Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2014 - Correction Exercice 1

Page 2 sur 11: Correction Exercice 1

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 1,2$. Calculer la probabilité qu'un pot de crème soit non conforme.

On veut $p(X \leqslant 49) $. Avec la calculatrice $p(X \leqslant 49) \approx 0.202 $.
2nd   DISTR   2 NormalFRép( $-10^{99}$  , 49,50,1.2)EXE 
2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l'écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$.
   
   On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu'un pot choisi au hasard soit non conforme. On note $\sigma'$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X - 50}{\sigma'}$
   1. Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$.
   
   La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite. En effet si $X$ suit $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$ alors $Z= \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$
   $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
   2. Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \leqslant u) = 0, 06$.
   
   Une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \leqslant u) = 0, 06$ est $u \approx -1.555$.
   $p(Z \leqslant u) = 0, 06 \Longleftrightarrow \pi(u)=0, 06 \Longleftrightarrow u= \pi^{-1}(0, 06)$
   2nd   DISTR   3 FracNormale( 0.06 ) EXE 
   3. En déduire la valeur attendue de $\sigma'$.
   
   
   • Première méthode :
     $ Z = \dfrac{X - 50}{\sigma'} \Leftrightarrow X = \sigma' Z + 50 $ $ p(X \leqslant 49) =0,06 \Leftrightarrow p\left(\sigma' Z + 50 \leqslant 49 \right) =0,06 \Leftrightarrow p \left( Z \leqslant -\dfrac{1}{\sigma'} \right) =0,06 $ On doit donc avoir $ -\dfrac{1}{\sigma'} = -1,555 \Leftrightarrow \sigma' = \dfrac{1}{1,555} \approx 0,643$ La valeur attendue de $\sigma'$ est donc $ 0,643 $.
   • Deuxième méthode :
     $ p(X \leqslant 49) =0,06 \Leftrightarrow p\left(\dfrac{X - 50}{\sigma'}\leqslant \dfrac{49 - 50}{\sigma'} \right) =0,06  (1) $
     $(1) \Leftrightarrow p\left(Z\leqslant -\dfrac{1}{\sigma'} \right) =0,06 \Leftrightarrow \pi\left(-\dfrac{1}{\sigma'}\right)=0, 06 \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{\sigma'}= \pi^{-1}(0, 06)\Leftrightarrow \sigma' =-\dfrac{1}{\pi^{-1}(0, 06)} $
     La valeur attendue de $\sigma'$ est donc $ 0,643 $.
     
3. Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème. On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d'atteindre l'objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l'échantillon est $0,06$. Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus.
   1. On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
   
   Ici, l'épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme succès de probabilité $0,06$,... ou pas. On répète $50$ fois cette épreuve de façon indépendante. $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $50$ et $0,06$.
   $Y$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(50;0,06)$
   2. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
   
   On calcule $ p(Y \leqslant 2) $ :
   • avec la calculatrice:
   • On a pour tout $k \in [0;50]; p(Y=k)=\binom{50}{k}\times 0,06^k \times 0,94^{50-k}$
     $ p(Y \leqslant 2) =p(Y=0)+p(Y=1)+p(Y=2) \approx 0,416$
   La probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes est d'environ $ 0,416 $.

  Partie B : Campagne publicitaire
  Une association de consommateurs décide d'estimer la proportion de personnes satisfaites par l'utilisation de cette crème. Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur $140$ personnes interrogées, $99$ se déclarent satisfaites.

On a $ n= 140 > 30, \quad f = \dfrac{99}{140} $ donc $ nf = 99 > 5 $ et $ n(1-f) = 41 > 5 $. Ainsi, $ \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] $ soit $ \left[0,622 ; 0,792 \right] $ est donc un intervalle de confiance au seuil de $95$ % de la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.