Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2017 - Correction Exercice 5

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Exercice 5 (5 points)

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve. Cette population est estimée à 12000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60000 individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc $v_0 = 12$.

1. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Chaque année la population est multipliée par $1,05$.
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0=12$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=12\times 1,05^n$.
$\quad$
2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
$1,05>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 1,05^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=+\infty$
Ce modèle ne répond donc pas aux contraintes du milieu naturel.
$\quad$

 

Partie B : un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 12$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.\]
   1. Justifier que $g$ est croissante sur [0~;~60].
   La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0;60]$ en tant que fonction polynôme.
   $g'(x)=-\dfrac{-2,2}{605}x+1,1$
   Donc
   $\begin{align*} g'(x)>0 &\iff  -\dfrac{-2,2}{605}x+1,1>0 \\
   &\iff -\dfrac{2,2}{605}x > -1,1 \\
   &\iff x<302,5
   \end{align*}$
   La fonction $g$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;60]$.
   
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $g(x) = x$.
   
   $\begin{align*} g(x)=x &\iff -\dfrac{1,1}{605}x^2+1,1x=x \\
   &\iff -\dfrac{1,1}{605}x^2+0,1x=0 \\
   &\iff x\left(-\dfrac{1,1}{605}x+0,1\right)=0 \\
   &\iff x=0 \text{ ou } -\dfrac{1,1}{605}x+0,1=0\\
   &\iff x=0 \text{ ou } x= 55
   \end{align*}$
   L’équation $g(x)=x$ possède donc deux solutions dans $\mathbb{R}$ qui sont $0$ et $55$.
   $\quad$
2. On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
   1. Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
   $u_1=g(12)\approx 12,938$.
   Cela signifie donc qu’en 2017 la population de l’espèce sera environ de $12~938$ individus.
   $\quad$
   
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=12$ donc $0 \leq u_0 \leq 55$.
   La propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 \leq u_n \leq 55$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0 \leq u_{n+1} \leq 55$.
   La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;60]$
   Puisque $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$
   Cela signifie que $g(0) \leq u_{n+1} \leq g(55) \iff 0 \leq u_{n+1} \leq 55$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0 \leq u_n \leq 55$
   $\quad$
   
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=12$ donc $0 \leq u_0 \leq 55$.
   La propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 \leq u_n \leq 55$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0 \leq u_{n+1} \leq 55$.
   La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;60]$
   Puisque $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$
   Cela signifie que $g(0) \leq u_{n+1} \leq g(55) \iff 0 \leq u_{n+1} \leq 55$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0 \leq u_n \leq 55$
   $\quad$
   
   4. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $55$: elle est donc convergente.
   $\quad$
   
   5. On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
   D’après la question B.1.b. les solutions de l’équation $g(\ell)=\ell$ sont $0$ et $55$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=12$ donc $\ell=55$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=55$.
   Cela signifie que la population étudiée, au bout d’un grand nombre d’années, sera de $55~000$ individus.
   Les contraintes du milieu naturel sont donc respectées.
   $\quad$
3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les 50000 individus avec ce second modèle. Il utilise l'algorithme suivant. $$ \begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables } & n \text{ un entier naturel}\\ &u \text{ un nombre réel}\\ \hline \text{Traitement} &n \text{ prend la valeur }0 \\ & u \text{ prend la valeur } 12\\ &\text{Tant Que} \cdots\\ &\hspace{1.5cm} u \text{ prend la valeur } \cdots\\ &\hspace{1.5cm} n \text{ prend la valeur } \cdots\\ &\text{Fin Tant Que}\\ \hline \text{ Sortie } &\text{Afficher} \cdots\\ \hline \end{array} $$ Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$ tel que $u_r \geqslant 50$.
Variables :
$\quad$ $n$ un entier naturel
$\quad$ $u$ un nombre réel
Traitement :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $u$ prend la valeur $12$
$\quad$ Tant Que $u< 50$
$\qquad$ $u$ prend la valeur $-\dfrac{1,1}{605}u^2+1,1u$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\quad$ Fin Tant Que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$