Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9$\,\%$ des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. A l'issue des tests, il est noté que

• 96$\,\%$ des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
• 97$\,\%$ des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note

• $N$ l'évènement : « la peluche répond aux normes en vigueur » ;
• $A$ l'évènement : « la peluche est acceptée à l'issue des tests ».

Partie A

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.

2. Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est 0,8763 .
D’après la formule des probabilités totales, on a :
$$\begin{array} {ll}p(A) &= p(N \cap A) + p\left(\overline{N} \cap A \right) \\ &= 0,91 \times 0,96 + 0,09 \times 0,03 \\ &= 0,8763 \end{array}$$
3. Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.
On veut calculer $p_A(N) = \dfrac{p(A\cap N)}{p(A)}$ $=\dfrac{0,91 \times 0,96}{0,8763}$ $\approx 0,9969$

Partie B

On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de $\lambda$.
$P(D \le 4) = 0,5$ signifie que la probabilité qu’une peluche « vive » moins de $4$ ans est de $0,5$.
$\quad$
On a ainsi $1- \text{e}^{-4\lambda} = 0,5$ $\Leftrightarrow -4\lambda = \ln 0,5$ $\Leftrightarrow \lambda = -\dfrac{ \ln 0,5}{4}$

2. On prendra ici $\lambda = 0,1733 $. Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.
On veut calculer $P_{D\ge 3}(D \ge 8) $ $=P_{D \ge 3}(D \ge 3 + 5)$ $=P(D \ge 5)$ $= \text{e}^{-5\lambda}$ $\approx 0,4204$ (durée de vie sans vieillissement).

Partie C

1. Soit $X = \frac{J - 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
Puisque $X=\dfrac{J-\mu}{\sigma}$, $X$ suit la loi normale centrée réduite.

2. On sait que $P(J \leqslant 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche.
$$\begin{array}{ll} P(J \le 385) = 0,975 & \Leftrightarrow P(J – 358 \le 27) = 0,975 \\ & P\left(\dfrac{J – 385}{\sigma} \le \dfrac{27}{\sigma}\right) = 0,975 \\ \end{array}$$
Par conséquent, en utilisant la calculatrice, on obtient $\dfrac{27}{\sigma} \approx 1,96$ et $\sigma \approx 14$.