BAC STL, STI2D Métropole 16 juin 2017 - Exercice 4

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Exercice 4 4 points

QCM Nombres complexes, loi exponentielle , optimisation

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Proposition 1 : Le nombre complexe $z$ de module $4\sqrt 3$ et dont un argument est$\frac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique $-2\sqrt 3 + 6i$.
2. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Les points A, B et C ont pour affixes respectives $z_A=2\text{e}^{i\frac{\pi}{2}} , z_B = -1 + i\sqrt 3$ et $z_C = z_A\times z_B$.
   Proposition 2 : Le point $C$ appartient au cercle de centre O et de rayon 4.
3. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0 ; 2] par $f(x) = -\frac{1}{2}x+ 1$.
   On considère un point M de coordonnées $ \left( x, -\frac{1}{2}x+ 1\right) $ sur la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que les points $H(x,0)$ et $K(0,-\frac{1}{2}x+ 1)$.
   
   Proposition 3 : L'aire, en unités d’aire, du rectangle $OHMK$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse 1.
4. On peut modéliser le temps d’attente d’un client, en minutes, à la caisse d’un supermarché par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
   Des études statistiques montrent que la probabilité qu’un client attende plus de 7 minutes à cette caisse est 0,417.
   On rappelle que pour tout réel $t$ positif, $P(T> t) =\text{e}^{-\lambda t}$.
   Proposition 4 : Le temps moyen d’attente à cette caisse de supermarché est 9 minutes.