Baccalauréat STI2D–STL spécialité SPCL Polynésie - 11 juin 2015 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 4 points

Probabilités

Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution.
Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

1. Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg. La masse $M$ en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $m = 1000$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
   1. Calculer $P(995 \leqslant X \leqslant 1000 )$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   2. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à $990$ grammes. Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé ?
   On calcule donc $P(X < 990)$

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   
   Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$. On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
2. On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
   1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? On donnera ses paramètres.

   On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

   • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
   • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

   Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

   2. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces $100$ paquets soient refusés ?

   2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   3. Calculer la probabilité que, parmi ces $100$ paquets, 5 ou plus soient refusés.
   On calcule donc $P(X\leq 5)$

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. On contrôle la masse d'un échantillon de $100$ paquets de sucre dans le stock global de l'entreprise. Après contrôle, $10$ paquets sont refusés.
   Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95 \%$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
   L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{100}=[0,026; 0,133]$$ On calcule alors la fréquence observée sur l'échantillon : $f_{obs}= \dfrac{10}{100}=0,1$. Comme $f_{obs}\in[0,026; 0,133]$ ; l'échantillon est donc représentatif.