Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014 - Exercice 2

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Exercice 2  4 points

Commun à tous les candidats

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_{0}&=& 16\\ z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n. \end{array}\right.\] On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$. Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

1. 1. Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
   2. Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l' annexe, à rendre avec la copie .
   3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique.
   4. Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.
2. Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ? Interpréter géométriquement le résultat précédent.
On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc. Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$ 
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.
2. Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.
3. Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.