Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (3 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Un organisme de contrôle sanitaire s'intéresse au nombre de bactéries d'un certain type contenues dans la crème fraîche. Pour cela, il effectue des analyses portant sur 10000 prélèvements de 1 ml de crème fraîche dans l'ensemble de la production française. Les résultats sont donnés dans le tableau et représentés dans l'histogramme ci-dessous : $$ \begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \small \text{Nombre de bactéries (en milliers)}&[100~;~120[&[120~;~130[ &[130~;~140[&[140~;~150[ &[150~;~160[ &[160~;~180[\\ \hline \small \text{Nombre de prélèvements }& 1597 & 1284 & 2255 & 1808 & 1345 & 1711 \\ \hline \end{array} $$

On va utiliser le centre de chacune des classes et utiliser le tableau suivant pour calculer, à l’aide de la calculatrice, les valeurs demandées.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Centre}&110&125&135&145&155&170\\
\hline
\text{Effectif}&1~597&1~284&2~255&1~808&1~345&1~711\\
\hline
\end{array}$

Une estimation de la moyenne est $\overline{x}=140,21$ et une estimation de l’écart-type est $\sigma\approx 19,16$.

$\quad$

Partie B

L'organisme décide alors de modéliser le nombre de bactéries étudiées (en milliers par ml) présentes dans la crème fraîche par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de paramètres $\mu = 140$ et $\sigma = 19$.

1. 1. Ce choix de modélisation est-il pertinent? Argumenter.
   Le nombre de bactéries présentes dépend de plusieurs facteurs : températures, hygiène, soucis sur la chaîne de production, … Une loi normale est donc bien appropriée pour modéliser la situation étudiée.
   À la partie A, nous avons obtenu des estimations de moyenne et d’écart-type très proche des valeurs proposées.
   Le choix de modélisation proposé est donc pertinent.
   $\quad$
   
   2. On note $p = P(X \geqslant 160)$. Déterminer la valeur arrondie de $p$ à $10^{-3}$.
   $p=P(X\geqslant 160)=0,5-P(140 \leqslant X \leqslant160) \approx 0,146$
   $\quad$ ou de façon plus directe :

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
2. Lors de l'inspection d'une laiterie, l'organisme de contrôle sanitaire analyse un échantillon de $50$ prélèvements de $1$ ml de crème fraîche dans la production de cette laiterie ; $13$ prélèvements contiennent plus de $160$ milliers de bactéries.
   1. L'organisme déclare qu'il y a une anomalie dans la production et qu'il peut l'affirmer en ayant une probabilité de 0,05 de se tromper. Justifier sa déclaration.
   On a $n=50 \geq 30$ et $p=0,146$ donc $np=7,3\geq 5$ et $n(1-p)=42,7\geq 5$
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est
   $\begin{align*} I_{50}&=\left[0,146-1,96\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}};0,146+1,96\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}}\right] \\
   &\approx [0,048;0,244]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{13}{50}=0,26\notin I_{50}$
   On peut donc affirmer au risque de $5\%$ qu’il y a une anomalie dans la production.
   $\quad$
   
   2. Aurait-il pu l'affirmer avec une probabilité de $0,01$ de se tromper ?
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $99\%$ est
   $\begin{align*} J_{50}&=\left[0,146-2,58\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}};0,146+2,58\sqrt{\dfrac{0,146\times 0,854}{50}}\right] \\
   &\approx [0,017;0,275]
   \end{align*}$
   La fréquence observée $f$ appartient alors à l’intervalle $J_{50}$.
   Au risque de $1\%$, on ne peut donc pas affirmer qu’il y a une anomalie dans la production.
   $\quad$