Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH.

1. 1. Simplifier le vecteur $\vec{\text{AC}} + \vec{\text{AE}}$.
   $\vec{AC}+\vec{AE}=\vec{AC}+\vec{CG}=\vec{AG}$ d’après la relation de Chasles.
   $\quad$
   
   2. En déduire que $\vec{\text{AG}}~\cdot~\vec{\text{BD}} = 0$.
   $\begin{align*} \vec{AG}.\vec{BD}&=\left(\vec{AC}+\vec{AE}\right).\vec{BD} \\
   &=\vec{AC}.\vec{BD}+\vec{AE}.\vec{BD} \\
   &=0+0\\
   &=0
   \end{align*}$
   $\vec{AC}.\vec{BD}=0$ car $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales du carré $BCD$ (donc perpendiculaires entre-elles).
   $\vec{AE}.\vec{BD}=0$ car $(AE)$ est orthogonale au plan $BCD$
   $\quad$
   
   3. On admet que $\vec{\text{AG}}~\cdot~\vec{\text{BE}} = 0$. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
   Le vecteur $\vec{AG}$ est othogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Il est donc orthogonal à ce plan.
   Par conséquent la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.

   

2. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$.
   1. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (BDE) est  $x + y + z - 1 = 0$.
   Dans le repère $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$ on a $A(0;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
   Par conséquent $\vec{AG}(1;1;1)$.
   Une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est donc de la forme $x+y+z+d=0$.
   Le point $B(1;0;0)$ appartient à ce plan donc $1+0+0+d=0 \iff d=-1$.
   Une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est donc $x+y+z+z-1=0$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection K de la droite (AG) et du plan (BDE).
   Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est $\begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\end{cases}$ $\quad k\in \mathbb{R}$.
   Le point $K$ appartient à la fois à la droite $(AG)$ et au plan $(BDE)$.
   Ses coordonnées sont donc solution du système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\x+y+z-1=0\end{cases} & \iff \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\3k-1=0\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} x=k\\y=k\\z=k\\k=\dfrac{1}{3}\end{cases}\\
   &\iff \begin{cases} x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{1}{3}\\k=\dfrac{1}{3}\end{cases}
   \end{align*}$.
   Donc $K\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
   
   3. On admet que l'aire, en unité d'aire, du triangle BDE est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Calculer le volume de la pyramide BDEG.
   On a $KG=\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
   Le volume de la pyramide $BDEG$ est :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{\text{aire}_{BDE}\times KG}{3}\\
   &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{3}}{3} \\
   &=\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   $\quad$