Baccalauréat STI2D–STL spécialité SPCL Polynésie - 11 juin 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 4 points

Probabilités

Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution.
Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

1. Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg. La masse $M$ en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $m = 1000$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
   1. Calculer $P(995 \leqslant X \leqslant 1000 )$.
   2. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à $990$ grammes. Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé ?
   
   Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$. On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
2. On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
   1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? On donnera ses paramètres.
   2. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces $100$ paquets soient refusés ?
   3. Calculer la probabilité que, parmi ces $100$ paquets, 5 ou plus soient refusés.
3. On contrôle la masse d'un échantillon de $100$ paquets de sucre dans le stock global de l'entreprise. Après contrôle, $10$ paquets sont refusés.
   Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95 %$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
   L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.