Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Polynésie 14 juin 2017 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie. Dans tout l'exercice :

• on désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
• $x \mapsto \text{e}^x$ désigne la fonction exponentielle.
• $x \mapsto \ln x$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z: -1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ est:
   • A: $-2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • B: $2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • C: $\mathrm{i}\sqrt{3}- 1$
   • D: $\sqrt{3} \text{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
$$\begin{array}{cc} \text{Module}& \text{Argument}\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ 1^2+\sqrt{3}^2}\\ &=\sqrt 4\\ &= 2 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=-\frac{1}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~=\frac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta =\frac{2\pi}{3} \text{ convient } \end{array}$$ $$z= -1 + i\sqrt 3= 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3} \right) +i\sin \left(\frac{2\pi}{3} \right) \right)=2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}} $$
La bonne réponse est la B.
2. L'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text{e}^{-x}\mathrm{d}x $ est égale à :
   • A: $ \ln2-1$
   • B: $\frac{1- \text{e}}{ \text{e}}$
   • C: $\frac{2- \text{e}}{2 \text{e}}$
   • D: $1-\ln2$
Soit $F$ une primitive de $f$:
$F(x)= -\text{e}^{-x}$ $$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text{e}^{-x}\mathrm{d}x & = F(\ln 2)- F(1)\\ & =-\text{e}^{-\ln 2}-\left( -\text{e}^{-1}\right) \\ &=-\frac{1}{\text{e}^{\ln 2}}+\frac{1}{\text{e}}\\ &= -\frac{1}{2}+\frac{1}{\text{e}}\\ &= -\frac{\text{e}}{2\text{e}}+\frac{2}{2\text{e}}\\ &=\frac{2- \text{e}}{2 \text{e}} \end{array}$$ La bonne réponse est la C.
3. Si $f$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x)= 2x - \ln x$, alors :
   • A: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$
   • B: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= 0$
   • C: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=2$
   • D: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= \ln 2$
On sait d'après le cours que $\lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x=-\infty$, donc $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~-\ln x=+\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~2x=0 \end{array}\right\} \quad \text{ Par somme } \lim\limits_{x \to 0^+}~2x-\ln x=+\infty$
La bonne réponse est la A.
4. Soit $G$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $$G(x):x\ln x-x+2$$ $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par :
   • A:$g(x)=x\ln x-1$
   • B: $g(x) =\ln x+ 2x$
   • C: $g(x)=1-\frac{x^2}{2}+2x $
   • D: $g(x)= \ln x$
$G$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
On écrit $G(x)= x \left( \ln x -1 \right) +2$ $G=u v +2 ,$ d'où $G'=u'v+v'u $ avec pour tout réel $x$, dans $ ]0;+\infty [$ :
$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =\ln x-1 \end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ = 1 \\ v'(x)~ =\dfrac{1}{x} \end{array}\right.$ $$ \begin{array}{cl} G'(x)&=1\times \left( \ln x -1 \right) + \dfrac{1}{x}\times x\\ & = \ln x -1 +1 \\ &= \ln x \end{array} $$ $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par : $g(x)=\ln x$
La bonne réponse est la D.