Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLMétropole -- 7 septembre 2017

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal C$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0~;~+\infty[$. On pose $I=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$.
   Un encadrement de $I$ est:
   
   1. $6<I<8$
   2. $1<I<2$
   3. $3<I<4$
   4. $13<I<16$
   
    
2. La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ par $g(x)=(-2x+1) \ln(x) + 5$. La limite de cette fonction $g$ en $+\infty$ est égale à:
   1. $+\infty$
   2. $-\infty$
   3. $0$
   4. $5$
3. La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=0,5$.
   La somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à:
   1. $4\times 0,5^8$
   2. $\dfrac{1-0,5^9}{1-0,5}$
   3. $8\times (1-0,5^9)$
   4. $6,9$
4. La suite $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=300$ et de raison $q=1,05$. L'algorithme qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite est:
   

Correction de l'exercice 1 (4 points)

 

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal C$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0~;~+\infty[$. On pose $I=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$.
   Un encadrement de $I$ est:
   
   1. $6<I<8$
   2. $1<I<2$
   3. $3<I<4$
   4. $13<I<16$
   
    

Sur l’intervalle $[1;2]$, la fonction $f$ est positive, donc l’intégrale $I=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$ est égale à l’aire du domaine compris entre la courbe $C$, l’axe des abscisses, et les deux droites d’équations $x=1$et $x=2$. Le polygone intérieur au domaine hachuré en rouge a une aire de 3 qui est inférieure à $I$. Le polygone extérieur au domaine colorié en vert a une aire de 4 plus grande que $I$.
2. La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ par $g(x)=(-2x+1) \ln(x) + 5$. La limite de cette fonction $g$ en $+\infty$ est égale à:
   1. $+\infty$
   2. $-\infty$
   3. $0$
   4. $5$
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~(-2x+1)=-\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~\ln x=+\infty\end{array}\right\} \quad \text{ Par produit } \lim\limits_{x \to +\infty}~(-2x+1)\ln x=-\infty$; puis en ajoutant 5 : $ \lim\limits_{x \to +\infty}~(-2x+1)\ln x+5=-\infty$
$ \lim\limits_{x \to +\infty}~g(x)=-\infty$
3. La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=0,5$.
   La somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à:
   1. $4\times 0,5^8$
   2. $\dfrac{1-0,5^9}{1-0,5}$
   3. $8\times (1-0,5^9)$
   4. $6,9$

On utilise le résultat suivant : Somme $S$ de $N$ termes successifs si $q\neq1$ sinon $S=NP$:$$S = \dfrac{(1-q^{N})}{ 1-q}P$$ $$N =\text{ nombre de termes de la somme} $$ $$P = \text{premier terme de la somme }; $$ $$q =\text{ raison}$$ $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=0,5$ donc la somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à : $$\begin{array}{rl} S&=\dfrac{1-0,5^9}{1-0,5} \times 4\\ &=8\times\left( 1-0,5^9\right) \\ \end{array}$$
4. La suite $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=300$ et de raison $q=1,05$. L'algorithme qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite est:

La suite $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=300$ et de raison $q=1,05$. L'algorithme qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite est:
L'algorithme a calcule et affiche les 450 premiers termes termes, il ne convient pas. Les algorithmes b et d n'affichent que le terme supérieur ou égal à 450. L'algorithme c est le seul qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite.

Exercice 2 6 points

Equations différentielles et exponentielles

Le stimulateur cardiaque est un appareil destiné à certaines personnes dont le rythme du coeur est devenu trop lent. Implanté sous la peau, l'appareil envoie des impulsions électriques régulières au coeur lorsque le rythme cardiaque est insuffisant.

Un stimulateur cardiaque est constitué de deux composants:
• un condensateur de capacité $C$ égale à $4\times 10^{-7}$ farad;
• un conducteur ohmique de résistance $R$ égale à $2\times 10^{6}$ ohms.

Une fois le condensateur chargé, la tension à ses bornes est égale à 5,6 volts. Il se décharge ensuite dans le conducteur ohmique.

Partie A

La tension $u$, en volts, aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$, en secondes. On admet que $u(0)=5,6$ et que cette fonction $u$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, vérifie pour tout nombre $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ la relation: $$u'(t) + \dfrac{1}{RC} \times u(t)=0$$ où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.

1. 1. Vérifier que la fonction $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   2. Résoudre l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   3. Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a: $u(t)=5,6\text{e}^{-1,25t}$.
2. 1. Etudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   2. Ce résultat était-il prévisible. Justifier la réponse.

Partie B

En réalité, lorsque la tension $u$ aux bornes du condensateur a perdu 63 % de sa valeur initiale $u(0)$, le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au coeur, ce qui provoque un battement. On considère que le condensateur se recharge instantanément et que la tension mesurée à ses bornes est à nouveau égale à 5,6 volts.

 

1. 1. Vérifier que la tension aux bornes du condensateur qui déclenche l'envoi d'une impulsion électrique au coeur est de 2,072 volts.
   2. Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation: $$5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072.$$
   3. Interpréter le résultat trouvé.
2. Chez l'adulte en bonne santé, le pouls au repos se situe entre 50 et 80 pulsations par minute.
   On admet que le stimulateur cardiaque d'un patient souffrant d'insuffisance envoie une impulsion électrique au coeur toutes les 0,8 secondes.
   Ce rythme correspond-il à celui d'un adulte au repos et en bonne santé? Justifier la réponse.

 

 

Correction de l'exercice 2 (6 points)

Equations différentielles et exponentielles

Le stimulateur cardiaque est un appareil destiné à certaines personnes dont le rythme du coeur est devenu trop lent. Implanté sous la peau, l'appareil envoie des impulsions électriques régulières au coeur lorsque le rythme cardiaque est insuffisant.

Un stimulateur cardiaque est constitué de deux composants:
• un condensateur de capacité $C$ égale à $4\times 10^{-7}$ farad;
• un conducteur ohmique de résistance $R$ égale à $2\times 10^{6}$ ohms.

Une fois le condensateur chargé, la tension à ses bornes est égale à 5,6 volts. Il se décharge ensuite dans le conducteur ohmique.

Partie A

La tension $u$, en volts, aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$, en secondes. On admet que $u(0)=5,6$ et que cette fonction $u$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, vérifie pour tout nombre $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ la relation: $$u'(t) + \dfrac{1}{RC} \times u(t)=0$$ où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.

1. 1. Vérifier que la fonction $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   Avec $R=2\times 10^6$ et $C=4\times 10^{-7}$ on a, pour tout réel $t $ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $$\begin{array}{rl} u'(t) + \dfrac{1}{RC} \times u(t)=0&\iff u’(t)+ \dfrac{1}{2\times 10^{6}\times 4\times 10^{-7}} \times u(t)=0 \\ &\iff u’(t)+ 1,25\times u(t)=0 \\ \end{array}$$ Ainsi, la fonction $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $y’+1,25⁢y=0.$
   2. Résoudre l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   On met l''équation sous forme résolue : $y'=ay$.
   $y'+1,25y=0\iff y'=-1,25 y$
   Les solutions de l'équation différentielle : $y′+1,25⁢y=0 $ sont les fonctions $u$ définies par $u(t)=k⁢\text{e}^{-1,25⁢t}$ où $k$ est un réel .
   3. Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a: $u(t)=5,6\text{e}^{-1,25t}$.
   $u(t)=k⁢\text{e}^{-1,25⁢t}$ et $u(0)=5,6$ d'où $k⁢\text{e}^{0}=5,6$ soit $k=5,6$.
   
   La fonction $u$ est définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $u(t)=5,6⁢\text{e}^{-1,25⁢t}$.
2. 1. Etudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   Les variations de la fonction $u$ se déduisent du signe de sa dérivée. Pour tout réel $t $ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ :
   $u’(t)=5,6⁢\times(-1,25)\text{e}^{-1,25⁢t}=\text{e}^{-1,25⁢t}$
   Comme pour tout réel $t, \text{e}^{-1,25⁢t}>0$ on en déduit que sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $u′⁡(t)<0$.
   La fonction $u$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   2. Ce résultat était-il prévisible. Justifier la réponse.
   Comme le condensateur se décharge dans le conducteur ohmique, la tension aux bornes du condensateur diminue avec le temps.

Partie B

En réalité, lorsque la tension $u$ aux bornes du condensateur a perdu 63 % de sa valeur initiale $u(0)$, le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au coeur, ce qui provoque un battement. On considère que le condensateur se recharge instantanément et que la tension mesurée à ses bornes est à nouveau égale à 5,6 volts.

 

1. 1. Vérifier que la tension aux bornes du condensateur qui déclenche l'envoi d'une impulsion électrique au coeur est de 2,072 volts.
   La tension aux bornes après une perte de 63 % de sa valeur initiale est : $$5,6\times \left( 1-\frac{63}{100}\right) =2,072$$
   La tension aux bornes du condensateur qui déclenche l'envoi d'une impulsion électrique au cœur est de 2,072 volts.
   2. Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation: $$5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072.$$
   $$\begin{array}{rl} 5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072 & \iff \text{e}^{-1,25t} = \dfrac{2,072}{5,6r}\\ & \iff \text{e}^{-1,25t} = 0,37\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-1,25t}\right) = \ln(0,37)\\ &\iff -1,25 t= \ln(0,37)\\ &\iff t= -\dfrac{\ln(0,37)}{1,25}\\ &\iff t= -0,8\ln(0,37) \end{array}$$
   L'équation: $5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072 $ a pour solution $t= -0,8\ln(0,37)$.
   3. Interpréter le résultat trouvé.
   $$t= -0,8\ln(0,37)\approx 0,8$$
   Le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au cœur toutes les 0,8 secondes.
2. Chez l'adulte en bonne santé, le pouls au repos se situe entre 50 et 80 pulsations par minute.
   On admet que le stimulateur cardiaque d'un patient souffrant d'insuffisance envoie une impulsion électrique au coeur toutes les 0,8 secondes.
   Ce rythme correspond-il à celui d'un adulte au repos et en bonne santé? Justifier la réponse.
Le nombre de pulsations par minute est : $\dfrac{60}{0,8}=75$
Le nombre de pulsations par minute correspond au rythme d'un adulte en bonne santé.

 

Exercice 3 5 points

Nombres complexes et loi exponentielle

Les partie A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives:
$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ et $z_{\text C} = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

1. Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A.
   1. Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$.
   2. Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$.
2. Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$.
3. On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que:
   • A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$;

Partie B

La durée de vie, en jours, d'un des composants électroniques d'une éolienne est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,002$.

1. Calculer la durée de vie moyenne, en jours, d'un composant de ce type.
2. 1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=0,002\text{e}^{-0,002x}$. 
      Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-\text{e}^{-0,002x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   2. On rappelle que, pour tout nombre réel de $[0~;~+\infty[$, $P(T\leq t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x) d x$. On a donc $P(T\leq t) = 1 -\text{e}^{-0,002 t}$. Le fabricant affirme: « la probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est d'au moins $0,8$. » Que penser de cette affirmation? Justifier la réponse.

 

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Nombres complexes et loi exponentielle

Les partie A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives:
$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ et $z_{\text C} = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

1. Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A.
   1. Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$.
   La forme algébrique de $z_A$ est $z_A=3⁢i$.
   2. Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$.
   La forme exponentielle de $z_A$ est $z_A=3⁢\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$.
2. Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$.
$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ $$\begin{array}{cc} \text{Module}& \text{Argument}\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ \left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right) ^2+\left( - \dfrac{3}{2}\right) ^2}\\ &=\sqrt {\dfrac{27}{4} +\dfrac{9}{4}}\\ &= =\sqrt {\dfrac{36}{4} }=\sqrt 9\\ &=3 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\dfrac{a}{r}~=\dfrac{ \dfrac{3\sqrt{3}}{2} }{3}=\frac{\sqrt 3}{2} \\ ~\sin \theta=\dfrac{b}{r}~=-\dfrac{\dfrac{3}{2}}{3}= -\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = -\frac{\pi}{6} \text{ convient } \end{array}$$ $$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}= 3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6} \right) +i\sin \left(-\frac{\pi}{6} \right) \right) $$ La forme exponentielle de $z_B$ est $z_A=3⁢\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
3. On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que:
   • A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$;
$$\begin{array}{rl} z_C'&=z_{\text C}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \\ & = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \\ &= 3 \text{e}^{-\text{i}\left(\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right) }\\ &= 3 \text{e}^{-\text{i}\left(\frac{5\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}\right) }\\ &= 3 \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{6} }\\ &= 3 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3} }\\ \end{array}$$ La forme exponentielle de $z_C'$ est $z_C'=3⁢\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Partie B

La durée de vie, en jours, d'un des composants électroniques d'une éolienne est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,002$.

1. Calculer la durée de vie moyenne, en jours, d'un composant de ce type.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,002$ est : $$E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{ 0,002}=500$$ La durée de vie moyenne d'un composant est de 500 jours.
2. 1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=0,002\text{e}^{-0,002x}$. 
      Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-\text{e}^{-0,002x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   Pour tout réel $x$ positif, posons $u⁡(x)=-0,002⁢x$, d'où $u′⁡(x)=-0,002$.
   Par conséquent, sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $$\begin{array}{rl} F'(x)& =-u′⁡(x)\times \text{e}^{u(x)}\\ & =-\left(-0,002\text{e}^{-0,002x}\right)\\ &= 0,002\text{e}^{-0,002x}\\ &= f(x) \end{array}$$ Ainsi, une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-\text{e}^{-0,002x}$.
   2. On rappelle que, pour tout nombre réel de $[0~;~+\infty[$, $P(T\leq t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x) d x$. On a donc $P(T\leq t) = 1 -\text{e}^{-0,002 t}$. Le fabricant affirme: « la probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est d'au moins $0,8$. » Que penser de cette affirmation? Justifier la réponse.
   La probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est $P(T>100)=1-P(T\leq 100)$ soit : $$\begin{array}{rl} P(T>100)&= 1-\left( 1- \text{e}^{-0,002\times 100}\right)\\ &= \text{e}^{-0,2}\\ &\approx 0,819 \end{array}$$ La probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est supérieure à 0,8 donc le fabricant a raison.

Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.
L'entreprise COFRUIT fabrique de la confiture de fruits, qu'elle conditionne en pots. Il est indiqué 680 grammes de confiture sur l'étiquette du pot.
En fin de chaîne de remplissage, les pots sont pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675 grammes ne sont pas commercialisés.

Partie A

Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=680$ et d'écart-type $\sigma=2,65$.

1. Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes.
2. Calculer la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.

Partie B

Dans cette partie, on considère qu'une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique de pots non commercialisables est inférieure ou égale à 3%.
On s'intéresse à la production journalière de pots remplis par cette machine.

1. Lors d'un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables.
   À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, déterminer si la machine nécessite un réglage.
2. On rappelle dans cette question que $\mu=680$ et $\sigma = 2,65$.
   On suppose que la machine est bien réglée. L'entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 2. Les lots de moins de $ 1350 $ grammes de confiture sont jugés non conformes.
   On admet que la masse de confiture, en grammes, d'un lot de 2 pots est une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $2\mu$ et d'écart-type $\sqrt{2}\times \sigma$.
   1. Calculer $P(Y\leq 1350 )$.
   2. Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2?

Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.
L'entreprise COFRUIT fabrique de la confiture de fruits, qu'elle conditionne en pots. Il est indiqué 680 grammes de confiture sur l'étiquette du pot.
En fin de chaîne de remplissage, les pots sont pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675 grammes ne sont pas commercialisés.

Partie A

Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=680$ et d'écart-type $\sigma=2,65$.

1. Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes.
À l'aide de la calculatrice, $P(677\leq X\leq 683)\approx 0,742$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

Arrondie à $10^{-3}$ près, la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes est 0,742.
2. Calculer la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.
$$\begin{array}{rl} P(X\geq 675) & =P(675\leq X \leq 680)+P(X\geq 680)\\ & =P(675\leq X \leq 680)+0,5\\ &\approx 0,970 \end{array}$$ Ou de façon plus directe avec une calculatrice :

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est 0,970.

Partie B

Dans cette partie, on considère qu'une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique de pots non commercialisables est inférieure ou égale à 3%.
On s'intéresse à la production journalière de pots remplis par cette machine.

1. Lors d'un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables.
   À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, déterminer si la machine nécessite un réglage.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des clients qui choisissent le « menu terroir » dans un échantillon de taille 200 est $I=[0,0060,054]$.
La frequence de pots non commercialisables dans l'échantillon est $f=\dfrac{8}{200}=0,04$.
$0,04\in [0,0060,054]$ donc la machine ne nécessite pas un réglage.
2. On rappelle dans cette question que $\mu=680$ et $\sigma = 2,65$.
   On suppose que la machine est bien réglée. L'entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 2. Les lots de moins de $ 1350 $ grammes de confiture sont jugés non conformes.
   On admet que la masse de confiture, en grammes, d'un lot de 2 pots est une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $2\mu$ et d'écart-type $\sqrt{2}\times \sigma$.
   1. Calculer $P(Y\leq 1350 )$.
   $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 2$⁢\mu=1360$ et d'écart type $\sqrt 2\times \sigma\approx2,65⁢2$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot pris au hasard dans la production soit non conforme est 0,004.
   2. Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2?
   D'après les questions précédentes, $P(X\leq 675)\approx 0,03$ et $P(Y\leq 1350)\approx 0,004$.
   La probabilité qu'un lot soit non conforme est inférieure à la probabilité qu'un pot ne soit pas commercialisable donc il est plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2.