Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2014 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

  On a donc $a_{0} = 1100$ et $b_{0} = 1100$. Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante
Partie A

1. Traduire la conservation du volume total d'eau du circuit par une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.

La conservation du volume total se traduit par: pour tout entier naturel $n$, $a_n+b_n=2200 $.
2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins.Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & B & C \\ \hline 1& \text{Jour}  n & \text{Volume bassin }  A & \text{Volume bassin}  B\\ \hline 2 & 0 & 1100,00 & 1100,00\\ \hline 3 &1 & &\\ \hline 4 & 2 & 1187,50 & 1012,50\\ \hline 5 & 3 &1215,63 &984,38\\ \hline 6 &4 &1236,72 &963,28\\ \hline 7 &5 &1252,54 &947,46\\ \hline 8 & 6 &1264,40 &935,60\\ \hline 9 &7 &1273,30 &926,10 \\ \hline 10 &8 &1279,98 &920,02 \\ \hline 11 &9 &1234,98 &915,02\\ \hline 12 &10 &1288,74 &911,26\\ \hline 13 &11 &1291,55 &908,45\\ \hline 14 &12 &1293,66 &906,34\\ \hline 15 &13 &1295,25 &904,75\\ \hline 16 &14 &1296,44 &903,56\\ \hline 17 &15 &1297,33 &902,67\\ \hline 18 &16 &1298,00 &902,00\\ \hline 19 &17 &1298,50 &901,50\\ \hline 20 &18 &1298,87 &901,13\\ \hline \end{array}$$

D'après le texte, on peut dire que: $\left\lbrace \begin{array}{ l l} a_{n+1} =& 0,9 a_n + 0,15 b_n - 5\\ b_{n+1}= & 0,1a_n + 0,85b_n + 5 \end{array} \right.$ avec $\left\lbrace \begin{array}{ l l} a_{0}= & 1100\\ b_{0} =& 1100 \end{array} \right.$
On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins. On donne les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul du texte:


3. Quelles conjectures peut-on faire sur l'évolution du volume d'eau dans chacun des bassins ?

La suite $(a_n)$ donnant le volume d'eau dans le bassin A semble croissante et tendre vers 1300 , tandis que la suite $(b_n)$ donnant le volume d'eau dans le bassin B semble décroissante et tendre vers 900.

Partie B

1. On note $S = \begin{pmatrix} 1300\\ 900\end{pmatrix}$. Vérifier que $S = MS + R$.En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n+1} - S = M\left(X_{n} - S\right)$.
     Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n} - S = M^n\left(X_{0} - S\right)$ et que $M^n = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 - 0,6 \times 0,75^n\\ 0,4 - 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix}$.
$MS = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1300\\ 900\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,9\times 1300+ 0,15\times 900\\ 0,1\times 1300+ 0,85\times 900 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1305\\ 895\end{pmatrix}$ $MS+R = \begin{pmatrix} 1305\\ 895\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1300\\ 900\end{pmatrix} =S$
On a $X_{n+1}=MX_{n}+ R$ et $S=MS+R$; par soustraction membre à membre, on obtient: $X_{n+1}-S = MX_{n}+R -MS - R = MX_{n}-MS = M(X_{n}-S)$
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = \begin{pmatrix}1300 - 200 \times 0,75^n\\900 + 200 \times 0,75^n \end{pmatrix}$.
$X_0=\begin{pmatrix} 1100\\1100\end{pmatrix}$ et $ S=\begin{pmatrix} 1300\\900\end{pmatrix}$ donc $X_0 - S =\begin{pmatrix} -200 \\ 200 \end{pmatrix}$ $M^n\times (X_0 - S) = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 - 0,6 \times 0,75^n\\ 0,4 - 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -200 \\ 200 \end{pmatrix}$ $\phantom{M^n\times (X_0 - S)} = \begin{pmatrix} (0,6 + 0,4 \times 0,75^n)\times(-200) + (0,6 - 0,6 \times 0,75^n)\times 200 \\ (0,4 - 0,4 \times 0,75^n)\times (-200) + (0,4 + 0,6 \times 0,75^n)\times 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -200\times 0,75^{n} \\ 200\times 0,75^{n} \end{pmatrix}$ Donc $X_{n}=M^n\times (X_0 - S) +S = \begin{pmatrix} -200\times 0,75^{n} \\ 200\times 0,75^{n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1320\\ 900 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1320-200\times 0,75^{n} \\ 900+200\times 0,75^{n} \end{pmatrix}$
3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.

$X_{n}= \begin{pmatrix} 1320-200\times 0,75^{n} \\ 900+200\times 0,75^{n} \end{pmatrix}$ et $X_{n}= \begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix}$ donc $\left\lbrace \begin{array}{@ l @{\ =\ } l} a_{n} & 1300 - 200 \times 0,75^{n}\\ b_{n} & 900 + 200 \times 0,75^{n} \end{array} \right.$ La suite $(0,75^n)$ est géométrique de raison $0,75$ donc est décroissante; on multiplie par un nombre négatif, donc la suite $(-200\times 0,75^n)$ est croissante et donc la suite $(a_n)$ est croissante. De plus, $-1 < 0,75 < 1$ donc la suite $(0,75^n)$ est convergente et a pour limite 0. On peut en déduire que la suite $(a_n)$ est convergente et a pour limite $1320$. Pour les mêmes raisons, on peut dire que la suite $(b_n)$ est décroissante, et convergente vers 900.
4. On considère que le processus est stabilisé lorsque l'entier naturel $n$ vérifie
   \[1300- a_{n} < 1,5\quad \text{et} \quad b_{n} - 900 < 1,5.\] Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.

D'après le tableau fourni dans le texte, la plus petite valeur de $n$ pour que le processus soit stabilisé peut être 17 ou 18. Pour $n=17$, $a_{17} \approx 1298,4966$ donc $1300- a_{17} > 1,5$. Pour $n=18$, $a_{18} \approx 1298,8724$ donc $1300- a_{18} < 1,5$. Comme $a_n + b_n = 2200$, $b_n=2200-a_n$ ce qui équivaut à $b_n -900 = 1300 - a_n$; donc $1300-a_n < 1,5 \iff b_n-900 <1,5$. On peut donc dire que le processus est stabilisé à partir de $n=18$.