BAC STL, STI2D Métropole 16 juin 2017

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Exercice 1 6 points

Suites

La climatisation d’un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l’habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d’étanchéité, le système perd naturellement 0,1 gramme de ce gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de 660 grammes.

Partie A

Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 grammes. Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

Partie B

Lors d’une visite d’entretien, le garagiste signale à l’automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de 0,1 gramme, le système perd 1 % de sa masse de gaz chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,99u_n -0,1$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Voici un algorithme qui, lorsque l’on saisit un nombre N non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système. $$ \begin{array}{|r l|}\hline &\text{Variables}\\ &\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} k : \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} u : \text{ un nombre réel }\\ &\text{Entrée}\\ &\hspace{0.6cm} Saisir N\\ &\text{Initialisation}\\ &\hspace{0.6cm} u \text{ prend la valeur } 660\\ &\text{Traitement}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Pour } k \text{ allant de 1 à } \cdots \\ &\hspace{1cm} u \text{ prend la valeur } \cdots \\ &\hspace{0.6cm} \text{ Fin Pour} \\ &\text{Sortie}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } u \\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter la partie relative au traitement de cet algorithme.
   2. Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours ? Arrondir au gramme près.
3. Soit la suite $\left( y_n\right) $ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n + 10$.
   1. Calculer $v_0$.
   2. On admet que $\left( y_n\right) $ est une suite géométrique de raison 0,99.
      Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n =670 \times 0,99^n -10$.
   4. À l’aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 2.b.
4. On rappelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 g.
   Le coût d’une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros.
   Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système? Justifier la réponse.