Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014 - Correction Exercice 4

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Exercice 4  5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points :
\[\text{A}(1 ; 2 ; 7),\quad \text{B}(2 ; 0 ; 2),\quad \text{C}(3 ; 1 ; 3),\quad \text{D}(3 ;  -6 ; 1) \:\:\text{et E}(4 ; -8 ; -4).\]
      1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
      2. $\vec{AB} = (1;-2;-5)$ et $\vec{AC}(2;-1;-4)$.

 

        Les $2$ vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les points $A$, $B$ et$ C$ ne sont pas alignés.

 

      1. Soit $\vec{u}(1 ; b ; c)$ un vecteur de l'espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels.
          1. Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vec{u}$ soit un vecteur normal au plan (ABC).
          2. On veut donc que :

            $$\begin {array}{ll} \begin{cases} \vec{u}.\vec{AB} = 0 \\ \vec{u}.\vec{AC} = 0 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} 1- 2b- 5c = 0 \\2 -b-4c = 0 \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} b= 2-4c \\-2(2-4c)-5c=-1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} b=2-4c \\3c=3 \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} c=1 \\b= -2 \end{cases} \end{array}$$ Donc $\vec{u}(1,-2,1)$.

          1. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $x - 2 y + z - 4 = 0$.
          2. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est alors de la forme :

            $$x-2y+z+d=0$$

            Or $A$ appartient au plan $ABC$ donc :

            $$1 -4 + 7 +d = 0 \Leftrightarrow d = -4$$

            Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc bien $x-2y+z-4=0$

          1. Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
          2. Regardons si les coordonnées du point $D$ vérifient l’équation précédente :

            $$3 + 12 + 1 – 4 = 12 \ne 0$$

          Donc $D$ n’appartient pas à $(ABC)$.
      2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de l'espace dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& \phantom{-}2t+3\\ y& =& - 4t + 5\\ z& =&\phantom{-}2t-1 \end{array}\right. \: \text{où}\: t\: \text{est un nombre réel.}\]
          1. La droite $\mathcal{D}$ est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
          2. Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{v}(2;-4;2) = 2\vec{u}$.

            Donc $\mathscr{D}$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

          1. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC).
          2. Pour trouver les coordonnées du point d’intersection de la droite et du plan on va injecter dans l’équation du plan les équations paramétriques de la droite.

            $$\begin{array} 2t+3 -2(-4t+5)+(2t-1)-4 = 0 &\Leftrightarrow 2t+3+8t-10+2t-1-4=0 \\\\

          & \Leftrightarrow 12t-12=0 \\ &\Leftrightarrow t = 1 \end{array}$$ Le point $H$ a donc pour coordonnées $(5;1;1)$
      3. Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).
      4. $\vec{DE}(1;-2;-5)$. Ce vecteur n’est pas colinéaire $ \vec{u}$ donc la droite $(DE)$ n’est pas orthogonale au plan $(ABC)$.

 

        $\vec{DE}.\vec{u} = 1 +4 – 5 = 0$.

 

        Donc la droite $(DE)$ est pas parallèle au plan $(ABC)$.

 

        Puisque $D$ n’appartient pas à $(ABC)$ alors la droite est strictement parallèle au plan.
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