Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Polynésie 14 juin 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.
En 2016, l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) affirme que 5,1 millions de personnes en France souffraient de diabète, soit 8% de la population. Chaque personne dispose d'un dossier médical régulièrement actualisé.

Partie A

Dans le cadre de la semaine nationale de prévention du diabète qui s'est tenue en 2016, une campagne de sensibilisation de cette maladie a été menée. Sur 85 dossiers médicaux prélevés au hasard, on a compté 3 cas de diabète.

1. Quelle est la fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé ?
La fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé est $f=\dfrac{3}{85}$.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de cas de diabète sur cet échantillon de 85 dossiers. Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I=\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\]

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de cas de diabète sur un échantillon de 85 dossiers est $I_{85}=[0,022;0,138]$.
3. L'échantillon est-il représentatif de la population française ? Justifier.
$f=\dfrac{3}{85}\approx 0.035$. La fréquence $f$ appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. On peut considérer que cet échantillon est représentatif de la population française.

 

Partie B

Dans le corps humain, la régulation du taux de glycémie est assurée grâce à un équilibre permanent entre différentes substances principalement hormonales. Le tableau suivant présente trois états de la glycémie :

Hypoglycémie	À jeun : inférieur à 0,70 g/l
Glycémie normale	À jeun : entre 0,70 g/l et 1,10 g/l
Hyperglycémie	À jeun : supérieur à 1.10 g/l

On note $N$ la variable aléatoire qui, à chaque dossier médical prélevé au hasard dans la population, associe le taux de glycémie à jeun en g/l de la personne. On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d'écart type 0,1.
Dans le cadre de cet exercice, on considère qu'une personne souffre de diabète si cette personne ne présente pas une glycémie normale à jeun.

1. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie.

2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie est égale à 0,023.
2. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hyperglycémie.
$P(N>1,1)=P(N>0,9+2\times 0,1)$. Par symétrie de la courbe représentative de la loi normale de moyenne $\mu=0,9$ et d'écart-type $\sigma=0,1$ on a : $P(N >1,1)=P(N < 0,7)\approx 0,023$ ou de façon plus direte :

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d ' une personne en hyperglycémie est égale à 0,023.
3. Déterminer la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète.
Une personne souffre de diabète si elle est en hypoglycémie en hyperglycémie soit $P(N<0,7\cup N>1,1)\approx 0,046$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète est égale à 0,046.