Baccalauréat STI2D–STL spécialité SPCL Polynésie - 11 juin 2015

Exercice 1 4 points


QCM

Cet exercice est un Q. C. M. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Dans cet exercice, on note $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse choisie.

  1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, A, B). L'ensemble $E$ des images des nombres complexes $z$ vérifiant la relation $|z| = 1$ est représenté en gras par :
  2. Considérons les deux nombres complexes \[z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_2 = - \sqrt{3} + \text{i}\] où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$. Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à :
    1. $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$
    2. $\left(1 + \sqrt{3}\right)(- 1 + \text{i})$
    3. $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$
    4. $1 - \sqrt{3} + 2\text{i}$
  3. Voici la représentation graphique d'une fonction $f$. Cette courbe admet les quatre asymptotes suivantes :
    • deux asymptotes horizontales d'équations respectives $y = -1$ et $y = 0$ ;
    • deux asymptotes verticales d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.

    Choisissez la bonne égalité :
    1. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$
    2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = - \infty$
    3. $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = + \infty$
    4. $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 1$
  4. On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 5$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ dérivable sur $\mathbb R$ et de dérivée notée $y'$. Une solution de cette équation est :
    1. $x \longmapsto \dfrac{5 - \text{e}^{- 2x}}{2}$
    2. $x \longmapsto \text{e}^{- 2x} - 5$
    3. $x \longmapsto \dfrac{\text{e}^{2x} - 5}{2}$
    4. $x \longmapsto \text{e}^{2x} + 2,5$

  5. Correction de l'exercice 1 (4 points)


    QCM

    Cet exercice est un Q. C. M. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
    Aucune justification n'est demandée.
    Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
    Dans cet exercice, on note $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.
    Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse choisie.

    1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, A, B). L'ensemble $E$ des images des nombres complexes $z$ vérifiant la relation $|z| = 1$ est représenté en gras par :
    2. $|z| = 1 \iff OM = 1$
      L'ensemble $E$ est donc le cercle de centre $O$ de rayon 1.
      Bonne réponse c.
    3. Considérons les deux nombres complexes \[z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_2 = - \sqrt{3} + \text{i}\] où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$. Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à :
      1. $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$
      2. $\left(1 + \sqrt{3}\right)(- 1 + \text{i})$
      3. $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$
      4. $1 - \sqrt{3} + 2\text{i}$
    4. L'écriture exponentielle d'un nombre complexe est $\rho e^{i\theta}$ où $\rho$ est son module et $\theta$ son argument.
      • Module : $|z_2|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt 3^2+1^2}=\sqrt{4}=2 $
      • Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= -\dfrac{\sqrt 3}{2 }\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r} = \dfrac{1}{ 2} \end{array} \right.$$
      Ainsi $\theta= \dfrac{5\pi}{6}$ convient; on a donc: $$z_2=\left[2 ; \dfrac{5\pi}{6}\right] \text{ ou } z_2=2 \left [\cos\left ( \dfrac{5\pi}{6}\right )+\text{i}\sin\left ( \dfrac{5\pi}{6}\right )\right ]= 2e^{ \text{i}\frac{ 5\pi}{6}}$$ On a alors $$\begin{array}{rl}z_1 \times z_2&=\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \times 2e^{ \text{i}\frac{ 5\pi}{6}} \\ &= 2\sqrt 2 \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ 5\pi}{6}\right) }\\ &= 2\sqrt 2 \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{12}+\frac{ 10\pi}{12}\right) }\\ &= 2\sqrt 2 \text{e}^{\text{i}\left(\frac{13\pi}{12} \right) }\\ \end{array}$$
      Bonne réponse c.
      Bonne réponse c.
    5. Voici la représentation graphique d'une fonction $f$. Cette courbe admet les quatre asymptotes suivantes :
      • deux asymptotes horizontales d'équations respectives $y = -1$ et $y = 0$ ;
      • deux asymptotes verticales d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.

      Choisissez la bonne égalité :
      1. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$
      2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = - \infty$
      3. $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = + \infty$
      4. $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 1$
    6. Bonne réponse b.
    7. On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 5$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ dérivable sur $\mathbb R$ et de dérivée notée $y'$. Une solution de cette équation est :
      1. $x \longmapsto \dfrac{5 - \text{e}^{- 2x}}{2}$
      2. $x \longmapsto \text{e}^{- 2x} - 5$
      3. $x \longmapsto \dfrac{\text{e}^{2x} - 5}{2}$
      4. $x \longmapsto \text{e}^{2x} + 2,5$
    8. $y' + 2y = 5$ s'écrit $y'=-2y+5$; elle est donc du type $y'=ay+b$ où $a=-2$ et $b=5$;
      la solution générale est $y=-\dfrac{b}{a}+ C \text{e}^{ax}$ où $C$ désigne une constante réelle quelconque.
      Ici la solution générale de $y'=-2y+5$ est $y= \dfrac{5}{2}+ C \text{e}^{-2x}$ où $C$ désigne une constante réelle quelconque. $x \longmapsto \dfrac{5 - \text{e}^{- 2x}}{2}= \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2} \text{e}^{-2x}$
      Bonne réponse a.

      Exercice 2 (6 points)


      Suites
      L'efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique dans les habitations, $\ldots$) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers. À l'échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5 % par an. En 2014, le fournisseur d'énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d'affaires de 920 millions d'euros dans les services énergétiques.
      Les résultats seront arrondis au million d'euros près

      1. Déterminer le chiffre d'affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année 2015. On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre. Notons $C_n$ le chiffre d'affaires, en million d'euros, réalisé par le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année $2014 + n$.
      2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire la nature de la suite $\left(C_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
      3. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
        1. Calculer la valeur du chiffre d'affaires en 2019.
        2. Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 ? On donnera le résultat sous la forme $p %$, où $p$ est arrondi à $10^{-1}$.
      4. On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
        1. On considère l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée. $$\begin{array}{|r|l|}\hline 1&\text{Variables}\\ 2&\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ 3&\hspace{0.6cm} C : \text{ un nombre réel}\\ 4&\text{Initialisation}\\ 5&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } 0\\ 6&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } 920\\ 7&\text{Traitement}\\ 8&\hspace{0.6cm} \text{Tant que } \ldots \\ 9&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } N \text{la valeur } N + 1\\ 10&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } C * 1,05\\ 11&\hspace{0.6cm} \text{ Fin Tant que }\\ 12&\text{Sortie}\\ 13&\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}$$
        2. En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros.
        3. Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par le calcul.
      5. Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle de 10 % du marché des services énergétiques à l'échelle européenne. Déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires va doubler.

      Correction de l'exercice 2 (6 points)


      Suites
      L'efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique dans les habitations, $\ldots$) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers. À l'échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5 % par an. En 2014, le fournisseur d'énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d'affaires de 920 millions d'euros dans les services énergétiques.
      Les résultats seront arrondis au million d'euros près

      1. Déterminer le chiffre d'affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année 2015. On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre. Notons $C_n$ le chiffre d'affaires, en million d'euros, réalisé par le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année $2014 + n$.
      2. On calcule $920 + 5\%\times 920 = 920\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)= 1,05 \times 920 = 966$
        Le fournisseur ENERGIA devrait donc faire un chires d'affaires de 966 millions d'euros dans les services énergétiques pour l'année 2015.
      3. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire la nature de la suite $\left(C_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
      4. $$\begin{array}{rl} C_{n+1}&= C_n+5\%C_n\\ &= Cn\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)\\ &= 1,05 C_n \end{array}$$ La suite $\left(C_n\right)$ est donc géomérique de raison $q= 1,05$ de premier $C_0= 920$.
      5. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
      6. Comme $\left(C_n\right)$ est géométrique, on a $C_n = q^n \times C_0$
        $C_n = 1,05^n \times 920$
        1. Calculer la valeur du chiffre d'affaires en 2019.
        2. 2019 = 2014+5; ainsi la valeur du chiffre d'affaires en 2019 est $C_5= 1,05^5\times 920 \approx 1174,18 $
          La valeur du chiffre d'affaires en 2019 est environ 1174,18 millions d'euros.
        3. Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 ? On donnera le résultat sous la forme $p\%$, où $p$ est arrondi à $10^{-1}$.
        4. On peut par exemple faire un tableau de proportionnalité : $$\begin{array}{|c|c|}\hline 920& 1174,18\\ \hline 1& 1+p \\ \hline \end{array}$$ On a donc $$\begin{array}{rl} \dfrac{920}{1}= \dfrac{1174,18}{1+p} & \iff 920(1+p) = 1174,18 \\ & \iff 1+ p=\dfrac{1174,18}{920} \\ & \iff p = \dfrac{1174,18}{920}-1 \\ & \iff p \approx 0,278 \\ \end{array}$$
          Le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 est environ 27,8 %.
      7. On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
        1. On considère l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée. $$\begin{array}{|r|l|}\hline 1&\text{Variables}\\ 2&\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ 3&\hspace{0.6cm} C : \text{ un nombre réel}\\ 4&\text{Initialisation}\\ 5&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } 0\\ 6&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } 920\\ 7&\text{Traitement}\\ 8&\hspace{0.6cm} \text{Tant que } \ldots \\ 9&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } N \text{la valeur } N + 1\\ 10&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } C * 1,05\\ 11&\hspace{0.6cm} \text{ Fin Tant que }\\ 12&\text{Sortie}\\ 13&\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}$$
        2. $$\begin{array}{|r|l|}\hline 1&\text{Variables}\\ 2&\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ 3&\hspace{0.6cm} C : \text{ un nombre réel}\\ 4&\text{Initialisation}\\ 5&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } 0\\ 6&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } 920\\ 7&\text{Traitement}\\ 8&\hspace{0.6cm} \text{Tant que } C < 1840 \\ 9&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } N \text{la valeur } N + 1\\ 10&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } C * 1,05\\ 11&\hspace{0.6cm} \text{ Fin Tant que }\\ 12&\text{Sortie}\\ 13&\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } 2014 + N\\ \hline \end{array}$$
        3. En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros.
        4. Deux méthodes sont possibles :
          - On programme la suite et on regarde la table de valeurs
          - On écrit et on éxécute l'algorithme
          Dans les deux cas, on conclut que le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2029.
        5. Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par le calcul.
        6. On résout $C_n\geq 1840$ $$\begin{array} {l l l} C_n\geq 1840 & \iff 1,05^n \times 920 \geq 1840 & \\ & \iff 1,05^n \geq 2 &\\ & \iff \ln\left( 1,05^n\right) \geq \ln\left(2\right) & \text{ en appliquant la fonction } \ln \text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \ln\left(1,05 \right) \geq \ln\left(2\right) & \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,05 \right)} &\text{ en divisant par } \ln\left( 1,05 \right)>0 \\ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,05 \right)}\approx 14,2$ , donc $n\geq 15$
          Le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2029.
      8. Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle de 10 % du marché des services énergétiques à l'échelle européenne. Déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires va doubler.
      9. Notons $\Sigma_n$ le chiffe d'affaires de l'année 2014 + n:
        On a $ \Sigma_{n+1} =\Sigma_n + 10\% \Sigma_n= 1,1\Sigma_n $
        $(\Sigma_n)$ est donc géométrique de raison $1,1$ de premier terme $\Sigma_0= 920$ ; ainsi $ \Sigma_n=q^n\times \Sigma_0= 920\times 1,1^n$ $$\begin{array} {l l l} \Sigma_n\geq 1840 & \iff 1,1^n \times 920 \geq 1840 & \\ & \iff 1,1^n \geq 2 &\\ & \iff \ln\left( 1,1^n\right) \geq \ln\left(2\right) & \text{ en appliquant la fonction } \ln \text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \ln\left(1,1 \right) \geq \ln\left(2\right) & \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,1 \right)} &\text{ en divisant par } \ln\left( 1,1 \right)>0 \\ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,1 \right)}\approx 7,2$ , donc $n\geq 8$
        Le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2022.

      Exercice 3 6 points


      Fonctions


      Un pont à une seule arche d'une longueur de 16 m enjambe une route à double circulation. La figure ci-dessous donne une vue de l'une des deux façades de ce pont (1 unité représente 1 mètre). La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5 m au-dessus de la route.
      La partie de l'axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.

      A-- Étude de la fonction représentée par la courbe $(\mathcal{C})$

      Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par \[f(x) = k - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\quad \text{où $k$ désigne un entier naturel fixé.}\] On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O, A, B).
      1. Déterminer graphiquement $f(0)$. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ : \[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\]
      2. En tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50 cm, quelle doit être la hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à $10^{-1}$.
      3. Montrer que la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par $f'(x) = 0,1\text{e}^{-0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$.
      4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-8~;~8]$. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-8~;~8]$.

      B-- Calculs d'aires

      La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente.
      1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x$.
      2. Vérifier que l'aire de la façade exprimée en m$^2$ vaut $5\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{- 1,6}\right)$.
      3. On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l'aire $S$ exprimée en m$^2$ de la surface totale à peindre ; en donner une valeur en m$^2$ approchée à $10^{-2}$ près.
      4. La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m$^2$ par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction ?

      Correction de l'exercice 3 (6 points)


      Fonctions

      Exercice 3 6 points


      Fonctions


      Un pont à une seule arche d'une longueur de 16 m enjambe une route à double circulation. La figure ci-dessous donne une vue de l'une des deux façades de ce pont (1 unité représente 1 mètre). La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5 m au-dessus de la route.
      La partie de l'axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.

      A-- Étude de la fonction représentée par la courbe $(\mathcal{C})$

      Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par \[f(x) = k - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\quad \text{où $k$ désigne un entier naturel fixé.}\] On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O, A, B).
      1. Déterminer graphiquement $f(0)$. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ : \[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\]
      2. On lit $f(0)=5$ puisque le point $(0,5)$ est un point de la courbe $(\mathcal{C})$.
        $$\begin{array}{rl} f(0)=4 & \iff k-0,5(e^0+e^0)=4\\ & \iff k-0,5(1+1)=4\\ & \iff k-1=4\\ & \iff k=5\\ \end{array}$$
        Ainsi pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ : \[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\]
      3. En tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50 cm, quelle doit être la hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à $10^{-1}$.
      4. Avec le graphique, on voit que les véhicules motorisés évoluent dans l'intervalle $[-4;4]$, graphiquement, on voit que la hauteur minimale sur $[-4;4]$ est réalisée en $x=4$ et vaut $f(4)= 5-0,5\left(\text{e}^{0,2\times 4} + \text{e}^{-0,2\times 4}\right)= 5 -0,5\left(\text{e}^{0,8} + \text{e}^{-0,8}\right)\approx 3,66$$ Comme $3,66-0,5=3,16 $
        La hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous le pont est de 3,10m$
      5. Montrer que la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par $f'(x) = 0,1\text{e}^{-0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$.
      6. $$\begin{array}{rl} f(x) & = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\\ f'(x)& = - 0,5\left(0,2\text{e}^{0,2x} -0,2 \text{e}^{-0,2x}\right)\\ & = -0,5\times 0,2 \text{e}^{0,2x} + 0,5\times 0,2 \text{e}^{-0,2x}\\ & = -0,1 \text{e}^{0,2x} + 0,1 \text{e}^{-0,2x}\\ & = 0,1 \text{e}^{-0,2x} \left(1 - \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{\text{e}^{-0,2x} }\right)\\ & = 0,1 \text{e}^{-0,2x} \left(1 - \text{e}^{0,4x} \right)\\ \end{array}$$
      7. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-8~;~8]$. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-8~;~8]$.
      8. La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$, on déduit que $f'(x)$ a le signe de $1 - \text{e}^{0,4x}$. $$\begin{array}{rl} f'(x) =0& \iff 1 - \text{e}^{0,4x} =0\\ & \iff \text{e}^{0,4x} =1\\ & \iff \ln\left ( \text{e}^{0,4x}\right ) =\ln 1\\ & \iff 0,4x =0\\ &\iff x=0\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{rl} f'(x) >0& \iff 1 - \text{e}^{0,4x} >0\\ & \iff -\text{e}^{0,4x} > -1\\ & \iff \text{e}^{0,4x} < 1\\ & \iff \ln\left ( \text{e}^{0,4x}\right ) < \ln 1\\ & \iff 0,4x < 0\\ &\iff x < 0\\ \end{array}$$ Tableau de variation :
        $$f(-8)=f(8)=5- 0,5\left(\text{e}^{1,6} + \text{e}^{-1,6}\right)\approx 2,42$$

      B-- Calculs d'aires

      La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente.
      1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x$.
      2. $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x =\left [ \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{0,2}+ \dfrac{\text{e}^{-0,2x}}{-0,2}\right ]_{-8}^{8}\\ & =\left [ 5\text{e}^{0,2x}-5\text{e}^{-0,2x} \right ]_{-8}^{8}\\ & =\left [ 5\left (\text{e}^{0,2x}- \text{e}^{-0,2x} \right)\right ]_{-8}^{8}\\ & 5\text{e}^{1,6}-5\text{e}^{-1,6}-\left (5\text{e}^{-1,6}-5\text{e}^{1,6}\right )\\ &=10\left (\text{e}^{1,6}- \text{e}^{-1,6}\right )\\ & \approx 47,51\\ \end{array}$$
        $I = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x =10\left (\text{e}^{1,6}- \text{e}^{-1,6}\right ) $
      3. Vérifier que l'aire de la façade exprimée en m$^2$ vaut $5\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{- 1,6}\right)$.
      4. L'aire d'une façade est laire du domaine délimité par la droite d'équation $y=5$, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équation $x=-8$ et $x=8$. $$\begin{array}{rl} A &= \displaystyle\int_{-8}^8 \left(5-f(x)\right)\:\text{d}x\\ 5-f(x)&= 5-\left (5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\right )\\ & = 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\\ A & =0,5 I\\ & \\ &=5\left (\text{e}^{1,6}- \text{e}^{-1,6}\right )\\ \end{array}$$
      5. On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l'aire $S$ exprimée en m$^2$ de la surface totale à peindre ; en donner une valeur en m$^2$ approchée à $10^{-2}$ près.
      6. L'aire des deux façades vaut donc $$S= 2A =I=10\left (\text{e}^{1,6}- \text{e}^{-1,6}\right )u.a.\approx 47,51 m^2$$
      7. La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m$^2$ par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction ?
      8. Il faut donc environ $\dfrac{47,51}{3}\approx 15,84 L$ de peinture.
        et donc comme $\dfrac{15,84}{3}\approx 3,2 L$
        4 pots de peinture de 5 litres seront nécessaires pour peindre les deux façades de ce pont.

       


      Exercice 4 4 points


      Probabilités


      Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution.
      Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
      1. Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg. La masse $M$ en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $m = 1000$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
        1. Calculer $P(995 \leqslant X \leqslant 1000 )$.
        2. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à $990$ grammes. Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé ?

        Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$. On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
      2. On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
        1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? On donnera ses paramètres.
        2. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces $100$ paquets soient refusés ?
        3. Calculer la probabilité que, parmi ces $100$ paquets, 5 ou plus soient refusés.
      3. On contrôle la masse d'un échantillon de $100$ paquets de sucre dans le stock global de l'entreprise. Après contrôle, $10$ paquets sont refusés.
        Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95 %$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
        L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.

      Exercice 4 4 points


      Probabilités


      Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution.
      Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
      1. Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg. La masse $M$ en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $m = 1000$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
        1. Calculer $P(995 \leqslant X \leqslant 1000 )$.
        2. 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
          Avec une calculatrice de type TI

          $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

          $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

           

        3. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à $990$ grammes. Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé ?
        4. On calcule donc $P(X < 990)$

          2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
          Avec une calculatrice de type TI

          $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

          $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

        Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$. On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
      2. On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
        1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? On donnera ses paramètres.
        2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

          • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
          • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

          Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

          Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

        3. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces $100$ paquets soient refusés ?
        4. 2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
          Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

          $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
        5. Calculer la probabilité que, parmi ces $100$ paquets, 5 ou plus soient refusés.
        6. On calcule donc $P(X\leq 5)$

           

          2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
          Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

          $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
      3. On contrôle la masse d'un échantillon de $100$ paquets de sucre dans le stock global de l'entreprise. Après contrôle, $10$ paquets sont refusés.
        Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95 \%$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
        L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.
      4. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
        Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

        En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


        L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

        $$I_{100}=[0,026; 0,133]$$ On calcule alors la fréquence observée sur l'échantillon : $f_{obs}= \dfrac{10}{100}=0,1$. Comme $f_{obs}\in[0,026; 0,133]$ ; l'échantillon est donc représentatif.
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