Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (3 points)

Commun à tous les candidats

Fonctions

On considère l'équation $\left(E_{1}\right)$ : \[\text{e}^x - x^n = 0\] où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.

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1. Montrer que l'équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l'équation $\left(E_{2}\right)$ : \[\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0.\]
$$\begin{array} {ll}\text{e}^x – x^n = 0 &\Leftrightarrow \text{e}^x=x^n \\ &\Leftrightarrow x = n \ln (x) \\ &\Leftrightarrow \ln(x) = \dfrac{x}{n} \\ &\Leftrightarrow \ln(x) – \dfrac{x}{n} = 0 \end{array}$$

2. Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\left(E_{1}\right)$ admet-elle deux solutions ?
Soit $f_n$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f_n(x)=\ln(x) – \dfrac{x}{n}$.
Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$f_n'(x) = \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{n}= \dfrac{n}{nx} – \dfrac{x}{nx}=\dfrac{n-x}{nx}$.
On travaille sur $]0; +\infty[$, donc $x>0$, par ailleurs $n$ est un entier strictement positif;
Ainsi $f_n'(x)$ a le signe de $n-x$. $f_n'(x) >0 \Leftrightarrow x < n$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\lim\limits_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) = -\infty$
$f(x) = x\left(\dfrac{\ln(x)}{x} – \dfrac{1}{n} \right)$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$.
$\quad$
$\ln n -1 > 0 \Leftrightarrow n > \text{e}$.
Par conséquent si $n \le 2$, $f_n(x) < 0$ et l’équation $(E_2)$ n’aura pas de solution.
Si $n \ge 3$, la fonction $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc continue .
Sur $]0;n[$ la fonction est strictement croissante.
$\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) =-\infty$ et $f_n(n) >0$.
D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f_n(x) = 0$ possède une unique solution.
$\quad$
Sur $]n;+\infty[$, la fonction $f_n$ est strictement décroissante.
$f_n(n) >0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$.
D’après le théorème de la bijection l’équation $f_n(x)=0$ possède une unique solution.
$\quad$
Par conséquent l’équation $(E_2)$, et donc $(E_1)$ possède deux solutions si, et seulement si, $n \ge 3$