Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2014 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un volume constant de 2200 m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient 1400 m$^3$ d'eau ;
• tous les jours, 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
• tous les jours, 10 % du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.

  Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;
• $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

 
On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = 1400 $.

1. Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$.
3. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à 1100. Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
   $$ \begin{array}{|c|c|}\hline\text{ Variables} &n   \text{est un entier naturel} \\ & a   \text{est un nombre réel}\\ \text{Initialisation} & \text{ Affecter à }  n   \text{ la valeur}  0\\ & \text{ Affecter à }  a    \text{  la valeur}  800\\ \text{Traitement} &\text{Tant que}  a <1100   \text{faire}         \\ &\quad\text{Affecter à  }a\text{ la valeur  }\ldots\\ &\quad\text{Affecter à } n \text{ la valeur} \ldots\\ &\text{Fin tant que }\\ \text{Sortie} &\text{Afficher } n \\ \hline \end{array} $$
4. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - 1320$.
   1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
   3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
      En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n} = 1320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
5.  On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau. Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.