Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Polynésie 14 juin 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (6 points)

Equations différentielles et Fonctions

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de 100 watts, diminue avec le temps $t$, mesuré en seconde. On modélise par $f(t)$ la puissance du son émis, exprimée en watt, $t$ secondes après le pincement de la corde.

Partie A

On considère l'équation différentielle (E) suivante où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~,~ +\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$ : \[(\mathrm{E}): 25y'+ 3y = 0\]

1. Résoudre l'équation différentielle $25y' + 3y = 0$.
On met l'équation différentielle sous forme résolue : $y'=a y$ $$\begin{array}{rl} 25y' + 3y = 0&\iff 25 y'= -3 y \\ & \iff y'= -\dfrac{3}{25} y\\ & \iff y'= -0.12 y \end{array}$$ Les solutions de l'équation différentielle $y′=-0,12⁢y $ sont les fonctions définies pour tout réel $t$ par $t\mapsto k⁢\text{e}^{—0,12⁢t}$ où $k$ est une constante réelle quelconque.
2. Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 100$.
La condition $f⁡(0)=100$ équivaut à $k\text{e}^0=100$ d'où $k=100$
Ainsi, la fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f⁡(t)=100⁢\text{e}^{—0,12⁢t}$.
3. Quelle est la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde ? Arrondir au watt près.
$$\begin{array}{rl} f(2)&= 100⁢\text{e}^{—0,12\times 2}\\ & = 100⁢\text{e}^{—0,24}\\ &\approx 79 \end{array}$$
Arrondie au watt près, la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde est de 79 watts.

Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(t) = 100\text{e}^{-0.12t}\]

Partie B

On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure à $80$watts. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|} \hline \text{Initialisation}\\ a \text{ prend la valeur 0}\\ b \text{prend la valeur 5}\\ \text{Traitement}\\ \text{ Tant que } |b - a|> 0,2 \\ \hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} m \text{ prend la valeur } \frac{a+b}{2} \\ \hspace{1cm}\text{Si } f(m) > 80\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} \hspace{0.5cm} a \text{ prend la valeur } m \\ \text{ Sinon }\\ \hspace{0.5cm} b \text{ prend la valeur } m \\ \end{array}\\ \hspace{1cm}\text{Finsi. }\\ \end{array}\\ \text{ Fintantque }\\ \textbf{Sortie}\\ \text{Afficher } a , b\\\hline \end{array}$$

1. À l'aide de l'algorithme ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous et à rendre avec la copie. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 & & & &\\\hline b &5 &2,5& & & &\\\hline b-a &5 & & & & &\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } & & & & &\\\hline m &2,5 & & & & &\\\hline f (m) & 74,1 & & & & &\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & & & & &\\\hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 &1,25 & 1,25&1,5625 &1,71875\\\hline b &5& 2,5& 2,5& 1,875& 1,875& 1,875\\\hline b-a &5 &2,5& 1,25 &0,625& 0,3125& 0,15625\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } &\text{ Vrai } &\text{ Vrai } & \text{ Vrai }&\text{ Vrai } &\text{ Faux }\\\hline m &2,5 &1,25& 1,875& 1,5625&1,71875 \\\hline f (m) & 74,1 &86,071& 79,852& 82,903 &81,363\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & \text{ Vrai }& \text{ Vrai }& \text{ Vrai }& \text{ Vrai }&\\\hline \end{array}$$
2. Quelles sont les valeurs affichées en sortie de cet algorithme ?
À la fin de l'exécution de cet algorithme les valeurs des variables $a$ et $b$ sont $a=1,71875$ et $b=1,875$.
3. Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?
S'il existe un ou plusieurs instants, $t_i$ en seconde, à partir desquels la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure ou égale à 80 watts alors $1,71875\leq t_i\leq 1,875$.

 

Partie C

 

1. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=80$, on donnera la valeur exacte et la valeur approchée à $10^{-3}$ près Interpréter ce résultat
$$\begin{array}{rll} f(t)>80& \iff 100\text{e}^{-0.12t} > 80&\\ & \iff \text{e}^{-0.12t} >0,8&\text{ en divisant par } 100> 0\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-0.12t}\right) > \ln(0,8) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,12 t > \ln(0,8) & \text{ car } \ln\left( \text{e}^{a}\right) = a \\ & t< -\dfrac{\ln \left( 0,8 \right)}{0,12}& \text{ car on a divisé par } -0,12<0\\ \end{array}$$ Or $- \dfrac{\ln \left( 0,8 \right)}{0,12}\approx 1,186$
La puissance du son émis 1,86 secondes après le pincement de la corde sera égale à 80 watts.
2. Calculer et interpréter la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{t \to +\infty}~-0,12t=-\infty \\ \lim\limits_{X \to +\infty}~\text{e}^{X}=0 \end{array}\right\}\; \text{ par composée }\lim\limits_{t \to +\infty}~ \text{e}^{-0.12t} =0 $ puis en multipliant par 80: $\lim\limits_{t \to +\infty}~f(t)=0$ d'où la puissance du son émis après le pincement de la corde sera quasi nulle à partir d'un certain temps.