Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Commun à  tous les candidats

On considère un cube ABCDEFCH donné en annexe 2 (à rendre avec la copie). On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que $\vec{\text{HP}} = \dfrac{1}{4} \vec{\text{HG}}$.
Partie A : Section du cube par le plan (MNP)

1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.Construire le point L
2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection.
3. Construire l'intersection des plans (MNP) et (ABF).
4. En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).

  Partie B

L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

1. Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère.
2. Déterminer les coordonnées du point L.
3. On admet que le point T a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\frac{5}{8}\right)$.
   Le triangle TPN est-il rectangle en T ?