Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)


Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~; + \infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
  2. $f(x) = -\left(-x\text{e}^{-x}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} x\text{e}^{x} = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
  3. Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~; + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~; + \infty[$.
  4. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    $f'(x) = \text{e}^{-x} – x\text{e}^{-x} = (1-x)\text{e}^{-x}$.
    La fonction exponentielle est toujours positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$.
    Or $1-x \ge 0$ $\Leftrightarrow x <1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ a aussi été tracée.


Partie B

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

  1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
  3. Initialisation : $u_0=1 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 0$.
    On a $u_{n+1} = f(u_n) = u_n \text{e}^{-u_n}$.
    La fonction exponentielle est toujours strictement positive.
    Un produit de nombre strictement positif est strictement positif.
    Par conséquent $u_{n+1} >0$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n > 0$.
  4. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
  5. $u_{n+1} – u_n $ $= u_n \text{-u_n} – u_n $ $= u_n\left(\text{e}^{-u_n} – 1\right)$.
    D’après la question précédente, $u_n > 0$ donc $\text{e}^{-u_n}-1 <0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n <0$.
    La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
    1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
    2. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
    3. On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
    4. $x\text{e}^{-x} = x $ $\Leftrightarrow x\text{e}^{-x}-x = 0$ $ \Leftrightarrow x\left(\text{e}^{-x} -1\right) = 0$ $\Leftrightarrow x= 0$ ou $ \text{e}^{-x} – 1 = 0$ $\Leftrightarrow x=0$
      La limite de la suite $(u_n)$ est donc $0$.

Partie C

On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\] Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il calcule $S_{100}$.

Annexe 2 Exercice 2 Partie C

$$\begin{array}{|l|}\hline \text{ Déclaration des variables :}\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} S \text{ et } u \text{ sont des nombres réels}\\ k \text{ est un nombre entier} \end{array}\\ \text{Initialisation : }\\ \hspace{1cm}\begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ S \text{ prend la valeur }\ldots \ldots\\ \end{array}\\ \text{ Traitement : }\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} \text{Pour } k \text{ variant de 1 à } \ldots.\\\hspace{1cm} \begin{array}{l} u \text{ prend la valeur } u \times \text{e}^{- u}\\ S \text{ prend la valeur } \ldots.\\ \end{array}\\ \text{Fin Pour }\\ \text{ Afficher } \ldots \ldots\\ \end{array}\\ \hline \end{array}$$

Déclaration des variables :
$\quad$ $S$ et $u$ sont des nombres réels
$\quad$ $k$ est un nombre entier
Initialisation :
$\quad$ $u$ prend la valeur $1$
$\quad$ $S$ prend la valeur $1$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $100$
$\qquad$ $u$ prend la valeur $u\times \text{e}^{-u}$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $S+u$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Afficher $S$

$\quad$

Exercice 3
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