Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2014 - Exercice de spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Un volume constant de 2200  m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de deux pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• au départ, le bassin A contient 1100 m$^3$ d'eau et le bassin B contient 1100 m$^3$ d'eau ;
• tous les jours, 15 % du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;
• tous les jours, 10 % du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également 5~m$^3$ du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;
• $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

  On a donc $a_{0} = 1100$ et $b_{0} = 1100$. Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante
Partie A

1. Traduire la conservation du volume total d'eau du circuit par une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins.
Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & B & C \\ \hline 1& \text{Jour}  n & \text{Volume bassin }  A & \text{Volume bassin}  B\\ \hline 2 & 0 & 1100,00 & 1100,00\\ \hline 3 &1 & &\\ \hline 4 & 2 & 1187,50 & 1012,50\\ \hline 5 & 3 &1215,63 &984,38\\ \hline 6 &4 &1236,72 &963,28\\ \hline 7 &5 &1252,54 &947,46\\ \hline 8 & 6 &1264,40 &935,60\\ \hline 9 &7 &1273,30 &926,10 \\ \hline 10 &8 &1279,98 &920,02 \\ \hline 11 &9 &1234,98 &915,02\\ \hline 12 &10 &1288,74 &911,26\\ \hline 13 &11 &1291,55 &908,45\\ \hline 14 &12 &1293,66 &906,34\\ \hline 15 &13 &1295,25 &904,75\\ \hline 16 &14 &1296,44 &903,56\\ \hline 17 &15 &1297,33 &902,67\\ \hline 18 &16 &1298,00 &902,00\\ \hline 19 &17 &1298,50 &901,50\\ \hline 20 &18 &1298,87 &901,13\\ \hline \end{array}$$
3. Quelles conjectures peut-on faire sur l'évolution du volume d'eau dans chacun des bassins ?

Partie B
  On considère la matrice carrée $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85 \end{pmatrix}$ et les matrices colonnes $R = \begin{pmatrix}-5\\5 \end{pmatrix}$ et $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

On admet que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n+1} = M X_{n} + R$.

1. On note $S = \begin{pmatrix} 1300\\ 900\end{pmatrix}$. Vérifier que $S = MS + R$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n+1} - S = M\left(X_{n} - S\right)$.
  Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n} - S = M^n\left(X_{0} - S\right)$ et que $M^n = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 - 0,6 \times 0,75^n\\ 0,4 - 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix}$.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = \begin{pmatrix}1300 - 200 \times 0,75^n\\900 + 200 \times 0,75^n \end{pmatrix}$.
3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.
4. On considère que le processus est stabilisé lorsque l'entier naturel $n$ vérifie
   \[1300- a_{n} < 1,5\quad \text{et} \quad b_{n} - 900 < 1,5.\] Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.