Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal C$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0~;~+\infty[$. On pose $I=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$.
   Un encadrement de $I$ est:
   
   1. $6<I<8$
   2. $1<I<2$
   3. $3<I<4$
   4. $13<I<16$
   
    
2. La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ par $g(x)=(-2x+1) \ln(x) + 5$. La limite de cette fonction $g$ en $+\infty$ est égale à:
   1. $+\infty$
   2. $-\infty$
   3. $0$
   4. $5$
3. La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=0,5$.
   La somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à:
   1. $4\times 0,5^8$
   2. $\dfrac{1-0,5^9}{1-0,5}$
   3. $8\times (1-0,5^9)$
   4. $6,9$
4. La suite $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=300$ et de raison $q=1,05$. L'algorithme qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite est:
   

Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal C$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0~;~+\infty[$. On pose $I=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$.
   Un encadrement de $I$ est:
   
   1. $6<I<8$
   2. $1<I<2$
   3. $3<I<4$
   4. $13<I<16$
   
    

Sur l’intervalle $[1;2]$, la fonction $f$ est positive, donc l’intégrale $I=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$ est égale à l’aire du domaine compris entre la courbe $C$, l’axe des abscisses, et les deux droites d’équations $x=1$et $x=2$. Le polygone intérieur au domaine hachuré en rouge a une aire de 3 qui est inférieure à $I$. Le polygone extérieur au domaine colorié en vert a une aire de 4 plus grande que $I$.
2. La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ par $g(x)=(-2x+1) \ln(x) + 5$. La limite de cette fonction $g$ en $+\infty$ est égale à:
   1. $+\infty$
   2. $-\infty$
   3. $0$
   4. $5$
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~(-2x+1)=-\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~\ln x=+\infty\end{array}\right\} \quad \text{ Par produit } \lim\limits_{x \to +\infty}~(-2x+1)\ln x=-\infty$; puis en ajoutant 5 : $ \lim\limits_{x \to +\infty}~(-2x+1)\ln x+5=-\infty$
$ \lim\limits_{x \to +\infty}~g(x)=-\infty$
3. La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=0,5$.
   La somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à:
   1. $4\times 0,5^8$
   2. $\dfrac{1-0,5^9}{1-0,5}$
   3. $8\times (1-0,5^9)$
   4. $6,9$

On utilise le résultat suivant : Somme $S$ de $N$ termes successifs si $q\neq1$ sinon $S=NP$:$$S = \dfrac{(1-q^{N})}{ 1-q}P$$ $$N =\text{ nombre de termes de la somme} $$ $$P = \text{premier terme de la somme }; $$ $$q =\text{ raison}$$ $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=0,5$ donc la somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à : $$\begin{array}{rl} S&=\dfrac{1-0,5^9}{1-0,5} \times 4\\ &=8\times\left( 1-0,5^9\right) \\ \end{array}$$
4. La suite $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=300$ et de raison $q=1,05$. L'algorithme qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite est:

La suite $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=300$ et de raison $q=1,05$. L'algorithme qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite est:
L'algorithme a calcule et affiche les 450 premiers termes termes, il ne convient pas. Les algorithmes b et d n'affichent que le terme supérieur ou égal à 450. L'algorithme c est le seul qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite.

Exercice 2 6 points

Equations différentielles et exponentielles

Le stimulateur cardiaque est un appareil destiné à certaines personnes dont le rythme du coeur est devenu trop lent. Implanté sous la peau, l'appareil envoie des impulsions électriques régulières au coeur lorsque le rythme cardiaque est insuffisant.

Un stimulateur cardiaque est constitué de deux composants:
• un condensateur de capacité $C$ égale à $4\times 10^{-7}$ farad;
• un conducteur ohmique de résistance $R$ égale à $2\times 10^{6}$ ohms.

Une fois le condensateur chargé, la tension à ses bornes est égale à 5,6 volts. Il se décharge ensuite dans le conducteur ohmique.

Partie A

La tension $u$, en volts, aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$, en secondes. On admet que $u(0)=5,6$ et que cette fonction $u$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, vérifie pour tout nombre $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ la relation: $$u'(t) + \dfrac{1}{RC} \times u(t)=0$$ où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.

1. 1. Vérifier que la fonction $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   2. Résoudre l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   3. Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a: $u(t)=5,6\text{e}^{-1,25t}$.
2. 1. Etudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   2. Ce résultat était-il prévisible. Justifier la réponse.

Partie B

En réalité, lorsque la tension $u$ aux bornes du condensateur a perdu 63 % de sa valeur initiale $u(0)$, le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au coeur, ce qui provoque un battement. On considère que le condensateur se recharge instantanément et que la tension mesurée à ses bornes est à nouveau égale à 5,6 volts.

1. 1. Vérifier que la tension aux bornes du condensateur qui déclenche l'envoi d'une impulsion électrique au coeur est de 2,072 volts.
   2. Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation: $$5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072.$$
   3. Interpréter le résultat trouvé.
2. Chez l'adulte en bonne santé, le pouls au repos se situe entre 50 et 80 pulsations par minute.
   On admet que le stimulateur cardiaque d'un patient souffrant d'insuffisance envoie une impulsion électrique au coeur toutes les 0,8 secondes.
   Ce rythme correspond-il à celui d'un adulte au repos et en bonne santé? Justifier la réponse.

Correction de l'exercice 2 (6 points)

Equations différentielles et exponentielles

Le stimulateur cardiaque est un appareil destiné à certaines personnes dont le rythme du coeur est devenu trop lent. Implanté sous la peau, l'appareil envoie des impulsions électriques régulières au coeur lorsque le rythme cardiaque est insuffisant.

Un stimulateur cardiaque est constitué de deux composants:
• un condensateur de capacité $C$ égale à $4\times 10^{-7}$ farad;
• un conducteur ohmique de résistance $R$ égale à $2\times 10^{6}$ ohms.

Une fois le condensateur chargé, la tension à ses bornes est égale à 5,6 volts. Il se décharge ensuite dans le conducteur ohmique.

Partie A

La tension $u$, en volts, aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$, en secondes. On admet que $u(0)=5,6$ et que cette fonction $u$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, vérifie pour tout nombre $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ la relation: $$u'(t) + \dfrac{1}{RC} \times u(t)=0$$ où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.

1. 1. Vérifier que la fonction $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   Avec $R=2\times 10^6$ et $C=4\times 10^{-7}$ on a, pour tout réel $t $ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $$\begin{array}{rl} u'(t) + \dfrac{1}{RC} \times u(t)=0&\iff u’(t)+ \dfrac{1}{2\times 10^{6}\times 4\times 10^{-7}} \times u(t)=0 \\ &\iff u’(t)+ 1,25\times u(t)=0 \\ \end{array}$$ Ainsi, la fonction $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $y’+1,25⁢y=0.$
   2. Résoudre l'équation différentielle $y'+1,25y=0$.
   On met l''équation sous forme résolue : $y'=ay$.
   $y'+1,25y=0\iff y'=-1,25 y$
   Les solutions de l'équation différentielle : $y′+1,25⁢y=0 $ sont les fonctions $u$ définies par $u(t)=k⁢\text{e}^{-1,25⁢t}$ où $k$ est un réel .
   3. Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a: $u(t)=5,6\text{e}^{-1,25t}$.
   $u(t)=k⁢\text{e}^{-1,25⁢t}$ et $u(0)=5,6$ d'où $k⁢\text{e}^{0}=5,6$ soit $k=5,6$.
   
   La fonction $u$ est définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $u(t)=5,6⁢\text{e}^{-1,25⁢t}$.
2. 1. Etudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   Les variations de la fonction $u$ se déduisent du signe de sa dérivée. Pour tout réel $t $ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ :
   $u’(t)=5,6⁢\times(-1,25)\text{e}^{-1,25⁢t}=\text{e}^{-1,25⁢t}$
   Comme pour tout réel $t, \text{e}^{-1,25⁢t}>0$ on en déduit que sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $u′⁡(t)<0$.
   La fonction $u$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   2. Ce résultat était-il prévisible. Justifier la réponse.
   Comme le condensateur se décharge dans le conducteur ohmique, la tension aux bornes du condensateur diminue avec le temps.

Partie B

En réalité, lorsque la tension $u$ aux bornes du condensateur a perdu 63 % de sa valeur initiale $u(0)$, le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au coeur, ce qui provoque un battement. On considère que le condensateur se recharge instantanément et que la tension mesurée à ses bornes est à nouveau égale à 5,6 volts.

1. 1. Vérifier que la tension aux bornes du condensateur qui déclenche l'envoi d'une impulsion électrique au coeur est de 2,072 volts.
   La tension aux bornes après une perte de 63 % de sa valeur initiale est : $$5,6\times \left( 1-\frac{63}{100}\right) =2,072$$
   La tension aux bornes du condensateur qui déclenche l'envoi d'une impulsion électrique au cœur est de 2,072 volts.
   2. Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation: $$5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072.$$
   $$\begin{array}{rl} 5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072 & \iff \text{e}^{-1,25t} = \dfrac{2,072}{5,6r}\\ & \iff \text{e}^{-1,25t} = 0,37\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-1,25t}\right) = \ln(0,37)\\ &\iff -1,25 t= \ln(0,37)\\ &\iff t= -\dfrac{\ln(0,37)}{1,25}\\ &\iff t= -0,8\ln(0,37) \end{array}$$
   L'équation: $5,6\text{e}^{-1,25t} = 2,072 $ a pour solution $t= -0,8\ln(0,37)$.
   3. Interpréter le résultat trouvé.
   $$t= -0,8\ln(0,37)\approx 0,8$$
   Le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au cœur toutes les 0,8 secondes.
2. Chez l'adulte en bonne santé, le pouls au repos se situe entre 50 et 80 pulsations par minute.
   On admet que le stimulateur cardiaque d'un patient souffrant d'insuffisance envoie une impulsion électrique au coeur toutes les 0,8 secondes.
   Ce rythme correspond-il à celui d'un adulte au repos et en bonne santé? Justifier la réponse.
Le nombre de pulsations par minute est : $\dfrac{60}{0,8}=75$
Le nombre de pulsations par minute correspond au rythme d'un adulte en bonne santé.

Exercice 3 5 points

Nombres complexes et loi exponentielle

Les partie A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives:
$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ et $z_{\text C} = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

1. Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A.
   1. Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$.
   2. Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$.
2. Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$.
3. On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que:
   • A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$;

Partie B

La durée de vie, en jours, d'un des composants électroniques d'une éolienne est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,002$.

1. Calculer la durée de vie moyenne, en jours, d'un composant de ce type.
2. 1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=0,002\text{e}^{-0,002x}$. 
      Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-\text{e}^{-0,002x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   2. On rappelle que, pour tout nombre réel de $[0~;~+\infty[$, $P(T\leq t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x) d x$. On a donc $P(T\leq t) = 1 -\text{e}^{-0,002 t}$. Le fabricant affirme: « la probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est d'au moins $0,8$. » Que penser de cette affirmation? Justifier la réponse.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Nombres complexes et loi exponentielle

Les partie A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives:
$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ et $z_{\text C} = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

1. Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A.
   1. Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$.
   La forme algébrique de $z_A$ est $z_A=3⁢i$.
   2. Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$.
   La forme exponentielle de $z_A$ est $z_A=3⁢\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$.
2. Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$.
$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$ $$\begin{array}{cc} \text{Module}& \text{Argument}\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ \left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right) ^2+\left( - \dfrac{3}{2}\right) ^2}\\ &=\sqrt {\dfrac{27}{4} +\dfrac{9}{4}}\\ &= =\sqrt {\dfrac{36}{4} }=\sqrt 9\\ &=3 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\dfrac{a}{r}~=\dfrac{ \dfrac{3\sqrt{3}}{2} }{3}=\frac{\sqrt 3}{2} \\ ~\sin \theta=\dfrac{b}{r}~=-\dfrac{\dfrac{3}{2}}{3}= -\dfrac{1}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = -\frac{\pi}{6} \text{ convient } \end{array}$$ $$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}= 3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6} \right) +i\sin \left(-\frac{\pi}{6} \right) \right) $$ La forme exponentielle de $z_B$ est $z_A=3⁢\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
3. On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que:
   • A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   • C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
   Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$;
$$\begin{array}{rl} z_C'&=z_{\text C}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \\ & = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \\ &= 3 \text{e}^{-\text{i}\left(\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right) }\\ &= 3 \text{e}^{-\text{i}\left(\frac{5\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}\right) }\\ &= 3 \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{6} }\\ &= 3 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3} }\\ \end{array}$$ La forme exponentielle de $z_C'$ est $z_C'=3⁢\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Partie B

La durée de vie, en jours, d'un des composants électroniques d'une éolienne est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,002$.

1. Calculer la durée de vie moyenne, en jours, d'un composant de ce type.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,002$ est : $$E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{ 0,002}=500$$ La durée de vie moyenne d'un composant est de 500 jours.
2. 1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=0,002\text{e}^{-0,002x}$. 
      Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-\text{e}^{-0,002x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
   Pour tout réel $x$ positif, posons $u⁡(x)=-0,002⁢x$, d'où $u′⁡(x)=-0,002$.
   Par conséquent, sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $$\begin{array}{rl} F'(x)& =-u′⁡(x)\times \text{e}^{u(x)}\\ & =-\left(-0,002\text{e}^{-0,002x}\right)\\ &= 0,002\text{e}^{-0,002x}\\ &= f(x) \end{array}$$ Ainsi, une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-\text{e}^{-0,002x}$.
   2. On rappelle que, pour tout nombre réel de $[0~;~+\infty[$, $P(T\leq t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x) d x$. On a donc $P(T\leq t) = 1 -\text{e}^{-0,002 t}$. Le fabricant affirme: « la probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est d'au moins $0,8$. » Que penser de cette affirmation? Justifier la réponse.
   La probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est $P(T>100)=1-P(T\leq 100)$ soit : $$\begin{array}{rl} P(T>100)&= 1-\left( 1- \text{e}^{-0,002\times 100}\right)\\ &= \text{e}^{-0,2}\\ &\approx 0,819 \end{array}$$ La probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est supérieure à 0,8 donc le fabricant a raison.

Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.
L'entreprise COFRUIT fabrique de la confiture de fruits, qu'elle conditionne en pots. Il est indiqué 680 grammes de confiture sur l'étiquette du pot.
En fin de chaîne de remplissage, les pots sont pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675 grammes ne sont pas commercialisés.

Partie A

Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=680$ et d'écart-type $\sigma=2,65$.

1. Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes.
2. Calculer la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.

Partie B

Dans cette partie, on considère qu'une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique de pots non commercialisables est inférieure ou égale à 3%.
On s'intéresse à la production journalière de pots remplis par cette machine.

1. Lors d'un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables.
   À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, déterminer si la machine nécessite un réglage.
2. On rappelle dans cette question que $\mu=680$ et $\sigma = 2,65$.
   On suppose que la machine est bien réglée. L'entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 2. Les lots de moins de $ 1350 $ grammes de confiture sont jugés non conformes.
   On admet que la masse de confiture, en grammes, d'un lot de 2 pots est une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $2\mu$ et d'écart-type $\sqrt{2}\times \sigma$.
   1. Calculer $P(Y\leq 1350 )$.
   2. Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2?

Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.
L'entreprise COFRUIT fabrique de la confiture de fruits, qu'elle conditionne en pots. Il est indiqué 680 grammes de confiture sur l'étiquette du pot.
En fin de chaîne de remplissage, les pots sont pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675 grammes ne sont pas commercialisés.

Partie A

Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=680$ et d'écart-type $\sigma=2,65$.

1. Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes.
À l'aide de la calculatrice, $P(677\leq X\leq 683)\approx 0,742$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

Arrondie à $10^{-3}$ près, la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes est 0,742.
2. Calculer la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.
$$\begin{array}{rl} P(X\geq 675) & =P(675\leq X \leq 680)+P(X\geq 680)\\ & =P(675\leq X \leq 680)+0,5\\ &\approx 0,970 \end{array}$$ Ou de façon plus directe avec une calculatrice :

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est 0,970.

Partie B

Dans cette partie, on considère qu'une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique de pots non commercialisables est inférieure ou égale à 3%.
On s'intéresse à la production journalière de pots remplis par cette machine.

1. Lors d'un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables.
   À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, déterminer si la machine nécessite un réglage.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des clients qui choisissent le « menu terroir » dans un échantillon de taille 200 est $I=[0,0060,054]$.
La frequence de pots non commercialisables dans l'échantillon est $f=\dfrac{8}{200}=0,04$.
$0,04\in [0,0060,054]$ donc la machine ne nécessite pas un réglage.
2. On rappelle dans cette question que $\mu=680$ et $\sigma = 2,65$.
   On suppose que la machine est bien réglée. L'entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 2. Les lots de moins de $ 1350 $ grammes de confiture sont jugés non conformes.
   On admet que la masse de confiture, en grammes, d'un lot de 2 pots est une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $2\mu$ et d'écart-type $\sqrt{2}\times \sigma$.
   1. Calculer $P(Y\leq 1350 )$.
   $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 2$⁢\mu=1360$ et d'écart type $\sqrt 2\times \sigma\approx2,65⁢2$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot pris au hasard dans la production soit non conforme est 0,004.
   2. Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2?
   D'après les questions précédentes, $P(X\leq 675)\approx 0,03$ et $P(Y\leq 1350)\approx 0,004$.
   La probabilité qu'un lot soit non conforme est inférieure à la probabilité qu'un pot ne soit pas commercialisable donc il est plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2.

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie. Dans tout l'exercice :

• on désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
• $x \mapsto \text{e}^x$ désigne la fonction exponentielle.
• $x \mapsto \ln x$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z: -1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ est:
   • A: $-2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • B: $2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • C: $\mathrm{i}\sqrt{3}- 1$
   • D: $\sqrt{3} \text{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
2. L'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text{e}^{-x}\mathrm{d}x $ est égale à :
   • A: $ \ln2-1$
   • B: $\frac{1- \text{e}}{ \text{e}}$
   • C: $\frac{2- \text{e}}{2 \text{e}}$
   • D: $1-\ln2$
3. Si $f$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x)= 2x - \ln x$, alors :
   • A: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$
   • B: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= 0$
   • C: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=2$
   • D: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= \ln 2$
4. Soit $G$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $$G(x):x\ln x-x+2$$ $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par :
   • A:$g(x)=x\ln x-1$
   • B: $g(x) =\ln x+ 2x$
   • C: $g(x)=1-\frac{x^2}{2}+2x $
   • D: $g(x)= \ln x$

Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie. Dans tout l'exercice :

• on désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
• $x \mapsto \text{e}^x$ désigne la fonction exponentielle.
• $x \mapsto \ln x$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z: -1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ est:
   • A: $-2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • B: $2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • C: $\mathrm{i}\sqrt{3}- 1$
   • D: $\sqrt{3} \text{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
$$\begin{array}{cc} \text{Module}& \text{Argument}\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ 1^2+\sqrt{3}^2}\\ &=\sqrt 4\\ &= 2 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=-\frac{1}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~=\frac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta =\frac{2\pi}{3} \text{ convient } \end{array}$$ $$z= -1 + i\sqrt 3= 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3} \right) +i\sin \left(\frac{2\pi}{3} \right) \right)=2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}} $$
La bonne réponse est la B.
2. L'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text{e}^{-x}\mathrm{d}x $ est égale à :
   • A: $ \ln2-1$
   • B: $\frac{1- \text{e}}{ \text{e}}$
   • C: $\frac{2- \text{e}}{2 \text{e}}$
   • D: $1-\ln2$
Soit $F$ une primitive de $f$:
$F(x)= -\text{e}^{-x}$ $$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text{e}^{-x}\mathrm{d}x & = F(\ln 2)- F(1)\\ & =-\text{e}^{-\ln 2}-\left( -\text{e}^{-1}\right) \\ &=-\frac{1}{\text{e}^{\ln 2}}+\frac{1}{\text{e}}\\ &= -\frac{1}{2}+\frac{1}{\text{e}}\\ &= -\frac{\text{e}}{2\text{e}}+\frac{2}{2\text{e}}\\ &=\frac{2- \text{e}}{2 \text{e}} \end{array}$$ La bonne réponse est la C.
3. Si $f$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x)= 2x - \ln x$, alors :
   • A: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$
   • B: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= 0$
   • C: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=2$
   • D: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= \ln 2$
On sait d'après le cours que $\lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x=-\infty$, donc $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~-\ln x=+\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~2x=0 \end{array}\right\} \quad \text{ Par somme } \lim\limits_{x \to 0^+}~2x-\ln x=+\infty$
La bonne réponse est la A.
4. Soit $G$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $$G(x):x\ln x-x+2$$ $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par :
   • A:$g(x)=x\ln x-1$
   • B: $g(x) =\ln x+ 2x$
   • C: $g(x)=1-\frac{x^2}{2}+2x $
   • D: $g(x)= \ln x$
$G$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
On écrit $G(x)= x \left( \ln x -1 \right) +2$ $G=u v +2 ,$ d'où $G'=u'v+v'u $ avec pour tout réel $x$, dans $ ]0;+\infty [$ :
$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =\ln x-1 \end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ = 1 \\ v'(x)~ =\dfrac{1}{x} \end{array}\right.$ $$ \begin{array}{cl} G'(x)&=1\times \left( \ln x -1 \right) + \dfrac{1}{x}\times x\\ & = \ln x -1 +1 \\ &= \ln x \end{array} $$ $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par : $g(x)=\ln x$
La bonne réponse est la D.

Exercice 2 4 points

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.
En 2016, l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) affirme que 5,1 millions de personnes en France souffraient de diabète, soit 8% de la population. Chaque personne dispose d'un dossier médical régulièrement actualisé.

Partie A

Dans le cadre de la semaine nationale de prévention du diabète qui s'est tenue en 2016, une campagne de sensibilisation de cette maladie a été menée. Sur 85 dossiers médicaux prélevés au hasard, on a compté 3 cas de diabète.

1. Quelle est la fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé ?
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de cas de diabète sur cet échantillon de 85 dossiers. Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I=\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\]
3. L'échantillon est-il représentatif de la population française ? Justifier.

Partie B

Dans le corps humain, la régulation du taux de glycémie est assurée grâce à un équilibre permanent entre différentes substances principalement hormonales. Le tableau suivant présente trois états de la glycémie :

On note $N$ la variable aléatoire qui, à chaque dossier médical prélevé au hasard dans la population, associe le taux de glycémie à jeun en g/l de la personne. On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d'écart type 0,1.
Dans le cadre de cet exercice, on considère qu'une personne souffre de diabète si cette personne ne présente pas une glycémie normale à jeun.

1. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie.
2. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hyperglycémie.
3. Déterminer la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète.

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.
En 2016, l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) affirme que 5,1 millions de personnes en France souffraient de diabète, soit 8% de la population. Chaque personne dispose d'un dossier médical régulièrement actualisé.

Partie A

Dans le cadre de la semaine nationale de prévention du diabète qui s'est tenue en 2016, une campagne de sensibilisation de cette maladie a été menée. Sur 85 dossiers médicaux prélevés au hasard, on a compté 3 cas de diabète.

1. Quelle est la fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé ?
La fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé est $f=\dfrac{3}{85}$.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de cas de diabète sur cet échantillon de 85 dossiers. Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I=\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\]

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de cas de diabète sur un échantillon de 85 dossiers est $I_{85}=[0,022;0,138]$.
3. L'échantillon est-il représentatif de la population française ? Justifier.
$f=\dfrac{3}{85}\approx 0.035$. La fréquence $f$ appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. On peut considérer que cet échantillon est représentatif de la population française.

Partie B

Dans le corps humain, la régulation du taux de glycémie est assurée grâce à un équilibre permanent entre différentes substances principalement hormonales. Le tableau suivant présente trois états de la glycémie :

On note $N$ la variable aléatoire qui, à chaque dossier médical prélevé au hasard dans la population, associe le taux de glycémie à jeun en g/l de la personne. On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d'écart type 0,1.
Dans le cadre de cet exercice, on considère qu'une personne souffre de diabète si cette personne ne présente pas une glycémie normale à jeun.

1. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie.

2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie est égale à 0,023.
2. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hyperglycémie.
$P(N>1,1)=P(N>0,9+2\times 0,1)$. Par symétrie de la courbe représentative de la loi normale de moyenne $\mu=0,9$ et d'écart-type $\sigma=0,1$ on a : $P(N >1,1)=P(N < 0,7)\approx 0,023$ ou de façon plus direte :

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d ' une personne en hyperglycémie est égale à 0,023.
3. Déterminer la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète.
Une personne souffre de diabète si elle est en hypoglycémie en hyperglycémie soit $P(N<0,7\cup N>1,1)\approx 0,046$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète est égale à 0,046.

Exercice 3 6 points

Equations différentielles et Fonctions

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de 100 watts, diminue avec le temps $t$, mesuré en seconde. On modélise par $f(t)$ la puissance du son émis, exprimée en watt, $t$ secondes après le pincement de la corde.

Partie A

On considère l'équation différentielle (E) suivante où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~,~ +\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$ : \[(\mathrm{E}): 25y'+ 3y = 0\]

1. Résoudre l'équation différentielle $25y' + 3y = 0$.
2. Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 100$.
3. Quelle est la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde ? Arrondir au watt près.

Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(t) = 100\text{e}^{-0.12t}\]

Partie B

On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure à $80$watts. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|} \hline \text{Initialisation}\\ a \text{ prend la valeur 0}\\ b \text{prend la valeur 5}\\ \text{Traitement}\\ \text{ Tant que } |b - a|> 0,2 \\ \hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} m \text{ prend la valeur } \frac{a+b}{2} \\ \hspace{1cm}\text{Si } f(m) > 80\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} \hspace{0.5cm} a \text{ prend la valeur } m \\ \text{ Sinon }\\ \hspace{0.5cm} b \text{ prend la valeur } m \\ \end{array}\\ \hspace{1cm}\text{Finsi. }\\ \end{array}\\ \text{ Fintantque }\\ \textbf{Sortie}\\ \text{Afficher } a , b\\\hline \end{array}$$

1. À l'aide de l'algorithme ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous et à rendre avec la copie. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 & & & &\\\hline b &5 &2,5& & & &\\\hline b-a &5 & & & & &\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } & & & & &\\\hline m &2,5 & & & & &\\\hline f (m) & 74,1 & & & & &\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & & & & &\\\hline \end{array}$$
2. Quelles sont les valeurs affichées en sortie de cet algorithme ?
3. Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?

Partie C

1. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=80$, on donnera la valeur exacte et la valeur approchée à $10^{-3}$ près Interpréter ce résultat
2. Calculer et interpréter la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.

Correction de l'exercice 3 (6 points)

Equations différentielles et Fonctions

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de 100 watts, diminue avec le temps $t$, mesuré en seconde. On modélise par $f(t)$ la puissance du son émis, exprimée en watt, $t$ secondes après le pincement de la corde.

Partie A

On considère l'équation différentielle (E) suivante où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~,~ +\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$ : \[(\mathrm{E}): 25y'+ 3y = 0\]

1. Résoudre l'équation différentielle $25y' + 3y = 0$.
On met l'équation différentielle sous forme résolue : $y'=a y$ $$\begin{array}{rl} 25y' + 3y = 0&\iff 25 y'= -3 y \\ & \iff y'= -\dfrac{3}{25} y\\ & \iff y'= -0.12 y \end{array}$$ Les solutions de l'équation différentielle $y′=-0,12⁢y $ sont les fonctions définies pour tout réel $t$ par $t\mapsto k⁢\text{e}^{—0,12⁢t}$ où $k$ est une constante réelle quelconque.
2. Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 100$.
La condition $f⁡(0)=100$ équivaut à $k\text{e}^0=100$ d'où $k=100$
Ainsi, la fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f⁡(t)=100⁢\text{e}^{—0,12⁢t}$.
3. Quelle est la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde ? Arrondir au watt près.
$$\begin{array}{rl} f(2)&= 100⁢\text{e}^{—0,12\times 2}\\ & = 100⁢\text{e}^{—0,24}\\ &\approx 79 \end{array}$$
Arrondie au watt près, la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde est de 79 watts.

Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(t) = 100\text{e}^{-0.12t}\]

Partie B

On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure à $80$watts. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|} \hline \text{Initialisation}\\ a \text{ prend la valeur 0}\\ b \text{prend la valeur 5}\\ \text{Traitement}\\ \text{ Tant que } |b - a|> 0,2 \\ \hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} m \text{ prend la valeur } \frac{a+b}{2} \\ \hspace{1cm}\text{Si } f(m) > 80\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} \hspace{0.5cm} a \text{ prend la valeur } m \\ \text{ Sinon }\\ \hspace{0.5cm} b \text{ prend la valeur } m \\ \end{array}\\ \hspace{1cm}\text{Finsi. }\\ \end{array}\\ \text{ Fintantque }\\ \textbf{Sortie}\\ \text{Afficher } a , b\\\hline \end{array}$$

1. À l'aide de l'algorithme ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous et à rendre avec la copie. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 & & & &\\\hline b &5 &2,5& & & &\\\hline b-a &5 & & & & &\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } & & & & &\\\hline m &2,5 & & & & &\\\hline f (m) & 74,1 & & & & &\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & & & & &\\\hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 &1,25 & 1,25&1,5625 &1,71875\\\hline b &5& 2,5& 2,5& 1,875& 1,875& 1,875\\\hline b-a &5 &2,5& 1,25 &0,625& 0,3125& 0,15625\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } &\text{ Vrai } &\text{ Vrai } & \text{ Vrai }&\text{ Vrai } &\text{ Faux }\\\hline m &2,5 &1,25& 1,875& 1,5625&1,71875 \\\hline f (m) & 74,1 &86,071& 79,852& 82,903 &81,363\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & \text{ Vrai }& \text{ Vrai }& \text{ Vrai }& \text{ Vrai }&\\\hline \end{array}$$
2. Quelles sont les valeurs affichées en sortie de cet algorithme ?
À la fin de l'exécution de cet algorithme les valeurs des variables $a$ et $b$ sont $a=1,71875$ et $b=1,875$.
3. Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?
S'il existe un ou plusieurs instants, $t_i$ en seconde, à partir desquels la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure ou égale à 80 watts alors $1,71875\leq t_i\leq 1,875$.

Partie C

1. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=80$, on donnera la valeur exacte et la valeur approchée à $10^{-3}$ près Interpréter ce résultat
$$\begin{array}{rll} f(t)>80& \iff 100\text{e}^{-0.12t} > 80&\\ & \iff \text{e}^{-0.12t} >0,8&\text{ en divisant par } 100> 0\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-0.12t}\right) > \ln(0,8) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,12 t > \ln(0,8) & \text{ car } \ln\left( \text{e}^{a}\right) = a \\ & t< -\dfrac{\ln \left( 0,8 \right)}{0,12}& \text{ car on a divisé par } -0,12<0\\ \end{array}$$ Or $- \dfrac{\ln \left( 0,8 \right)}{0,12}\approx 1,186$
La puissance du son émis 1,86 secondes après le pincement de la corde sera égale à 80 watts.
2. Calculer et interpréter la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{t \to +\infty}~-0,12t=-\infty \\ \lim\limits_{X \to +\infty}~\text{e}^{X}=0 \end{array}\right\}\; \text{ par composée }\lim\limits_{t \to +\infty}~ \text{e}^{-0.12t} =0 $ puis en multipliant par 80: $\lim\limits_{t \to +\infty}~f(t)=0$ d'où la puissance du son émis après le pincement de la corde sera quasi nulle à partir d'un certain temps.

Exercice 4 6 points

Suites

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de 1240 renards à la fin de l'année 2016. On modélise par $u_n$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année $2016 + n$. On a donc $u_0 = 1240$.
On estime à 15% par an la baisse du nombre $u_n$. On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

Partie A

1. Montrer qu'à la fin de l'année 2017 ,la population de renards sera de 1054 .
2. 1. Donner la valeur de $u_1$ puis calculer $u_2$.
   2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
   3. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
3. Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l'année 2020.
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comment interpréter ce résultat ?
5. Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra strictement inférieur à 100. À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en situation d'extinction ?

Partie B

Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir de la fin de l'année 2017. On note $v_n$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$. On estime à 15% par an la baisse du nombre $v_n$. On a $v_0= 1240 $.

1. Calculer $v_1$.
2. Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.
   On admet que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n = 200 + 1040 \times 0,85^n$. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 ».

Exercice 4 5 points

Suites

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de 1240 renards à la fin de l'année 2016. On modélise par $u_n$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année $2016 + n$. On a donc $u_0 = 1240$.
On estime à 15% par an la baisse du nombre $u_n$. On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

Partie A

1. Montrer qu'à la fin de l'année 2017 ,la population de renards sera de 1054 .
$1240\times \left( 1- \dfrac{15}{ 100}\right) =1054$
À la fin de l'année 2017, la population de renards sera de 1054.
2. 1. Donner la valeur de $u_1$ puis calculer $u_2$.
   $u_1=1054 $ et, $u_2=1054\times 0,85=895,9.$
   2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a : $$u_{n+1} =u_n\times \left( 1- \dfrac{15}{ 100}\right) \iff u_{n+1} = 0,85 u_n $$
   3. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
   La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=1240$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,85 u_n$ donc :
   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=1240$.
3. Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l'année 2020.
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=1240$ donc pour tout entier naturel $n, u_n=1240\times 0,85^n$.
$u_4=1240\times 0,85^4\approx 647,3$
Selon ce modèle, à la fin de l'année 2020, il y aura environ 647 renards présents dans le parc régional.
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comment interpréter ce résultat ?
$0 < 0,85 < 1 $ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}~0,85^n =0$ d'où, $\lim\limits_{n \to +\infty}~80\times 0,85^n =0$ . $\lim\limits_{n \to +\infty}~u_n =0$
5. Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra strictement inférieur à 100. À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en situation d'extinction ?
On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation : $u_n <100$ $$\begin{array}{rll} u_n <100& \iff 1240\times 0,85^n <100&\\ & \iff 0,85^n < \dfrac{100}{ 1240} &\text{ en divisant par } 1240> 0 \\ & \iff \ln \left( 0,85^n \right) > \ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ &\iff n\ln (0,85)> \ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) & \text{ car } \ln\left( a^n\right) =n \ln a \\ & \iff n> \dfrac{\ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) }{\ln(0,85)} & \text{ car }0,85 < 1 \text{ donc } \ln(0,85) < 0 \\ \end{array}$$ Or $ \dfrac{\ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) }{\ln(0,85)} \approx 15,5$. alors, le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation $_n<100$ est $n=16$.
L'espèce de renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir de 2032.

Partie B

Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir de la fin de l'année 2017. On note $v_n$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$. On estime à 15% par an la baisse du nombre $v_n$. On a $v_0= 1240 $.

1. Calculer $v_1$.
$v_1=1240\times 0,85+30=1084$.
2. Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.
   On admet que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n = 200 + 1040 \times 0,85^n$. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 ».
   • Étudions le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$
     Pour tout entier $n\geq 1$ : $$\begin{array}{rl} v_{n+1}-v_n&=200 + 1040 \times 0,85^{n+1} -\left( 200 + 1040 \times 0,85^n\right) \\ & = 200 + 1040 \times 0,85^{n+1} -200-1040 \times 0,85^n\\ &=140\times 0,85^n \left( 0,85-1\right) \\ &= -156\times0,85^n \end{array}$$ Comme pour tout entier naturel $n$, on a $0,85^n > 0$ et $-156<0$ on en déduit que pour tout entier $n, v_{n+1}-v_n<0$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est strictement décroissante.
   • Etudions la limite de la suite $\left(v_n\right)$ :
     $0 < 0,85 < 1 $ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}~0,85^n =0$ d'où, $\lim\limits_{n \to +\infty}~200 + 1040 \times 0,85^n =200$ ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}~v_n =200$
     La suite $\left(v_n\right)$ est strictement décroissante et converge vers 200 donc l'affirmation : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 » est vraie.

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.
Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument $\frac{\pi}{2}$.

1. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = - 3$ et pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1}=\frac{7}{5}u_n$. La limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $\left(u_n\right)$ est :
   
   • A: $0$
   • B:$-\infty$
   • C: $+\infty$
   • D: $-3$
2. On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie par son premier terme $v_0=\frac{1}{4}$ et sa raison $q=\frac{3}{2}$. La valeur exacte du terme $v_{10}$ est égale à :
   
   
   • A: $14.4 $
   • B: $ 7.3 \times 10^{-4}$
   • C:$\frac{59049}{4096}$
   • D: $\frac{15}{4}$
3. On considère le nombre complexe $z = \sqrt{3} - 5\mathrm{i}$. Le nombre complexe $z \overline{z}$ est égal à :
   
   • A: $3 - 25\mathrm{i}$
   • B: $\left(-\sqrt{3} + 5\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{3} -5\mathrm{i}\right)$
   • C: $-28$
   • D: $28$
4. Le nombre $a$ est un réel strictement positif. Le nombre complexe $z=a + \mathrm{i} a\sqrt{3}$ admet pour forme exponentielle :
   
   • A: $\text{e}^{\mathrm{i}\frac{a \pi}{3}}$
   • B: $a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{2a \pi}{3}}$
   • C: $2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   • D: $2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$

Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.
Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument $\frac{\pi}{2}$.

1. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = - 3$ et pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1}=\frac{7}{5}u_n$. La limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $\left(u_n\right)$ est :
   
   • A: $0$
   • B:$-\infty$
   • C: $+\infty$
   • D: $-3$
$\left( u_n\right) $ est une suite géométrique de raison $q= \dfrac{7}{5}$ de premier terme $u_0=-3$, donc $u_n=q^n \times u_0= -3\left( \dfrac{7}{5}\right) ^n$.
Comme $ \dfrac{7}{5}> 1$, on déduit $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( \dfrac{7}{5}\right) ^n = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} -3\left( \dfrac{7}{5}\right) ^n = -\infty$
La bonne réponse est B.
2. On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie par son premier terme $v_0=\frac{1}{4}$ et sa raison $q=\frac{3}{2}$. La valeur exacte du terme $v_{10}$ est égale à :
   
   
   • A: $14.4 $
   • B: $ 7.3 \times 10^{-4}$
   • C:$\frac{59049}{4096}$
   • D: $\frac{15}{4}$
$\left( v_n\right) $ est une suite géométrique de raison $q= \frac{3}{2}$ de premier terme $v_0=\frac{1}{4}$, donc $v_n=q^n \times v_0= \frac{1}{4}\left( \frac{3}{2}\right) ^n$. $$\begin{array}{rl} v_{10}& =\frac{1}{4}\left( \frac{3}{2}\right) ^{10}\\ & =\frac{1}{4}\times \frac{3^{10}}{2^{10}} \\ &=\dfrac{59\;049}{4\;096} \end{array}$$ La bonne réponse est C.
3. On considère le nombre complexe $z = \sqrt{3} - 5\mathrm{i}$. Le nombre complexe $z \overline{z}$ est égal à :
   
   • A: $3 - 25\mathrm{i}$
   • B: $\left(-\sqrt{3} + 5\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{3} -5\mathrm{i}\right)$
   • C: $-28$
   • D: $28$
$$\begin{array}{rl} z \overline{z}& =a^2+b^2\\ & = \sqrt 3 ^2+5^2 \\ &=3=25=28 \end{array}$$ La bonne réponse est D.
4. Le nombre $a$ est un réel strictement positif. Le nombre complexe $z=a + \mathrm{i} a\sqrt{3}$ admet pour forme exponentielle :
   
   • A: $\text{e}^{\mathrm{i}\frac{a \pi}{3}}$
   • B: $a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{2a \pi}{3}}$
   • C: $2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   • D: $2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
$z=a + \mathrm{i} a\sqrt{3}$ $$\begin{array}{cc} \text{\text{Module}}& \text{\text{Argument}}\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ a^2+\left( a\sqrt{3}\right) ^2}\\ &=\sqrt {a^2+3a^2}\\ &=\sqrt {4a^2}\\ &=2a \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~= \frac{a\sqrt 3}{2a}= \frac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = \frac{\pi}{3} \text{ convient } \end{array}$$ $$z= a + \mathrm{i} a\sqrt{3}= 2a\left(\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) +i\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \right) = 2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$$ La bonne réponse est C.

Exercice 2 7 points

Suites, exponentielles, équation différentielle

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
On rappelle que la pression atmosphérique vaut $ 1013,25\; hPa $ au niveau de la mer.

Partie A : Une règle simplifiée

Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».

1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle : 
   

   altitude(en mètre)	0	800	1500	2000
   pression atmosphérique (en hPa)	1013,25

2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi $u_0 =1 013,25$.
   1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
   3. On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n = u_0 - 0,11 n$. En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à $950\; hPa$ .

Partie B : La formule barométrique

On considère l’équation différentielle (E) : \[y' + 0,12 y = 0\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$. Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$ qui, à l’altitude $x$ en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 1013,25 $ .

1. 1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
   2. Démontrer que la solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}\]
2. En utilisant la fonction $f$ :
   1. Calculer une valeur approchée à $0,01$ près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
   2. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de $900 \; hPa$ .
3. On pose $v_n = f(n)$, pour tout entier naturel $n$. Justifier qu’avec ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

Partie C : La formule du nivellement barométrique

La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui à l’altitude $x$ en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : \[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }\]

1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
2. Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction $p$, de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à $100$ mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. $$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$

    

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   Correction de l'exercice 2 (5 points)

   
   Suites, exponentielles, équation différentielle

   En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
   Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
   On rappelle que la pression atmosphérique vaut $ 1013,25\; hPa $ au niveau de la mer.

   Partie A : Une règle simplifiée

   
   Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».

   1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle : 
      

      altitude(en mètre)	0	800	1500	2000
      pression atmosphérique (en hPa)	1013,25

   2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi $u_0 =1 013,25$.
      1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
      $u_1=1013,25-0,11\times 1=1013,14 $ et $u_2=1013,25-0,11\times 2=1013,03$
      Ainsi, $u_1=1013,14$ et $u_2=1013,03$.
      2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
      $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1013,14}{1013,25}$; $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{1013,03}{1013,14}$ et $1013,14^2\neq 1013,25\times 1013,03$ $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
      $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r=-0,11$ et de premier terme $u_0=1013,25$.
      3. On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n = u_0 - 0,11 n$. En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à $950\; hPa$ .
      On cherche le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation :$1013,25-0,11⁢n<950$ $$\begin{array}{rll} u_n < 950 & \iff 1013,25-0,11⁢n<950& \text{ en ajoutant } -1013,25\\ & \iff -0,11⁢n < < 950-1013,25 &\\ &\iff -0,11n < -63,25 &\\ & \iff n > \dfrac{-63,25}{-0,11} \text{ en divisant par } -0,11< 0& \\ &\iff n > 575 &\\ \end{array}$$ Au dessus de 575 mètres, la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.

    

   Partie B : La formule barométrique

   
   On considère l’équation différentielle (E) : \[y' + 0,12 y = 0\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$. Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$ qui, à l’altitude $x$ en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 1013,25 $ .

   1. 1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
      On met l'équation différentielle sous forme résolue : $y'=a y$ $$\begin{array}{rl} y' + 0,12y = 0&\iff y'= -0.12 y \end{array}$$ Les solutions de l'équation différentielle $y′=-0,12⁢y $ sont les fonctions définies pour tout réel $t$ par $t\mapsto k⁢\text{e}^{—0,12⁢x}$ où $k$ est une constante réelle quelconque.
      2. Démontrer que la solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}\]
      La condition $f⁡(0)=1 013,25$ équivaut à $k\text{e}^0=1 013,25$ d'où $k=1 013,25$
      Ainsi, la fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f⁡(x)=1 013,25\text{e}^{—0,12⁢x}$.
   2. En utilisant la fonction $f$ :
      1. Calculer une valeur approchée à $0,01$ près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
      150m=0,15km et,
      $f(⁡0,15)=1013,25\text{e}^{-0,12⁢\times 0,15}\approx 995,18$
      Arrondie à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude est de 995,18 hPa.
      2. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de $900 \; hPa$ .
      L'altitude $x$ en kilomètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est solution de l'équation $f⁡(x)=900$.
      Soit : $$\begin{array}{rll} f(x)= 900& \iff 1013,25 \text{e}^{-0.12 x} =900&\\ & \iff \text{e}^{-0.12 x} = \dfrac{900}{1013,25}&\text{ en divisant par } 1013,25 \\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-0.12 x }\right) =\ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,12 x =\ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) & \text{ car } \ln\left( \text{e}^{a}\right) = a \\ & x= -\dfrac{ \ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right)}{0,12}& \text{ car on a divisé par } -0,12 < 0\\ \end{array}$$ $-\dfrac{ \ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) }{0,12}\approx 0,988$ Arrondie au mètre près, l'altitude correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est de 988 mètres.
   3. On pose $v_n = f(n)$, pour tout entier naturel $n$. Justifier qu’avec ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

    

   Partie C : La formule du nivellement barométrique

   
   La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui à l’altitude $x$ en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : \[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }\]

   1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
   $p⁡(8,848)=1 013,25⁢1-6,5\times 8,848288,155,255\approx 315$
   Arrondie à l'unité, la pression atmosphérique au sommet de l'Everest est de 315 hPa.
   2. Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction $p$, de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à $100$ mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. $$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$
   $$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \color{red}{P\geq 400} \text{ faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \color{red}{1013,25 \left(1-\dfrac{6,5\times A}{288,15}\right)^{ 5.255 }}\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \color{red} A\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$

    

    

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   Exercice 3 5 points

   
   Fonctions ln

   Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur est le mètre (m). Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau. La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité représente un mètre.
   

   $C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par : \[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\] où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la partie A. S est le point de $C_f$ d’abscisse 1. A est le point de $C_f$ d’abscisse 2. B est le point de $C_f$ d’abscisse 5. D est le point d’intersection de la droite d’équation $x = 2$ et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B. La voile est représentée par le domaine délimité par le segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$.

   Partie A

   
   La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   1. On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale. Que vaut $f'(1)$ ?
   2. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$.
   3. 1. Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$.
      2. Démontrer que $a=-0,5$ .
   
   

   Partie B

   
   
   1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par \[F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)\] est une primitive de $f$ sur $[0,1~;~+\infty[$.
   La dérivée de la fonction $F$ est la fonction $F′$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ par : $F′(⁡x)=11-36⁢x^2+1\times ln⁡x +x\times \dfrac{1}{x}=12-12⁢x^2+\ln⁡ x$
   Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ on a $F′⁡(x)=f⁡(x)$ donc la fonction $F$ définie par $F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)$ est une primitive de $f$ sur$[0,1~;~+\infty[$.
   2. 1. Calculer la valeur exacte, exprimée en unité d’aire, de l’aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=5$.
      2. Vérifier qu’une valeur approchée de cette aire, arrondie au dixième, est $20,2 $ m $^2$.
   3. Cette voile doit être légère tout en étant suffisamment résistante. Elle est fabriquée dans un tissu ayant une masse de $260$ grammes par mètre carré. La voile pèsera-t-elle moins de $5$ kg ? Justifier la réponse.

    

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   Correction de l'exercice 3 (5 points)

   
   Fonctions ln

   Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur est le mètre (m). Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau. La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité représente un mètre.
   

   $C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par : \[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\] où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la partie A. S est le point de $C_f$ d’abscisse 1. A est le point de $C_f$ d’abscisse 2. B est le point de $C_f$ d’abscisse 5. D est le point d’intersection de la droite d’équation $x = 2$ et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B. La voile est représentée par le domaine délimité par le segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$.

   Partie A

   
   La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   1. On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale. Que vaut $f'(1)$ ?
   La tangente à la courbe $C_f$ au point S d'abscisse 1 est horizontale donc $f′⁡(1)=0$.
   2. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$.
   $f′$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ par $f′⁡(x)=2⁢a⁢x+\dfrac{1}{x}$.
   3. 1. Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$.
      $f′⁡(1)=2⁢a+1.$
      2. Démontrer que $a=-0,5$ .
      $f′⁡(1)=0\iff 2⁢a+1=0\iff a=-0,5$
      Ainsi, $f $ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ par $f⁡(x)=12-0,5⁢x^2+\ln⁡ x.$
   
   

   Partie B

   
   
   1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par \[F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)\] est une primitive de $f$ sur $[0,1~;~+\infty[$.
   2. 1. Calculer la valeur exacte, exprimée en unité d’aire, de l’aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=5$.
      Étudions le signe de la fonction $f$ sur $[0,1; 5]$.
      Les variations de la fonction $f$ se déduisent du signe de sa dérivée $f′$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par : $f′⁡(x) =-x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-x^2}{x}+\dfrac{1}{x}= \dfrac{1-x^2}{x}= \dfrac{(1-x)(1+x)}{x}$
      
      Comme d'autre part, $f⁡(0,1)\approx 9,7, f⁡(1)=11,5$ et $f⁡(5)\approx 1,1$ on en déduit que sur l'intervalle $[0,1; 5]$ on a $f⁡(x)>0$.
      Calcul de l'aire :
      Sur l'intervalle $[0,1; 5]$ la fonction $f$ est positive par conséquent l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$ est égale à : $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_2^5 f(x)\; dx & = F(5)-F(2)\\ &= 55- \frac{125}{6}+5\ln5-22-\frac{8}{6}+2\ln2\\ &=\frac{27}{2}+5\ln5-2\ln2 \end{array}$$
      L’aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$ est égale à $\dfrac{27}{2}+5⁢\ln⁡ 5-2\ln 2$ unités d'aire.
      2. Vérifier qu’une valeur approchée de cette aire, arrondie au dixième, est $20,2 $ m $^2$.
      L'unité d'aire est égale à un mètre carré et $\dfrac{27}{2}+5⁢\ln⁡ 5-2\ln 2\approx 20,16$ d'où :
      La valeur arrondie au dixième près de l'aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=5 est 20,2 m$^2$.
   3. Cette voile doit être légère tout en étant suffisamment résistante. Elle est fabriquée dans un tissu ayant une masse de $260$ grammes par mètre carré. La voile pèsera-t-elle moins de $5$ kg ? Justifier la réponse.
   L'aire en mètre carré de la voile est égale à l'aire de la partie grisée soit : $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_2^5 f(x)\; dx -DB\times f(5) & =\frac{27}{2}+5\ln5-2\ln2 -3\times \left( -\frac{1}{2} +\ln 5\right) \\ &= \frac{27}{2}+5\ln5-2\ln2 +\frac{3}{2} -3\ln 5 \\ &=15-2\ln2 -3\ln 5 \\ &= 15-2\left( \ln 2-\ln 5 \right) \\ &= 15-2\ln\left( \frac{5}{2}\right) \\ &=15-2\ln\left( 2,5\right) \\ \end{array}$$ La masse de la voile en kilogramme est donc égale à $0,26\times \left( 15-2\ln\left( 2,5\right) \right) \approx 4,376$
   La masse de la voile est inférieure à 5 kg.

    

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   Exercice 4 5 points

   
   Probabilités

   Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$, sauf indication contraire.
   

   Partie A

   
   Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux d’une hormone appelée TSH. Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet hôpital, associe le taux de TSH du patient correspondant. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 2,2$ et d’écart type $\sigma$ = 0,9.
   1. Déterminer $p(X < 3)$.
   2. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre $1,5$ et $3,5$.
   3. Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à $4$, les médecins prescrivent des examens complémentaires au patient. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires.
   
   

   Partie B

   
   En 2012, l’Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s’est inquiétée de la forte augmentation des ventes du médicament qui traite l’hypothyroïdie. Pour obtenir un état des lieux de l’utilisation de ce médicament en France, l’ANSM a effectué un sondage sur 530877 personnes. Dans cet échantillon, 21771 personnes ont déclaré qu’elles utilisaient ce médicament.
   
   1. Quelle est la fréquence des utilisateurs du médicament dans l’échantillon étudié ?
   2. Déterminer un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion d’utilisateurs de ce médicament dans la population française.
   Rappel : Lorsqu’une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance à 95% de la proportion dans la population est donné par : \[I = \Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\Bigg]\]
   

   Partie C

   
   En médecine, on utilise de l’iode radioactif pour traiter certaines maladies de la glande thyroïde. La durée de vie exprimée en heure d’un atome d’iode radioactif est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0036 $, exprimé en $h^{-1}$.
   1. Calculer la durée de vie moyenne en heure de l’atome d’iode radioactif. On arrondira le résultat à l’unité.
   2. Déterminer $P(24 < D < 48)$. Interpréter le résultat. Rappel : la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \lambda\text{e}^{-\lambda t}$.
   3. On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps $T$, exprimé en heure, nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d’une substance se soit désintégrée. Autrement dit, ce réel $T$ est tel que $P(D < T) = \frac{1}{2}$.
      1. Démontrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
      2. En déduire la demi-vie de l’iode radioactif. Donner le résultat en jour.

    

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   Exercice 4 5 points

   
   Probabilités

   Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$, sauf indication contraire.
   

   Partie A

   
   Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux d’une hormone appelée TSH. Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet hôpital, associe le taux de TSH du patient correspondant. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 2,2$ et d’écart type $\sigma$ = 0,9.
   1. Déterminer $p(X < 3)$.
   $P(X<3)=P(X\leq 2,2)+P(2,2 < X <3)=0,5+P(2,2< X <3)\approx 0,813$
   ou de façon plus directe :
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH inférieur à 3 est égale à 0,813.
   2. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre $1,5$ et $3,5$.
   $P(1,5\leq X\leq 3,5)\approx 0,707$
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre 1,5 et 3,5 est égale à 0,707.
   3. Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à $4$, les médecins prescrivent des examens complémentaires au patient. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires.
   $P(X>4)=P(X\geq 2,2)-P(2,2\leq X\leq 4)=0,5-P(2,2\leq X\leq 4)\approx 0,023$
   Ou de façon plus directe :
   

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires est égale à 0,023.
   
   

   Partie B

   
   En 2012, l’Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s’est inquiétée de la forte augmentation des ventes du médicament qui traite l’hypothyroïdie. Pour obtenir un état des lieux de l’utilisation de ce médicament en France, l’ANSM a effectué un sondage sur 530877 personnes. Dans cet échantillon, 21771 personnes ont déclaré qu’elles utilisaient ce médicament.
   
   1. Quelle est la fréquence des utilisateurs du médicament dans l’échantillon étudié ?
   Soit $f$ la fréquence des utilisateurs du médicament dans l'échantillon :$f=\dfrac{21771}{530877}\approx 0,041$
   La fréquence des utilisateurs du médicament dans l'échantillon étudié est $f\approx 0,041$.
   2. Déterminer un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion d’utilisateurs de ce médicament dans la population française.

   La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

   L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
   La fréquence est $\8=\1$.
   L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

   Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion d'utilisateurs de ce médicament dans la population française est l'intervalle $I=[0,040,042]$.
   Rappel : Lorsqu’une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance à 95% de la proportion dans la population est donné par : \[I = \Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\Bigg]\]
   

   Partie C

   
   En médecine, on utilise de l’iode radioactif pour traiter certaines maladies de la glande thyroïde. La durée de vie exprimée en heure d’un atome d’iode radioactif est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0036 $, exprimé en $h^{-1}$.
   1. Calculer la durée de vie moyenne en heure de l’atome d’iode radioactif. On arrondira le résultat à l’unité.
   L'espérance mathématique de la variable aléatoire $D$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,0036$ est : $E(D)=\dfrac{1}{0,0036}\approx 278$
   La durée de vie moyenne de l'atome d'iode radioactif est d'environ 278 heures.
   2. Déterminer $P(24 < D < 48)$. Interpréter le résultat. Rappel : la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \lambda\text{e}^{-\lambda t}$.
   3. On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps $T$, exprimé en heure, nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d’une substance se soit désintégrée. Autrement dit, ce réel $T$ est tel que $P(D < T) = \frac{1}{2}$.
      1. Démontrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
      La variable aléatoire $D$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,0036$ d'où : $$\begin{array}{rl} P(D < T) =\dfrac{1}{2}&\iff 1- \text{e}^{-\lambda .T } =\dfrac{1}{2}\\ & \iff \text{e}^{-\lambda .T }\ =\dfrac{1}{2}\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-\lambda .T } \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ & \iff -\lambda .T =-\ln 2 \\ & \iff T= \dfrac{\ln 2 }{\lambda } \end{array}$$ La demi-vie de l'iode radioactif est $T= \dfrac{\ln 2 }{\lambda }$
      2. En déduire la demi-vie de l’iode radioactif. Donner le résultat en jour.
      Comme $\lambda=0,0036$, on en déduit que  $T=\dfrac{\ln 2 }{\lambda }=\dfrac{\ln 2 }{0,0036 }$ ce qui correspond à une durée exprimée en jours de $T\approx 8$
      La demi-vie de l'iode radioactif est d'environ 8 jours.

Exercice 1 6 points

Suites

La climatisation d’un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l’habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d’étanchéité, le système perd naturellement 0,1 gramme de ce gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de 660 grammes.

Partie A

Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 grammes. Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

Partie B

Lors d’une visite d’entretien, le garagiste signale à l’automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de 0,1 gramme, le système perd 1 % de sa masse de gaz chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,99u_n -0,1$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Voici un algorithme qui, lorsque l’on saisit un nombre N non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système. $$ \begin{array}{|r l|}\hline &\text{Variables}\\ &\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} k : \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} u : \text{ un nombre réel }\\ &\text{Entrée}\\ &\hspace{0.6cm} Saisir N\\ &\text{Initialisation}\\ &\hspace{0.6cm} u \text{ prend la valeur } 660\\ &\text{Traitement}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Pour } k \text{ allant de 1 à } \cdots \\ &\hspace{1cm} u \text{ prend la valeur } \cdots \\ &\hspace{0.6cm} \text{ Fin Pour} \\ &\text{Sortie}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } u \\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter la partie relative au traitement de cet algorithme.
   2. Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours ? Arrondir au gramme près.
3. Soit la suite $\left( y_n\right) $ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n + 10$.
   1. Calculer $v_0$.
   2. On admet que $\left( y_n\right) $ est une suite géométrique de raison 0,99.
      Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n =670 \times 0,99^n -10$.
   4. À l’aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 2.b.
4. On rappelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 g.
   Le coût d’une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros.
   Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système? Justifier la réponse.

Correction de l'exercice 1 (6 points)

Suites

La climatisation d’un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l’habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d’étanchéité, le système perd naturellement 0,1 gramme de ce gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de 660 grammes.

Partie A

Initialement, il y a 660 grammes de gaz dans le réservoir, il devra recharger ce réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 grammes. Il se sera échappé 220 grammes de gaz, ( 660-440= 220). Ces 220 grammes se seront échappés en 2200 jours. ( 2200/0,1= 2200).
L'automobiliste devra donc recharger le réservoir au bout de 2200 jours( 6 ans et 10 jours).

Partie B

Lors d’une visite d’entretien, le garagiste signale à l’automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de 0,1 gramme, le système perd 1 % de sa masse de gaz chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,99u_n -0,1$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$$\begin{array}{rl} u_{ 1} &= 0,99u_0 -0,1 \\ & = 0,99\times 660 -0,1\\ &= 653,3 \end{array}$$ $$\begin{array}{rl} u_{ 2} &= 0,99u_1 -0,1 \\ & = 0,99\times 653,3 -0,1\\ &\approx 646,7 \text{à 0,1 près} \end{array}$$ $u_{ 1}=653,3$ et $u_{ 2}\approx 646,7 \text{à 0,1 près} $
2. Voici un algorithme qui, lorsque l’on saisit un nombre N non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système. $$ \begin{array}{|r l|}\hline &\text{Variables}\\ &\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} k : \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} u : \text{ un nombre réel }\\ &\text{Entrée}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Saisir } N\\ &\text{Initialisation}\\ &\hspace{0.6cm} u \text{ prend la valeur } 660\\ &\text{Traitement}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Pour } k \text{ allant de 1 à }\cdots\\ &\hspace{1cm} u \text{ prend la valeur } \cdots \\ &\hspace{0.6cm} \text{ Fin Pour} \\ &\text{Sortie}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } u \\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter la partie relative au traitement de cet algorithme.
   $$\begin{array}{rl} u_{ 1} &= 0,99u_0 -0,1 \\ & = 0,99\times 660 -0,1\\ &= 653,3 \end{array}$$ $$\begin{array}{rl} u_{ 2} &= 0,99u_1 -0,1 \\ & = 0,99\times 653,3 -0,1\\ &\approx 646,7 \text{à 0,1 près} \end{array}$$ $u_{ 1}=653,3$ et $u_{ 2}\approx 646,7 \text{à 0,1 près} $
   2. Voici un algorithme qui, lorsque l’on saisit un nombre N non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système. $$ \begin{array}{|r l|}\hline &\text{Variables}\\ &\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} k : \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} u : \text{ un nombre réel }\\ &\text{Entrée}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Saisir } N\\ &\text{Initialisation}\\ &\hspace{0.6cm} u \text{ prend la valeur } 660\\ &\text{Traitement}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Pour } k \text{ allant de 1 à }\color{red}{N }\\ &\hspace{1cm} u \text{ prend la valeur } \color{red}{0.99 u -0.1 }\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Fin Pour} \\ &\text{Sortie}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } u \\ \hline \end{array} $$
   3. Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours ? Arrondir au gramme près.
   Une méthode consiste à programmer la suite $\left( u_n\right) $ Il restera environ 538 grammes de gaz au bout de 20 jours.
3. Soit la suite $\left( y_n\right) $ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n + 10$.
   1. Calculer $v_0$.
   $v_0=u_0+10= 660 +10= 670$. $v_0=670$
   2. On admet que $\left( y_n\right) $ est une suite géométrique de raison 0,99.
      Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   Comme $\left( v_n\right) $ est une suite géométrique de raison 0,99, on déduit $v_n = q^n \times v_0$ $$\begin{array}{rl} v_n &= q^n \times v_0 \\ & =0,99^n \times 670\\ & \end{array}$$ $v_n =670\times 0,99^n$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n =670 \times 0,99^n -10$.
   Ayant $v_n=u_n + 10$, on déduit $u_n=v_n-10= 670 \times 0,99^n -10$
   4. À l’aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 2.b.
   On calcule $$\begin{array}{rl} u_{20}&= 670 \times 0,99^{20} -10 \\ & \approx538 \\ \end{array}$$ $u_{20}\approx 538$
4. On rappelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 g.
   Le coût d’une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros.
   Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système? Justifier la réponse.
Déterminons au bout de combien de jours il faudrait recharger le réservoir.
On résout $u_n < 440$ $$\begin{array}{rll} u_n < 440& \iff 670 \times 0,99^{n} -10 < 440& \\ & \iff 670 \times 0,99^{n} < 450 & \\ & \iff 0,99^{n} <\dfrac{450}{ 670} &\text{ car } 670 > 0 \\ &\iff \ln \left( 0,99^{n} \right) < \ln \left( \dfrac{450}{ 670} \right) &\text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ &\iff n\ln \left( 0,99 \right) < \ln \left( \dfrac{450}{ 670} \right) &\text{ car } \ln\left( a^n\right) =n \ln a \\ &\iff n > \dfrac{\ln \left( \dfrac{450}{ 670} \right)}{\ln \left( 0,99 \right)} &\text{ car } 0,99 < 1 \text{ donc } \ln 0,99 < 0 \\ \end{array}$$ Or $ \dfrac{\ln \left( \dfrac{450}{ 670} \right)}{\ln \left( 0,99 \right)}\approx 39,6$.
Donc dans ces conditions, il faudrait utiliser une recharge de 80 euros tous les 40 jours, on dépassera donc le montant de la réparation au bout de $ 5\times 40 = 200$ jours. $\dfrac{400}{80}= 5$
Au bout de 200 jours, les 5 recharges utilisées compensent le montant de la réparation, et donc il est plus économique pour cet automobiliste de réparer le système.

Exercice 2 5 points

Equations différentielles

La fonte GS (graphite sphéroïdal) possède des caractéristiques mécaniques élevées et proches de celles des aciers. Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS qui sont utilisées dans l’industrie automobile.
Ces pièces sont coulées dans des moules de sable et ont une température de 1400 ℃ à la sortie du four. Elles sont entreposées dans un local dont la température ambiante est maintenue à une température de 30 ℃ . Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à 650 ℃ .
La température en degrés Celsius d’une pièce de fonte est une fonction du temps $t$, exprimé en heures, depuis sa sortie du four. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$, est une solution sur cet intervalle de l’équation différentielle $y' + 0,065y = 1,95$.

1. 1. Résoudre sur $[0 ; +\infty[$ l’équation différentielle $y' + 0,065y = 1,95$.
   2. Donner$f(0)$ et vérifier que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(t)= 1370\text{e}^{-0,065t} + 30$.
2. 1. Étudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
   2. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?
3. La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée 5 heures dans le local?
4. 1. Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce pourra être dé moulée. Arrondir le résultat à la minute près.
   2. Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint 325 ℃.
      Dans ce cas, faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à 650 ℃ ? Justifier la réponse.

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Equations différentielles

La fonte GS (graphite sphéroïdal) possède des caractéristiques mécaniques élevées et proches de celles des aciers. Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS qui sont utilisées dans l’industrie automobile.
Ces pièces sont coulées dans des moules de sable et ont une température de 1400 ℃ à la sortie du four. Elles sont entreposées dans un local dont la température ambiante est maintenue à une température de 30 ℃ . Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à 650 ℃ .
La température en degrés Celsius d’une pièce de fonte est une fonction du temps $t$, exprimé en heures, depuis sa sortie du four. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$, est une solution sur cet intervalle de l’équation différentielle $y' + 0,065y = 1,95$.

1. 1. Résoudre sur $[0 ; +\infty[$ l’équation différentielle $y' + 0,065y = 1,95$.
   L'équation différentielle $y' + 0,065y =1,95$ s'écrit $y'= -0,065y +1,95$.\\ Cette équation est donc du type $y'= ay +b$, où $a= -0,065$ et $b=1,9$.
   La solution générale de l'équation $y'= ay +b$ est $y= -\frac{b}{a}+C\text{e}^{at}$.
   Ici $-\frac{b}{a}= -\frac{1,95}{-0,065}=30$.
   La solution générale de l'équation est$y= 30+C\text{e}^{ -0,065t}$ où $C$ désigne une constante réelle.
   2. Donner$f(0)$ et vérifier que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(t)= 1370\text{e}^{-0,065t} + 30$.
   Les pièces sont à la température de 1400℃. Donc $f(0)= 1400$.
   Comme $f$ est une solution de léquation différentielle, on a $f(t)= 30+C\text{e}^{ -0,065t}$ où $C$ désigne une constante réelle. $$\begin{array}{rl} f(0)=1400& \iff 30+C\text{e}^{ -0,065\times 0 }=1400\\ & \iff 30+C\text{e}^{ 0 }=1400\\ & \iff 30+C =1400\\ & \iff C =1370\\ \end{array}$$ La fonction $f$ est donc définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(t)= 30+1370\text{e}^{ -0,065t}$
2. 1. Étudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
   On calcule la dérivée de $f$.
   $f(t)= 30+1370\text{e}^{ -0,065t}$ et $\left( e^u \right)' =u' e^u $ donc : $$\begin{array}{rl} f'(t)& = 1370\times \left( -0,065\right)\text{e}^{ -0,065t} \\ & = -89,05 \text{e}^{ -0,065t}\\ & \end{array}$$ La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$ , on déduit que pour tout $t\in [0 ; +\infty[$ on a $ \text{e}^{ -0,065t}> 0$ et donc $-89,05 \text{e}^{ -0,065t}< 0$.
   La dérivée étant strictement négative sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
   2. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?
   Comme la température ambiante est de 30 ℃, et comme les pièces sont à la température de 1400 ℃, la température des pièces va diminuer et donc $f$ est bien une fonction décroissante du temps.
3. La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée 5 heures dans le local?
Calculons $f(5) = 30+C\text{e}^{ -0,065\times 5 }\approx 1020$
Au bout de 5 heures,la température des piéces est de 1200 ℃ environ et donc les pièces ne peuvent pas être démoulées.
4. 1. Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce pourra être dé moulée. Arrondir le résultat à la minute près.
   On résout l'équation $f(t)< 650$ $$\begin{array}{rll} f(t)< 650 & \iff 30+1370\text{e}^{ -0,065t} < 650& \\ & \iff 1370\text{e}^{ -0,065t} < 620&\\ & \iff \text{e}^{ -0,065t} < \dfrac{620}{1370} & \text{ car } 1370> 0\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{ -0,065t}\right) < \ln \left( \dfrac{62}{137}\right) & \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,065t < \ln \left( \dfrac{62}{137}\right) & \\ & \iff t > \dfrac{\ln \left( \dfrac{62}{137}\right)}{-0,065} & \text{ car } -0,065 < 0 \\ \end{array}$$ Or $ \dfrac{\ln \left( \dfrac{62}{137}\right)}{-0,065}\approx 12,198 \; h$ soit environ 12 heures et 12 minutes.
   Les pièces pourront êtree démoulées au bout de 12 heures et 12 minutes.
   2. Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint 325 ℃.
      Dans ce cas, faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à 650 ℃ ? Justifier la réponse.
   On résout de même $f(t)<325$ $$\begin{array}{rll} f(t)< 650 & \iff 30+1370\text{e}^{ -0,065t} < 325& \\ & \iff 1370\text{e}^{ -0,065t} < 295&\\ & \iff \text{e}^{ -0,065t} < \dfrac{295}{1370} & \text{ car } 1370> 0\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{ -0,065t}\right) < \ln \left( \dfrac{59}{274}\right) & \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,065t < \ln \left( \dfrac{59}{274}\right) & \\ & \iff t > \dfrac{\ln \left( \dfrac{59}{274}\right)}{-0,065} & \text{ car } -0,065 < 0 \\ \end{array}$$ Or $ \dfrac{\ln \left( \dfrac{59}{274}\right)}{-0,065}\approx 23,624 \; h$ soit environ 23 heures et 38 minutes.
   Il est donc faux qu'il faut attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à 650 ℃ .

Exercice 3 4 points

Probabilités

Un chef cuisinier décide d’ajouter un « menu terroir » à la carte de son restaurant. S’appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu’environ 30% des clients choisiront ce menu. Ceci le conduit à faire l’hypothèse que la probabilité qu’un client, pris au hasard, commande le « menu terroir » est $ p = 0,3$.

Partie A

Afin de tester la validité de son hypothèse, le restaurateur choisit au hasard 100 clients et observe que 26 d’entre eux ont commandé un « menu terroir » .
Après discussion avec son comptable, le restaurateur décide d’accepter l’hypothèse que $p = 0,3$.
À l’aide d’un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, justifier cette décision.

Partie B

Une agence de voyage a réservé toutes les tables du restaurant pour la semaine à venir. Le restaurateur sait ainsi que 1000 clients viendront déjeuner chacun une fois durant la semaine. Le nombre de « menus terroir » qui seront alors commandés est une variable aléatoire $X$.
On considère que la probabilité qu’un des clients commande un « menu terroir « est $p = 0,3$.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
   1. Donner ses paramètres.
   2. Déterminer la probabilité que le nombre de « menu terroir « commandés soit inférieur ou égal à 315.
2. On décide d’approcher la loi binomiale précédente par la loi normale d'espérance $\mu = 300$ et d’écart type $\sigma = 14,49$.
   Justifier les valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
   Dans la suite de l’exercice, on utilisera cette approximation par la loi normale. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
3. 1. Estimer $P(285 \leqslant X \leqslant315)$.
   2. Estimer $P( X\geqslant 350) $ et interpréter le résultat obtenu.

Correction de l'exercice 3 (4 points)

Probabilités

Un chef cuisinier décide d’ajouter un « menu terroir » à la carte de son restaurant. S’appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu’environ 30% des clients choisiront ce menu. Ceci le conduit à faire l’hypothèse que la probabilité qu’un client, pris au hasard, commande le « menu terroir » est $ p = 0,3$.

Partie A

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $$I= \left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \,;\, p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right] $$ $$\begin{array}{rl} I_{100} &= \left[0,3- 1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{100}}~;~0,3 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{100}} \right] \\ &= \left[ 0,3 - 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,21}}{\sqrt{100}} \,;\, 0,3 + 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,21}}{\sqrt{100}} \right] \\ \end{array}$$

• On arrondit la borne inférieure par défaut à $10^{-4}$ près : $0,3 - 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,21}}{\sqrt{100}} \approx 0,2101$ soit $0,210$.
• On arrondit la borne supérieure par excès à $10^{-3}$ près : $0,3 + 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,21}}{\sqrt{100}} \approx0,3898$ soit $0,390$.

$$I_{100}\approx[ 0,210; 0,390]$$ L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $I_{100} \approx \left[ 0,210; 0,390 \right]$
La fréquence observée est $f_{\text{Obs}}=\dfrac{26 }{100}=0,26$.
Comme $f_{\text{Obs}}\in I_{100}$. On accepte l’hypothèse que $p = 0,3$.

Partie B

Une agence de voyage a réservé toutes les tables du restaurant pour la semaine à venir. Le restaurateur sait ainsi que 1000 clients viendront déjeuner chacun une fois durant la semaine. Le nombre de « menus terroir » qui seront alors commandés est une variable aléatoire $X$.
On considère que la probabilité qu’un des clients commande un « menu terroir « est $p = 0,3$.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
   1. Donner ses paramètres.

   On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

   • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
   • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

   Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

   2. Déterminer la probabilité que le nombre de « menu terroir « commandés soit inférieur ou égal à 315.

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
2. On décide d’approcher la loi binomiale précédente par la loi normale d'espérance $\mu = 300$ et d’écart type $\sigma = 14,49$.
   Justifier les valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
On approche $X$ par une loi normale qui a les mêmes paramètres.
Son espérance est donc $\mu =E(X)=np= 1000\times 0,3= 300$.
Son écart-type est $\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{300\times 0,7}=\sqrt{210}\approx 14,49$. Il est donc légitime d'approcher la loi binomiale $X$ par la loi normale d'espérance $\mu = 300$ et d’écart type $\sigma = 14,49$.
Dans la suite de l’exercice, on utilisera cette approximation par la loi normale. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
3. 1. Estimer $P(285 \leqslant X \leqslant315)$.
   Notons $Y$ la loi $\mathcal{N}(270,14,49)$ $$\begin{array}{rl} P(285 \leqslant X \leqslant315) & \approx P(285 \leqslant Y \leqslant315) \\ \end{array}$$

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   $P(285 \leqslant X \leqslant315)\approx 0.699$
   2. Estimer $P( X\geqslant 350) $ et interpréter le résultat obtenu.
   $$\begin{array}{rl} P( X\geqslant 350)&\approx P( Y\geqslant 350) \\ & \approx \\ &\text{normalFRép}(350,10^{99},300,14.49)\\ &\approx 2.8\times 10^{-4} \end{array}$$
   

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   $P( X \geqslant350)\approx 2.8\times 10^{-4}$. On est presque sûr que moins de 350 clients choisiront le menu terrroir.

Exercice 4 4 points

QCM Nombres complexes, loi exponentielle , optimisation

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Proposition 1 : Le nombre complexe $z$ de module $4\sqrt 3$ et dont un argument est$\frac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique $-2\sqrt 3 + 6i$.
2. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Les points A, B et C ont pour affixes respectives $z_A=2\text{e}^{i\frac{\pi}{2}} , z_B = -1 + i\sqrt 3$ et $z_C = z_A\times z_B$.
   Proposition 2 : Le point $C$ appartient au cercle de centre O et de rayon 4.
3. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0 ; 2] par $f(x) = -\frac{1}{2}x+ 1$.
   On considère un point M de coordonnées $ \left( x, -\frac{1}{2}x+ 1\right) $ sur la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que les points $H(x,0)$ et $K(0,-\frac{1}{2}x+ 1)$.
   
   Proposition 3 : L'aire, en unités d’aire, du rectangle $OHMK$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse 1.
4. On peut modéliser le temps d’attente d’un client, en minutes, à la caisse d’un supermarché par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
   Des études statistiques montrent que la probabilité qu’un client attende plus de 7 minutes à cette caisse est 0,417.
   On rappelle que pour tout réel $t$ positif, $P(T> t) =\text{e}^{-\lambda t}$.
   Proposition 4 : Le temps moyen d’attente à cette caisse de supermarché est 9 minutes.

Exercice 4 4 points

QCM Nombres complexes, loi exponentielle , optimisation

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Proposition 1 : Le nombre complexe $z$ de module $4\sqrt 3$ et dont un argument est$\frac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique $-2\sqrt 3 + 6i$.
Le nombre complexe $z$ de module $4\sqrt 3$ et dont un argument est$\frac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique $-2\sqrt 3 + 6i$.\\ Le nombre complexe $z$ de module $4\sqrt 3$ et dont un argument est$\frac{2\pi}{3}$ s'écrit : $$\begin{array}{rl} z &=4\sqrt 3 \text{e}^{i \frac{2\pi}{3}} \\ &= 4\sqrt 3 \left( \cos \left( \frac{2\pi}{3}\right) +i \sin \left( \frac{2\pi}{3}\right) \right) \\ &= 4\sqrt 3 \left( -\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2} \right) \\ &= 4\sqrt 3 \times \left( -\frac{1}{2}\right) + 4\sqrt 3 \times \frac{\sqrt 3}{2}\\ &= -2\sqrt 3 + 6i \end{array}$$
La proposition 1 est donc vraie.
2. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Les points A, B et C ont pour affixes respectives $z_A=2\text{e}^{i\frac{\pi}{2}} , z_B = -1 + i\sqrt 3$ et $z_C = z_A\times z_B$.
   Proposition 2 : Le point $C$ appartient au cercle de centre O et de rayon 4.
On peut par exemple calculer $z_C$ sous forme algébrique puis calculer son module. $$\begin{array}{rl} z_A=2\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}&= 2 \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}\right) +i \sin \left( \frac{\pi}{2}\right) \right) \\ & = 2( 0 + i)\\ &= 2i \end{array}$$ On a alors : $$\begin{array}{rl} z_C = z_A\times z_B& = 2i \times \left( -1 + i\sqrt 3\right) \\ & = -2i +2 i^2\sqrt 3\\ &= -2\sqrt 3 -2i \end{array}$$ On déduit alors : $$\begin{array}{rl} OC = |z_C |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ (2\sqrt 3)^2+2^2}\\ &=\sqrt{ 12+4}=\sqrt{16}\\ &= 4 \\ \end{array}$$ $OC=4$; donc le point $C$ appartient au cercle de centre O et de rayon 4.
La proposition 2 est donc vraie.
3. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0 ; 2] par $f(x) = -\frac{1}{2}x+ 1$.
   On considère un point M de coordonnées $ \left( x, -\frac{1}{2}x+ 1\right) $ sur la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que les points $H(x,0)$ et $K(0,-\frac{1}{2}x+ 1)$.
   
   
   Proposition 3 : L'aire, en unités d’aire, du rectangle $OHMK$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse 1.
L'aire du rectangle $OHMK$ est lafonction $g$ définie sur $g$ définie sur $[0;2]$ par $ g(x)= OH\times OK$.
Or $OH= x$ et $OK= -\frac{1}{2}x+ 1$.
On a donc $g(x)= x\left( -\frac{1}{2}x+ 1\right) =-\frac{1}{2}x^2+ x$.
Calculons sa dérivée :
$g'(x)= -\frac{1}{2}\times 2x+1 =-x+1$
Etudions le signe de la dérivée :
$g'(x)> 0 \iff 1-x> 0 \iff -x> -1\iff x<1$ On déduit le tableau de variations de $g$ sur $[0;2]$:

Ainsi l'aire, en unités d’aire, du rectangle $OHMK$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse 1.
La proposition 3 est donc vraie.
4. On peut modéliser le temps d’attente d’un client, en minutes, à la caisse d’un supermarché par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
   Des études statistiques montrent que la probabilité qu’un client attende plus de 7 minutes à cette caisse est 0,417.
   On rappelle que pour tout réel $t$ positif, $P(T> t) =\text{e}^{-\lambda t}$.
   Proposition 4 : Le temps moyen d’attente à cette caisse de supermarché est 9 minutes.
D'après l'énoncé $P(T> 7) =0,417$. $$\begin{array}{rl} P(T> 7) =0,417 & \iff \text{e}^{-7\lambda} =0,417\\ &\iff \ln \left( \text{e}^{-7\lambda}\right) =\ln(0,417)\\ &\iff -7 \lambda =\ln(0,417) \\ &\iff \lambda = -\dfrac{ \ln(0,417)}{7} \end{array}$$ Le temps d'attente moyen à ce supermarché est $E(T)= \dfrac{1}{\lambda }= -\dfrac{7}{ \ln(0,417)}\approx 8,003$
Le temps d'attente moyen à ce supermarché est envion 8 miutes.
La proposition 4 est donc fausse.