Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014

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Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9$\,\%$ des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. A l'issue des tests, il est noté que

  • 96$\,\%$ des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
  • 97$\,\%$ des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note

  • $N$ l'évènement : « la peluche répond aux normes en vigueur » ;
  • $A$ l'évènement : « la peluche est acceptée à l'issue des tests ».

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
  2. Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est 0,8763 .
  3. Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.

 

Partie B

On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.


  1. On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de $\lambda$.
  2. On prendra ici $\lambda = 0,1733 $. Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.

 

Partie C

Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intér êt des enfants pour ce jouet. A la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$ jours.


  1. Soit $X = \frac{J - 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
  2. On sait que $P(J \leqslant 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche.

 

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