Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2014 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Commun à  tous les candidats
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$ dans un repère orthogonal du plan.
  Partie A : Positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$
  Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$.

1. Justifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  $g(x) > 0$.
2. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.

  Partie B : Étude de la fonction $g$ On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$.

1. Justifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$.
2. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$.
3. Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ que l'on déterminera.
   En donner une interprétation graphique.

    Partie C : Étude d'une aire
  On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par
\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

1. Hachurer sur le graphique donné en  annexe 1 (à rendre avec la copie)  le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$.
2. Justifier que la fonction $\mathcal{A}$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
3. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathcal{A}(x)$.
4. Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathcal{A}(x) = 2$ ?