Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

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On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe \[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]

1. Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
$$\begin{array}{ll} f\left(-1+\text{i}\sqrt{3}\right) &= \left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^2 + 2\left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right) + 9 \\ &=1 -2\sqrt{3}\text{i} – 3 – 2 +\sqrt{3}\text{i} + 9 \\ &= 5 \end{array}$$
2. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $f(z) = 5$. Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents.
$f(x) = 5 \Leftrightarrow z^2+2z+4 = 0$
$\Delta = 2^- 4 \times 4 = -12$
Il y a donc deux racines complexes : $z_1 = \dfrac{-2 -\text{i}\sqrt{12}}{2} = -1 – \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \overline{z_1} = -1 + \text{i}\sqrt{3}$
$|z_1| = \sqrt{1 + 3} = 2$.
Donc $z_1 = 2\left(-\dfrac{1}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = 2\text{e}^{-2\text{i}\pi/3}$ et $z_2 = 2\text{e}^{2\text{i}\pi/3}$
$\quad$
3. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$. Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
$f(z)=\lambda$ $\Leftrightarrow z^2+2z+9-\lambda$
$\Delta = 2^2 – 4(9-\lambda) $ $= 4 – 36 + 4\lambda$ $=4(-8 + \lambda)$.
L’équation $f(z)=\lambda$ possède donc deux solutions complexes conjuguées si, et seulement si, $\lambda <8$.

4. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie \[|f(z) - 8| = 3.\] Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Tracer (F) sur le graphique.
$|f(z)-8|=|z^2 + 2z + 1| $ $= \left|(z+1)^2\right|$ $ = |z+1|^2$.
Par conséquent $|f(z)-8|3 \Leftrightarrow |z+1| = \sqrt{3}$.
$(F)$ est donc bien le cercle de centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.

5. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
   1. Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
   $$\begin{array}{ll} f(x+\text{i}y) &= \left(x+\text{i}y\right)^2+2(x+\text{i}y) + 9 \\ &= x^2+2xy\text{i} – y^2 + 2x + 2y\text{i} + 9 \\ &= x^2-y^2+2x + 9 + \text{i}(2xy+2y) \end{array}$$
   
   2. On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l'annexe en traà§ant ces droites.
   $f(z)$ est nombre réel si, et seulement si, $2xy+2y=0$ $\Leftrightarrow 2y(x+1)=0$ $\Leftrightarrow y = 0$ ou $x=-1$.
   $(E)$ est donc la réunion des droites d’équation $y=0$ et $x=-1$.
6. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).
Regardons dans un premier temps l’intersection de $(F)$ avec $D_1$ d’équation $y=0$.
Il s’agit donc de deux points d’abscisse respective $-1 – \sqrt{3}$ et $1+\sqrt{3}$. On a donc $C\left(-1-\sqrt{3};0\right)$ et $D\left(-1+\sqrt{3};0\right)$.
$\quad$
Regardons maintenant l’intersection de $(F)$ avec la droite $D_2$ d’équation $x=-1$.
Il s’agit de deux points d’ordonnée respective $0+\sqrt{3}$ et $0-\sqrt{3}$. On a donc $G\left(-1;\sqrt{3}\right)$ et $H\left(-1;-\sqrt{3}\right)$.