Baccalauréat STI2D–STL spécialité SPCL Polynésie - 11 juin 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Suites
L'efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique dans les habitations, $\ldots$) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers. À l'échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5 % par an. En 2014, le fournisseur d'énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d'affaires de 920 millions d'euros dans les services énergétiques.
Les résultats seront arrondis au million d'euros près

1. Déterminer le chiffre d'affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année 2015. On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre. Notons $C_n$ le chiffre d'affaires, en million d'euros, réalisé par le fournisseur ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année $2014 + n$.
On calcule $920 + 5\%\times 920 = 920\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)= 1,05 \times 920 = 966$
Le fournisseur ENERGIA devrait donc faire un chires d'affaires de 966 millions d'euros dans les services énergétiques pour l'année 2015.
2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire la nature de la suite $\left(C_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
$$\begin{array}{rl} C_{n+1}&= C_n+5\%C_n\\ &= Cn\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)\\ &= 1,05 C_n \end{array}$$ La suite $\left(C_n\right)$ est donc géomérique de raison $q= 1,05$ de premier $C_0= 920$.
3. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
Comme $\left(C_n\right)$ est géométrique, on a $C_n = q^n \times C_0$
$C_n = 1,05^n \times 920$
4. 1. Calculer la valeur du chiffre d'affaires en 2019.
   2019 = 2014+5; ainsi la valeur du chiffre d'affaires en 2019 est $C_5= 1,05^5\times 920 \approx 1174,18 $
   La valeur du chiffre d'affaires en 2019 est environ 1174,18 millions d'euros.
   2. Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 ? On donnera le résultat sous la forme $p\%$, où $p$ est arrondi à $10^{-1}$.
   On peut par exemple faire un tableau de proportionnalité : $$\begin{array}{|c|c|}\hline 920& 1174,18\\ \hline 1& 1+p \\ \hline \end{array}$$ On a donc $$\begin{array}{rl} \dfrac{920}{1}= \dfrac{1174,18}{1+p} & \iff 920(1+p) = 1174,18 \\ & \iff 1+ p=\dfrac{1174,18}{920} \\ & \iff p = \dfrac{1174,18}{920}-1 \\ & \iff p \approx 0,278 \\ \end{array}$$
   Le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 est environ 27,8 %.
5. On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
   1. On considère l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée. $$\begin{array}{|r|l|}\hline 1&\text{Variables}\\ 2&\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ 3&\hspace{0.6cm} C : \text{ un nombre réel}\\ 4&\text{Initialisation}\\ 5&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } 0\\ 6&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } 920\\ 7&\text{Traitement}\\ 8&\hspace{0.6cm} \text{Tant que } \ldots \\ 9&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } N \text{la valeur } N + 1\\ 10&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } C * 1,05\\ 11&\hspace{0.6cm} \text{ Fin Tant que }\\ 12&\text{Sortie}\\ 13&\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } \ldots\\ \hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|r|l|}\hline 1&\text{Variables}\\ 2&\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ 3&\hspace{0.6cm} C : \text{ un nombre réel}\\ 4&\text{Initialisation}\\ 5&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } 0\\ 6&\hspace{0.6cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } 920\\ 7&\text{Traitement}\\ 8&\hspace{0.6cm} \text{Tant que } C < 1840 \\ 9&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } N \text{la valeur } N + 1\\ 10&\hspace{1cm} \text{ Affecter à } C \text{ la valeur } C * 1,05\\ 11&\hspace{0.6cm} \text{ Fin Tant que }\\ 12&\text{Sortie}\\ 13&\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } 2014 + N\\ \hline \end{array}$$
   2. En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros.
   Deux méthodes sont possibles :
   - On programme la suite et on regarde la table de valeurs
   - On écrit et on éxécute l'algorithme
   Dans les deux cas, on conclut que le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2029.
   3. Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par le calcul.
   On résout $C_n\geq 1840$ $$\begin{array} {l l l} C_n\geq 1840 & \iff 1,05^n \times 920 \geq 1840 & \\ & \iff 1,05^n \geq 2 &\\ & \iff \ln\left( 1,05^n\right) \geq \ln\left(2\right) & \text{ en appliquant la fonction } \ln \text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \ln\left(1,05 \right) \geq \ln\left(2\right) & \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,05 \right)} &\text{ en divisant par } \ln\left( 1,05 \right)>0 \\ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,05 \right)}\approx 14,2$ , donc $n\geq 15$
   Le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2029.
6. Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle de 10 % du marché des services énergétiques à l'échelle européenne. Déterminer l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires va doubler.
Notons $\Sigma_n$ le chiffe d'affaires de l'année 2014 + n:
On a $ \Sigma_{n+1} =\Sigma_n + 10\% \Sigma_n= 1,1\Sigma_n $
$(\Sigma_n)$ est donc géométrique de raison $1,1$ de premier terme $\Sigma_0= 920$ ; ainsi $ \Sigma_n=q^n\times \Sigma_0= 920\times 1,1^n$ $$\begin{array} {l l l} \Sigma_n\geq 1840 & \iff 1,1^n \times 920 \geq 1840 & \\ & \iff 1,1^n \geq 2 &\\ & \iff \ln\left( 1,1^n\right) \geq \ln\left(2\right) & \text{ en appliquant la fonction } \ln \text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \ln\left(1,1 \right) \geq \ln\left(2\right) & \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,1 \right)} &\text{ en divisant par } \ln\left( 1,1 \right)>0 \\ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln\left(2\right)}{\ln\left( 1,1 \right)}\approx 7,2$ , donc $n\geq 8$
Le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services énergétiques dépassera les 1840 millions d'euros en 2022.