Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLMétropole -- 7 septembre 2017 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.
L'entreprise COFRUIT fabrique de la confiture de fruits, qu'elle conditionne en pots. Il est indiqué 680 grammes de confiture sur l'étiquette du pot.
En fin de chaîne de remplissage, les pots sont pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675 grammes ne sont pas commercialisés.

Partie A

Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=680$ et d'écart-type $\sigma=2,65$.

1. Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes.
À l'aide de la calculatrice, $P(677\leq X\leq 683)\approx 0,742$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

Arrondie à $10^{-3}$ près, la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes est 0,742.
2. Calculer la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.
$$\begin{array}{rl} P(X\geq 675) & =P(675\leq X \leq 680)+P(X\geq 680)\\ & =P(675\leq X \leq 680)+0,5\\ &\approx 0,970 \end{array}$$ Ou de façon plus directe avec une calculatrice :

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est 0,970.

Partie B

Dans cette partie, on considère qu'une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique de pots non commercialisables est inférieure ou égale à 3%.
On s'intéresse à la production journalière de pots remplis par cette machine.

1. Lors d'un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables.
   À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, déterminer si la machine nécessite un réglage.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des clients qui choisissent le « menu terroir » dans un échantillon de taille 200 est $I=[0,0060,054]$.
La frequence de pots non commercialisables dans l'échantillon est $f=\dfrac{8}{200}=0,04$.
$0,04\in [0,0060,054]$ donc la machine ne nécessite pas un réglage.
2. On rappelle dans cette question que $\mu=680$ et $\sigma = 2,65$.
   On suppose que la machine est bien réglée. L'entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 2. Les lots de moins de $ 1350 $ grammes de confiture sont jugés non conformes.
   On admet que la masse de confiture, en grammes, d'un lot de 2 pots est une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $2\mu$ et d'écart-type $\sqrt{2}\times \sigma$.
   1. Calculer $P(Y\leq 1350 )$.
   $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 2$⁢\mu=1360$ et d'écart type $\sqrt 2\times \sigma\approx2,65⁢2$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot pris au hasard dans la production soit non conforme est 0,004.
   2. Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2?
   D'après les questions précédentes, $P(X\leq 675)\approx 0,03$ et $P(Y\leq 1350)\approx 0,004$.
   La probabilité qu'un lot soit non conforme est inférieure à la probabilité qu'un pot ne soit pas commercialisable donc il est plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2.