Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Polynésie 14 juin 2017 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Suites

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de 1240 renards à la fin de l'année 2016. On modélise par $u_n$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année $2016 + n$. On a donc $u_0 = 1240$.
On estime à 15% par an la baisse du nombre $u_n$. On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

Partie A

 

1. Montrer qu'à la fin de l'année 2017 ,la population de renards sera de 1054 .
$1240\times \left( 1- \dfrac{15}{ 100}\right) =1054$
À la fin de l'année 2017, la population de renards sera de 1054.
2. 1. Donner la valeur de $u_1$ puis calculer $u_2$.
   $u_1=1054 $ et, $u_2=1054\times 0,85=895,9.$
   2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a : $$u_{n+1} =u_n\times \left( 1- \dfrac{15}{ 100}\right) \iff u_{n+1} = 0,85 u_n $$
   3. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
   La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=1240$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,85 u_n$ donc :
   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=1240$.
3. Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l'année 2020.
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=1240$ donc pour tout entier naturel $n, u_n=1240\times 0,85^n$.
$u_4=1240\times 0,85^4\approx 647,3$
Selon ce modèle, à la fin de l'année 2020, il y aura environ 647 renards présents dans le parc régional.
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comment interpréter ce résultat ?
$0 < 0,85 < 1 $ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}~0,85^n =0$ d'où, $\lim\limits_{n \to +\infty}~80\times 0,85^n =0$ . $\lim\limits_{n \to +\infty}~u_n =0$
5. Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra strictement inférieur à 100. À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en situation d'extinction ?
On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation : $u_n <100$ $$\begin{array}{rll} u_n <100& \iff 1240\times 0,85^n <100&\\ & \iff 0,85^n < \dfrac{100}{ 1240} &\text{ en divisant par } 1240> 0 \\ & \iff \ln \left( 0,85^n \right) > \ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ &\iff n\ln (0,85)> \ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) & \text{ car } \ln\left( a^n\right) =n \ln a \\ & \iff n> \dfrac{\ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) }{\ln(0,85)} & \text{ car }0,85 < 1 \text{ donc } \ln(0,85) < 0 \\ \end{array}$$ Or $ \dfrac{\ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) }{\ln(0,85)} \approx 15,5$. alors, le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation $_n<100$ est $n=16$.
L'espèce de renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir de 2032.

 

Partie B

Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir de la fin de l'année 2017. On note $v_n$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$. On estime à 15% par an la baisse du nombre $v_n$. On a $v_0= 1240 $.

1. Calculer $v_1$.
$v_1=1240\times 0,85+30=1084$.
2. Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.
   On admet que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n = 200 + 1040 \times 0,85^n$. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 ».
   • Étudions le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$
     Pour tout entier $n\geq 1$ : $$\begin{array}{rl} v_{n+1}-v_n&=200 + 1040 \times 0,85^{n+1} -\left( 200 + 1040 \times 0,85^n\right) \\ & = 200 + 1040 \times 0,85^{n+1} -200-1040 \times 0,85^n\\ &=140\times 0,85^n \left( 0,85-1\right) \\ &= -156\times0,85^n \end{array}$$ Comme pour tout entier naturel $n$, on a $0,85^n > 0$ et $-156<0$ on en déduit que pour tout entier $n, v_{n+1}-v_n<0$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est strictement décroissante.
   • Etudions la limite de la suite $\left(v_n\right)$ :
     $0 < 0,85 < 1 $ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}~0,85^n =0$ d'où, $\lim\limits_{n \to +\infty}~200 + 1040 \times 0,85^n =200$ ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}~v_n =200$
     La suite $\left(v_n\right)$ est strictement décroissante et converge vers 200 donc l'affirmation : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 » est vraie.