Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLMétropole -- 7 septembre 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Nombres complexes et loi exponentielle

Les partie A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives:
$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ et $z_{\text C} = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

1. Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A.
   1. Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$.
   2. Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$.
2. Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$.
3. On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que:
   • A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$;

Partie B

La durée de vie, en jours, d'un des composants électroniques d'une éolienne est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,002$.

1. Calculer la durée de vie moyenne, en jours, d'un composant de ce type.
2. 1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=0,002\text{e}^{-0,002x}$. 
      Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-\text{e}^{-0,002x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   2. On rappelle que, pour tout nombre réel de $[0~;~+\infty[$, $P(T\leq t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x) d x$. On a donc $P(T\leq t) = 1 -\text{e}^{-0,002 t}$. Le fabricant affirme: « la probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est d'au moins $0,8$. » Que penser de cette affirmation? Justifier la réponse.