables :} & u \text{ et } s \text{ sont des variables réelles}\\ & n \text{ et } i \text{ sont des variables entières}\\ \text{Initialisation :} & u \text{ prend la valeur } 1 \\ & s \text{ prend la valeur} u \\ & i \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{ Demander la valeur de } n \\ \text{Traitement :}&\text{ Tant que }\ldots\\ &\text{ Affecter à }i \text{ la valeur }i + 1\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \ldots\\ & \text{ Affecter à }s \text{ la valeur } \ldots\\ &\text{ Fin Tant que } \\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } s.\\ \hline \end{array}$$

       


      Correction de l'exercice 4 5 points


      Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


      On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\] On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$
      ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.

      1. Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
      2. La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x+2}$ est une fonction décroissante sur $[0;+\infty[$. Par conséquent la fonction $x \mapsto \dfrac{-4}{x+2}$ et la fonction $f$ sont croissantes sur cet intervalle.
        NB : on pouvait évidemment utiliser la dérivée également mais cela change un peu.
      3. Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
      4. $$\begin{array}{ll} f(x) = x & \Leftrightarrow 5 – \dfrac{4}{x+2} = x \\ & \Leftrightarrow 5(x +2) -4 = x(x+2) \\ & \Leftrightarrow 5x + 10 – 4 = x^2 + 2x \\ & \Leftrightarrow x^2 – 3x – 6 = 0 \end{array}$$
        On calcule le discriminant : $\Delta = 9 + 24 = 33 > 0$
        Cette équation possède deux solutions réelles $x_1 = \dfrac{3 – \sqrt{33}}{2} <0$ et $x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} > 0$.
        Par conséquent $\alpha = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx 4,37$
      5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
        Sur la figure de annexe 1 , en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $M_0, M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0,\: u_1$ et $u_2$.
        Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?

      6. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante et converge vers environ $4,3$
        1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\] où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2.
        2. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0 = 1$ et $u_1 = f(u_0) = \dfrac{11}{3}$ et $0 \le 1 \le \dfrac{11}{3} \le \alpha$
          La propriété est vraie au rang $0$.
          $\quad$
          Hérédité : Supposons la vraie au rang $n$ : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le \alpha$
          Puisque la fonction $f$ est croissante on a $f(0) \le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(\alpha)$ soit $3 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le \alpha$.
          On a donc bien $0 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le \alpha$.
          La propriété est vraie au rang $n+1$.
          $\quad$
          Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
          Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le \alpha$
        3. Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
        4. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$. On peut donc affirmer qu’elle converge.
      7. Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par \[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\]
        1. Calculer $S_0, \:S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près.
        2. $S_0 = u_0 = 1$
          $S_1 = u_0 + u_1 = 1 +\dfrac{11}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4,67$
          $S_2 = S_1 + u_2 = \dfrac{14}{3} + \dfrac{73}{17} = \dfrac{457}{51} \approx 8,96$
          $\quad$
        3. Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2} pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur.
        4. Entrée :
          $\quad$ $n$ un entier naturel
          Variables :
          $\quad$ $u $et $s$ sont des variables réelles
          $\quad$ $n$ et $i$ sont des variables entières
          Initialisation :
          $\quad$ $u$ prend la valeur $1$
          $\quad$ $s$ prend la valeur $u$
          $\quad$ $i$ prend la valeur $0$
          $\quad$ Demander la valeur de $n$
          Traitement :
          $\quad$ Tant que $i < n$
          $\qquad$ Affecter à $i$ la valeur $i+1$
          $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $5 – \dfrac{4}{u+2}$
          $\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s + u$
          $\quad$ Fin Tant que
          Sortie :
          $\quad$ Afficher $s$
          $\quad$
        5. Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$.
        6. La suite $(u_n)$ étant croissante on a $u_n \ge u_0$ pour tout $n \in \mathbb N$
          Par conséquent $S_n \ge (n+1)u_0$ soit $S_n \ge n+1$.
          Mais $\lim\limits_{n \to +\infty }n+1 = +\infty$.
          D’après le théorème de comparaison on a $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = +\infty$.

       


      Spécialité 5 points


      Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

      On considère l'algorithme suivant, où $A$ et $B$ sont des entiers naturels tels que $A < B$ : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Entrées :}& A \text{ et }B \text{ entiers naturels tels que } A < B\\ &\\ \text{ Variables :}& D \text{ est un entier}\\ &\text{ Les variables d'entrées } A \text{ et } B \\ &\\ \text{ Traitement :}&\\ &\text{ Affecter à } D \text{ la valeur de } B - A\\ &\\ &\text{ Tant que } D > 0\\ &B \text{ prend la valeur de } A\\ &A \text{ prend la valeur de } D\\ & \text{ Si }B > A \text{ Alors }\\ & D \text{ prend la valeur de } B - A\\ & \text{ Sinon }\\ & D \text{ prend la valeur de } A - B\\ &\text{ Fin Si }\\ &\text{ Fin Tant que }\\ &\\ \text{ Sortie :} &\text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$

      1. On entre $A = 12$ et $B = 14$. En remplissant le tableau donné en annexe , déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
      2. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres $A$ et $B$. En entrant $A = 221$ et $B = 331$, l'algorithme affiche la valeur 1.
        1. Justifier qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation \[(\text{E})\qquad 221x - 331y = 1.\]
        2. Vérifier que le couple $(3~;~2)$ est une solution de l'équation (E). En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
      3. On considère les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = 2 + 221n \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} v_0& =& 3\\ v_{n+1}&=& v_n + 331 \end{array}\right.\]
        1. Exprimer $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
        2. Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(p~;~q)$ tels que $u_p = v_q,\quad 0 \leqslant p \leqslant 500\quad$ et $\quad0 \leqslant q \leqslant 500$.

       


      Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


      Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

      On considère l'algorithme suivant, où $A$ et $B$ sont des entiers naturels tels que $A < B$ : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Entrées :}& A \text{ et }B \text{ entiers naturels tels que } A < B\\ &\\ \text{ Variables :}& D \text{ est un entier}\\ &\text{ Les variables d'entrées } A \text{ et } B \\ &\\ \text{ Traitement :}&\\ &\text{ Affecter à } D \text{ la valeur de } B - A\\ &\\ &\text{ Tant que } D > 0\\ &B \text{ prend la valeur de } A\\ &A \text{ prend la valeur de } D\\ & \text{ Si }B > A \text{ Alors }\\ & D \text{ prend la valeur de } B - A\\ & \text{ Sinon }\\ & D \text{ prend la valeur de } A - B\\ &\text{ Fin Si }\\ &\text{ Fin Tant que }\\ &\\ \text{ Sortie :} &\text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$

      1. On entre $A = 12$ et $B = 14$. En remplissant le tableau donné en annexe , déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
      2. $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A&B&D \\ \hline 12&14&2\\ \hline 2&12&10\\ \hline 10&2&8\\ \hline 8&10&2\\ \hline 2&8&6\\ \hline 6&2&4\\ \hline 4&6&2\\ \hline 2&4&2\\ \hline 2&2&0\\ \hline \end{array}$$ L’algorithme affiche donc $2$.
      3. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres $A$ et $B$. En entrant $A = 221$ et $B = 331$, l'algorithme affiche la valeur 1.
        1. Justifier qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation \[(\text{E})\qquad 221x - 331y = 1.\]
        2. Les nombres $221$ et $331$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, il existe un couple d’entier relatif $(a;b)$ tel que $221a+331b=1$ soit $221a – 331\times (-b) = 1$
          Le couple $(a;-b)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
        3. Vérifier que le couple $(3~;~2)$ est une solution de l'équation (E). En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
        4. $221 \times 3 – 331 \times 2 = 663 – 662 = 1$.
          Le couple $(3;2)$ est donc une solution de l’équation $(E)$.
          Soit $(x;y)$ un autre couple solution.
          On a ainsi :
          $221x – 331y = 1$ et $221 \times 3 – 331 \times 2 = 1$.
          Par différence on obtient :
          $221(x – 3) – 331(y – 2) = 0$ soit $221(x – 3) = 331(y – 2)$
          $221$ et $331$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k \in \mathbb Z$ tel que :
          $x-3 = 331k$ et $y-2 = 221k$.
          D’où $x= 3 + 331k$ et $y = 2 +221k$.
          Réciproquement :
          Soit $k$ un entier relatif.
          $221(3 +331k) – 331(2 + 221k) = 663 + 221 \times 331k – 662 – 331 \times 221k = 1$.
          Les solutions de l’équation $(E)$ sont les couples $(3+331k;2+221k)$ pour tout $k \in \mathbb Z$.
      4. On considère les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = 2 + 221n \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} v_0& =& 3\\ v_{n+1}&=& v_n + 331 \end{array}\right.\]
        1. Exprimer $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
        2. $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $331$ et de premier terme $3$.
          Donc $v_n = 3 + 331n$ pour tout entier naturel $n$.
        3. Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(p~;~q)$ tels que $u_p = v_q,\quad 0 \leqslant p \leqslant 500\quad$ et $\quad0 \leqslant q \leqslant 500$.
        4. On cherche les couples d’entiers naturels $(p;q)$ tels que $2 +221p = 3 +331q$ soit $221p – 331q = 1$.
          Il s’agit des couples solutions de l’équation $(E)$.
          On veut donc que : $0 \le 3 +331k \le 500$ et $0 \le 2+221k \le 500$
          d’où $-3 \le 331k \le 497$ et $-2 \le 221k \le 498$
          soit finalement $\dfrac{-k}{331} \le k \le \dfrac{497}{331}$ et $\dfrac{-2}{221} \le k \le \dfrac{498}{221}$.
          Par conséquent $k\in \{0;1\}$.
          Les couples $(p;q)$ cherchés sont donc $(3;2)$ et $(334;223)$.
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    Baccalauréat S Liban 27 mai 2014

     

     

    Exercice 1 5 points


    Commun à tous les candidats

    Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
    Les probabilités seront arrondies au dix millième.

    Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

    Partie A :

    L'élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée.

    Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

    Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $ 99,4 \%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

    On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement « L'élève se rend au lycée à vélo »,

    $B$ l'évènement « l'élève se rend au lycée en bus » et $R$ l'évènement « L'élève arrive en retard au lycée ».

    1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
    2. Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
    3. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $ 0,0192 $
    4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?

    Partie B : le vélo

    On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = 1,2$.

    1. Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
    2. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
    3. L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $ 0,9 $ ? Arrondir le résultat à la minute près.

    Partie C : le bus

    Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.

    On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $0,05$. On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

    1. Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ?
    2. Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.

     


    Correction de l'exercice 1 (5 points)


    Commun à tous les candidats

    Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
    Les probabilités seront arrondies au dix millième.

    Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

    Partie A :

    L'élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée.

    Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

    Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $ 99,4 \%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

    On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement « L'élève se rend au lycée à vélo »,

    $B$ l'évènement « l'élève se rend au lycée en bus » et $R$ l'évènement « L'élève arrive en retard au lycée ».

      1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.

    1. Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
    2. D'après l'arbre ci-dessus $P\big(V \cap R\big)=0,7\times0,006=0,0042$.
    3. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $ 0,0192 $
    4. D'après l'arbre ci-dessus, la probabilité de l'évènement R est \[P(R)=P\big(V \cap R\big)+P\big(B \cap R\big)= 0,0042 + 0,3 \times 0,05 = 0,0192 \]
    5. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?
    6. On cherche à déterminer $P_{R}\big(B\big)$: \[P_{R}\big(B\big)=\dfrac{P\big(B\cap R\big)}{P\big(R\big)}=\dfrac{ 0,3 \times 0,05 }{ 0,0192 } = 0,78125 \]

    Partie B : le vélo

    On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = 1,2$.

    1. Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
    2. Cela revient à calculer $P\big(15\leqslant T\leqslant 20\big)$. À la calculatrice, nous obtenons, $P\big(15\leqslant T\leqslant 20\big)= 0,946 $
    3. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
    4. Il sera en retard au lycée si il met plus de 20 minutes pour effectuer le trajet. On cherche donc la probabilité de l'évènement « $T \geqslant 20$ » . À la calculatrice, nous obtenons \[P\big( T\geqslant 20\big)= 0,0062 \]
    5. L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $ 0,9 $ ? Arrondir le résultat à la minute près.
    6. On cherche la durée maximale de son temps de parcours $T_0$ (en minutes) tel que $P\big( T\leqslant T_0\big)=0,9$. A la calculatrice, nous obtenons \[P\big( T\leqslant 18,5379\big)=0,9\] Ce qui signifie qu'il a une probabilité de $0,9$ de mettre moins de 18 minutes et 30 secondes (environ). Il peut donc partir au plus tard à 8 heures moins 18 minutes et 30 secondes, soit à 7 h 41 minutes et 30 secondes. à une minute près, il peut partir au maximum à 7 h 41,
      de sorte à avoir une probabilité d'arriver à l'heure de $ 0,9 $

    Partie C : le bus

    Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.

    On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $0,05$. On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

    1. Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ?
    2. D'après le cours $Z'$ suit une loi normale centrée-réduite.
    3. Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.
    4. Puisque $P\big(T' \geqslant 20\big)= 0,05$, il vient \[ P\Big(\dfrac{T'- 15}{\sigma'} \geqslant \dfrac{20-15}{\sigma'}\Big)= 0,05 \Leftrightarrow P\Big(Z' \geqslant \dfrac{5}{\sigma'}\Big)=0,05\] À la calculatrice, en considérant une loi normale centrée-réduite $Z'$, on trouve que \[ P\Big(Z'\geqslant 1,6449\Big)=0,05\] D'où \[\dfrac{5}{\sigma'}=1,6449 \] et donc \[\sigma'=\dfrac{5}{1,6449}=3,04\quad\text{ à }\quad 0,01\quad \text{près} \]

    Exercice 2 5 points


    Commun à tous les candidats

    Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t\\ y=1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\ z=-5+3t \end{cases}$ On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$

    1. Proposition 1 :
      Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=5-2t\\ y=-1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\ z=-2+t \end{cases}$
    2. Proposition 2 :
      Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.
    3. Proposition 3 :
      Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.
    4. Proposition 4 :
      La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;~-3;~-4)$.
    5. Proposition 5 :
      Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.

    Correction de l'exercice 2 (5 points)


    Commun à tous les candidats

    Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
    On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2t\\ y=1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\ z=-5+3t \end{cases}$ On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$

      1. Proposition 1 :
        Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=5-2t\\ y=-1+t\quad,\quad t\in\mathbb{R} \\ z=-2+t \end{cases}$
      2. Vraie .

     

        Il suffit de vérifier que les coordonnées des deux points A et B vérifient le système formé des trois équations paramétriques. Pour $t=2$ on retrouve les coordonnées du point A, et pour $t=1$ celles du point B.
      1. Proposition 2 :
        Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales.
      2. Vraie .

     

        $\mathcal{D}$ est dirigée par $\vec{d}$ de coordonnées $(2,~1,~3)$ et $(AB)$ par $\vec{AB}$ de coordonnées $(-2,~1,~1)$. Or $\vec{AB}\cdot \vec{d}= -4+1+3=0$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{d}$ sont donc orthogonaux, les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont donc orthogonales.
      1. Proposition 3 :
        Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires.
      2. Fausse

     

        Pour savoir si ces deux droites sont coplanaires, il suffit de savoir si elles sont sécantes, car étant orthogonales elles ne pourront pas être parallèles.

     

        Pour cela on résout le système \[\begin{cases} 2t\hspace{0.7cm}=\;5-2t'&\quad(1)\\ 1+t\hspace{0.4cm}=\;-1+t'&\quad(2)\\ -5+3t=\;-2+t'&\quad(3) \end{cases}\]

     

        En soustrayant membre à membre (3) et (2), il vient $2t-6=-1$ soit $t=\dfrac52$. On remplace dans (2): $t'=-2+t=-2+\dfrac52=\dfrac12$.

     

        On vérifie dans (1): $2t=5$, alors que $5-2t'=5-1=4$. Ce qui signifie que ce système n'a pas de solution.

     

        Puisque ces deux droites sont orthogonales et non sécantes, elles seront donc non coplanaires.
      1. Proposition 4 :
        La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8;~-3;~-4)$.
      2. Fausse

     

        On vérifie facilement que $E\in\mathcal{P}$, mais $E\notin\mathcal{D}$.

     

        En effet, si on résout le système \[\begin{cases} 8=2t\\ -3=1+t\\ -4=-5+3t \end{cases}\]

     

        On trouve que $t=4$ dans la première équation, valeur qui ne convient pas dans la seconde équation.
      1. Proposition 5 :
        Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
      2. Vraie .

     

        Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(1,~-1,~3)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

     

        Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ont pour coordonnées respectives $(2,~-1,~-1)$ et $(6,~0,~-2)$,

     

        d'où \[\vec{n}\cdot\vec{AB}=2+1-3=0\quad\text{et}\quad \vec{n}\cdot\vec{AC}=6+0-6=0 \] $\vec{n}$ est donc normal au plan $(ABC)$.

     

      $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ ayant un vecteur normal commun sont donc parallèles.

    Exercice 3 5 points


    Fonctions

    Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

    Partie A

    1. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
    2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?

    Partie B

    Soit $\mathcal{A}$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ de la façon suivante :
    pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[\,,\,\mathcal{A}(t)$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = t$.

    1. Déterminer le sens de variation de la fonction $\mathcal{A}$.
    2. On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction $\mathcal{A}$?
    3. On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel $\alpha$ tel que la droite d'équation $x =\alpha$ partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
      1. Démontrer que l'équation $\mathcal{A}(t)=\dfrac12$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$
      2. Sur le graphique fourni en annexe à rendre avec la copie sont tracées la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $\mathcal{A}$.
        Sur le graphique de l' annexe, identifier les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$, puis tracer la droite d'équation $y=\dfrac12$. En déduire une valeur approchée du réel $\alpha$.
        Hachurer le domaine correspondant à $\mathcal{A}(\alpha)$.
    4. On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ par $g(x) = (x+1)\,\mathrm{e}^{-x}$.
      1. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$.
      2. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;~+\infty[$, calculer $g'(x)$.
      3. En déduire, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;~+\infty[$, une expression de $\mathcal{A}(t)$.
      4. Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}(6)$.

     Annexe :


    Correction de l'exercice 3 (5 points)


    Commun à tous les candidats


    Fonctions

    Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

    Partie A

    1. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
    2. $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}=(1 - x)\mathrm{e}^{-x}$ $\mathrm{e}^{-x}$ étant toujours strictement positif, $f'(x)$ sera du signe de $1-x$. Il s'ensuit que \[f'(x)\geqslant0\quad \text{ sur }\quad [0,~1]\quad \text{ et }\quad f'(x)<0\quad \text{ sur }\quad ]1,~+\infty[\] $f$ est donc croissante sur $[0,~1]$ et décroissante sur $]1,~+\infty[$.
    3. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?
    4. On sait que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}=0$, ce qui signifie que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$

    Partie B

    Soit $\mathcal{A}$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ de la façon suivante :
    pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[\,,\,\mathcal{A}(t)$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = t$.

      1. Déterminer le sens de variation de la fonction $\mathcal{A}$.
      2. Comme la fonction $f$ est continue et positive sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ alors \[\mathcal{A}(t)=\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x\]et donc, pour tout $t\in [0;~+\infty[\quad \mathcal{A}'(t)=f(t)$ Comme $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ il s'ensuit que la fonction $\mathcal{A}$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.
      3. On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction $\mathcal{A}$?
      4. On peut en déduire que la fonction $\mathcal{A}$ a pour limite 1 en $+\infty$.
      5. On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel $\alpha$ tel que la droite d'équation $x =\alpha$ partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
          1. Démontrer que l'équation $\mathcal{A}(t)=\dfrac12$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$
          2. Dressons le tableau de variations de la fonction $\mathcal{A}$ sur $[0~;~+\infty[$ :

          1. Sur le graphique fourni en annexe à rendre avec la copie sont tracées la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $\mathcal{A}$.
            Sur le graphique de l' annexe, identifier les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$, puis tracer la droite d'équation $y=\dfrac12$. En déduire une valeur approchée du réel $\alpha$.

          Hachurer le domaine correspondant à $\mathcal{A}(\alpha)$.


    • On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ par $g(x) = (x+1)\,\mathrm{e}^{-x}$.
      1. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$.
      2. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;~+\infty[$, calculer $g'(x)$.

    $g'(x)= \mathrm{e}^{-x}-(x+1)\mathrm{e}^{-x}=-x\,\mathrm{e}^{-x}$

    • En déduire, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;~+\infty[$, une expression de $\mathcal{A}(t)$.

    On remarque que $g'(x)= -f(x)$, d'où \[\mathcal{A}(t)=\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x =\int_0^t -g'(x)\,\mathrm{d}x=\left[-g(x)\right]_0^t = -g(t)+g(0)=1-(1+t)\mathrm{e}^{-t}\]

    • Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}(6)$.

    $\mathcal{A}(6)=1-7\mathrm{e}^{-6}\simeq 0,98$

     


    Exercice 4 5 points


    Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

    On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$: \[z_{n+1} = (1+\mathrm{i})z_n.\]
    Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
    Partie A
    Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

    1. Calculer $u_0$.
    2. Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.
    3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    5. Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$. $$\begin{array}{|lcl|} \hline\text{Variables}&: &u \text{ est un réel}\\ &&p \text{ est un réel}\\ && n \text{ est un entier}\\ \text{Initialisation}&:& \text{Affecter à  } n \text{la valeur 0}\\ && \text{Affecter à  } u \text{la valeur 2}\\ \text{Entrée}&:& \text{Demander la valeur de } p \\ \text{Traitement}&:&\\ && \\ && \\ &&\\ \text{Sortie}&:& \\ \hline \end{array}$$

    Partie B

    1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
    2. Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$. En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
    3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$

     


    Correction de l'exercice 4 5 points


    Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

    On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$: \[z_{n+1} = (1+\mathrm{i})z_n.\]
    Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
    Partie A
    Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

    1. Calculer $u_0$.
    2. $u_0=\vert z_0 \vert= \left\vert \sqrt3-\mathrm{i}\right\vert = 2$.
    3. Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.
    4. $u_{n+1}= \left\vert z_{n+1}\right\vert= \left\vert (1+\mathrm{i})z_n\right\vert= \vert 1+\mathrm{i}\vert \times \vert z_n \vert=\sqrt2\vert z_n \vert=\sqrt2 u_n $
    5. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    6. D'après le cours, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 2\left(\sqrt2\right)^n$ ; $(u_n)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme $u_0=2$.
    7. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    8. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\sqrt2>1$ et de premier terme strictement positif, elle diverge donc vers $+\infty$.
    9. Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$. $$\begin{array}{|lcl|}\hline \text{Variables}&: &u \text{ est un réel}\\ &&p \text{ est un réel}\\ && n \text{ est un entier}\\ \text{Initialisation}&:& \text{Affecter à  } n \text{la valeur 0}\\ && \text{Affecter à  } u \text{la valeur 2}\\ \text{Entrée}&:& \text{Demander la valeur de  } p \\ \text{Traitement}&:& \text{Tant que } u \leqslant p \text{ Faire }\\ && \text{Affecter à  } n \text{ la valeur } n+1\\ && \text{Affecter à } u \text{ la valeur } \sqrt2\times u\\ && \text{ Fin du Tant Que }\\ \text{Sortie}&:& \text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$

    Partie B

      1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
      2. $z_1 = (1+\mathrm{i})\times (\sqrt3-\mathrm{i})= 1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)$.
      3. Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$. En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
      4. $z_0 = 2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12\mathrm{i}\right) = 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$

     

        $1+\mathrm{i}=\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.

     

        $z_1= 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}} \times \sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}$.
      1. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
      2. Des deux questions précédentes, on obtient que \[1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}= 2\sqrt2 \Big(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\Big) \]

     

      D'où \[\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)= \dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\]

     


    Spécialité 5 points


    Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

    Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.

    Unindividu sain est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie.

    Unindividu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.

    Unindividu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.

    Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

    Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant:

    • $5\,\%$ des individus tombent malades;
    • $20\,\%$ des individus guérissent.

    Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'individus sains $n$ jours après le début de l'expérience, $b_n$ la proportion d'individus malades $n$ jours après le début de l'expérience, et $c_n$ celle d'individus guéris $n$ jours après le début de l'expérience. On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que $a_0=1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$

    1. Calculer $a_1$, $b_1$ et $c_1$.
      1. Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
      2. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$.
    2. On admet que $c_{n+1} = 0,2b_n + c_n$. Pour tout entier naturel $n$, on définit $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}$ On définit les matrices $A=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0,05&0,8&0\\ 0&0,2&1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0&0,8&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ On admet qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que $D=P^{-1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n=P\times D^{n}\times P^{-1}$.
      1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A\times U_n$. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\times U_0$.
      2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n=\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ 0&0,8^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$
    3. On admet que $A^n =\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ \dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)&0,8^n&0\\ \dfrac13\left(3-4\times0,95^n+0,8^n\right)&1-0,8^n&1 \end{pmatrix}$
      1. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $b_n=\dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)$
      2. Déterminer la limite de la suite $\left(b_n\right)$.
      3. On admet que la proportion d'individus malades croût pendant plusieurs jours, puis décroit.
        On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum.
        A cet effet, on utilise l'algorithme donné en  annexe 2  à rendre avec la copie, dans lequel on compare les termes successifs de la suite $(b_n)$.
        Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni en annexe 2.
        Conclure.

    Annexe : $$\begin{array}{|ll cl|} \hline \text{Variables}&: &b,~b',~x,~y \text{ sont des réels}&\\ && k \text{ est un entier naturel}&\\ && n \text{ est un entier }&\\ \text{Initialisation}&:& \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 0}&\\ && \text{ Affecter à } b'\text{ la valeur 0,05}&\\ && \text{ Affecter à } k \text{ la valeur 0 }&\\ && \text{Affecter à } x \text{ la valeur 0,95}&\\ && \text{ Affecter à } y \text{ la valeur 0,8}&\\ \text{Traitement}&:& \text{ Tant que } b < b' \text{ faire: }&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } k \text{ la valeur } k+1&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } b \text{ la valeur } b'&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } x \text{ la valeur } 0,95 x&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } y \text{ la valeur } 0,80 y&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } b' \text{ la valeur } \ldots \ldots&\\ &&\text{ Fin Tant que}&\\ \text{Sortie}&:& \text{ Afficher } \ldots \ldots & \\ \hline\end{array}$$

     


    Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


    Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

    Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.

    Unindividu sain est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie.

    Unindividu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.

    Unindividu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.

    Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

    Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant:

    • $5\,\%$ des individus tombent malades;
    • $20\,\%$ des individus guérissent.

    Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'individus sains $n$ jours après le début de l'expérience, $b_n$ la proportion d'individus malades $n$ jours après le début de l'expérience, et $c_n$ celle d'individus guéris $n$ jours après le début de l'expérience. On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que $a_0=1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$

      1. Calculer $a_1$, $b_1$ et $c_1$.

     

      $a_1=0,95$, $b_1=0,05$ et $c_1=0$.
        1. Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.

          $95\%$ des individus restent sains d'un jour au jour suivant d'où $$a_{n+1}=0,95a_n$$
        1. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$.

        Au jour $n+1$, $5\%$ des individus sains ($a_n$) deviennent malades (soit $0,05a_n$) et $80\%$ des individus malades $b_n$ le reste ($0,8b_n$), d'où \[b_{n+1}=0,05a_n + 0,8b_n\]
    1. On admet que $c_{n+1} = 0,2b_n + c_n$. Pour tout entier naturel $n$, on définit $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}$ On définit les matrices $A=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0,05&0,8&0\\ 0&0,2&1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0&0,8&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ On admet qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que $D=P^{-1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n=P\times D^{n}\times P^{-1}$.
        1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A\times U_n$. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\times U_0$.

          Pour tout entier naturel $n$, \[A\times U_n=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0,05&0,8&0\\ 0&0,2&1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,95a_n\\ 0,05a_n+0,8b_n\\0,2b_n+c_n \end{pmatrix}=U_{n+1} \]
        1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n=\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ 0&0,8^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

        C'est vrai pour $n=0$ car $D^{0}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ Supposons que $D^n=\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ 0&0,8^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ alors: \[D^{n+1}=D\times D^n=\begin{pmatrix} 0,95&0&0\\ 0&0,8&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ 0&0,8^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,95^{n+1}&0&0\\ 0&0,8^{n+1}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \] C'est donc vrai au rang $n+1$ Par récurrence, cela sera vrai pour tout entier naturel $n$.
    2. On admet que $A^n =\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ \dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)&0,8^n&0\\ \dfrac13\left(3-4\times0,95^n+0,8^n\right)&1-0,8^n&1 \end{pmatrix}$
        1. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $b_n=\dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)$
        2. $U_n=A^n\times U_0 $, Soit \[\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,95^n&0&0\\ \dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)&0,8^n&0\\ \dfrac13\left(3-4\times0,95^n+0,8^n\right)&1-0,8^n&1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,95^n\\ \dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)\\ \dfrac13\left(3-4\times0,95^n+0,8^n\right) \end{pmatrix} \] d'où \[b_n=\dfrac13\left(0,95^n-0,8^n\right)\]
        3. Déterminer la limite de la suite $\left(b_n\right)$.

          $(b_n)$ est la somme de deux suites géométriques de raisons comprises entre 0 et 1 qui convergent vers 0, il en est donc de même de $(b_n)$.
        1. On admet que la proportion d'individus malades croût pendant plusieurs jours, puis décroit.
          On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum.
          A cet effet, on utilise l'algorithme donné en  annexe 2  à rendre avec la copie, dans lequel on compare les termes successifs de la suite $(b_n)$.
          Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni en annexe 2.
          Conclure.

          $$\begin{array}{|ll cl|} \hline \text{Variables}&: &b,~b',~x,~y \text{ sont des réels}&\\ && k \text{ est un entier naturel}&\\ && n \text{ est un entier }&\\ \text{Initialisation}&:& \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 0}&\\ && \text{ Affecter à } b'\text{ la valeur 0,05}&\\ && \text{ Affecter à } k \text{ la valeur 0 }&\\ && \text{Affecter à } x \text{ la valeur 0,95}&\\ && \text{ Affecter à } y \text{ la valeur 0,8}&\\ \text{Traitement}&:& \text{ Tant que } b < b' \text{ faire: }&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } k \text{ la valeur } k+1&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } b \text{ la valeur } b'&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } x \text{ la valeur } 0,95 x&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } y \text{ la valeur } 0,80 y&\\ &&\quad\vert \text{ Affecter à } b' \text{ la valeur } \dfrac13(x-y)&\\ &&\text{ Fin Tant que}&\\ \text{Sortie}&:& \text{ Afficher }k& \\ \hline\end{array}$$

        $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & k & b & x & y & b' & Test: b < b' ?\\ \hline \hline \text{Après le 7e passage dans la boucle Tant que }& 7 & 0,1628 & 0,6634 & 0,1678 & 0,1652 & \text{Vrai}\\ \hline \text{Après le 8e passage éventuel dans la boucle Tant que} & 8 & 0,1652& 0,6302 & 0,1342 & 0,1653 & \text{Vrai}\\ \hline \text{Après le 9e passage éventuel dans la boucle Tant que }& 9 & 0,1653 &0,5987 & 0,1073 &0,1637 & \text{Faux}\\ \hline \end{array} $$ Pour chaque ligne du tableau, $b$ désigne $b_k$ et $ b'$ désigne $b_{k+1}$; on a donc : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline b_{k} & 0,1628 & 0,1652 & 0,1653 & 0,1637 \\ \hline \end{array} $$ Le rang du jour où le pic épidémique est atteint est donc le 9.
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