BAC STL, STI2D Métropole 16 juin 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)

Probabilités

Un chef cuisinier décide d’ajouter un « menu terroir » à la carte de son restaurant. S’appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu’environ 30% des clients choisiront ce menu. Ceci le conduit à faire l’hypothèse que la probabilité qu’un client, pris au hasard, commande le « menu terroir » est $ p = 0,3$.

Partie A

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $$I= \left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \,;\, p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right] $$ $$\begin{array}{rl} I_{100} &= \left[0,3- 1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{100}}~;~0,3 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{100}} \right] \\ &= \left[ 0,3 - 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,21}}{\sqrt{100}} \,;\, 0,3 + 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,21}}{\sqrt{100}} \right] \\ \end{array}$$

• On arrondit la borne inférieure par défaut à $10^{-4}$ près : $0,3 - 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,21}}{\sqrt{100}} \approx 0,2101$ soit $0,210$.
• On arrondit la borne supérieure par excès à $10^{-3}$ près : $0,3 + 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,21}}{\sqrt{100}} \approx0,3898$ soit $0,390$.

$$I_{100}\approx[ 0,210; 0,390]$$ L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $I_{100} \approx \left[ 0,210; 0,390 \right]$
La fréquence observée est $f_{\text{Obs}}=\dfrac{26 }{100}=0,26$.
Comme $f_{\text{Obs}}\in I_{100}$. On accepte l’hypothèse que $p = 0,3$.

Partie B

Une agence de voyage a réservé toutes les tables du restaurant pour la semaine à venir. Le restaurateur sait ainsi que 1000 clients viendront déjeuner chacun une fois durant la semaine. Le nombre de « menus terroir » qui seront alors commandés est une variable aléatoire $X$.
On considère que la probabilité qu’un des clients commande un « menu terroir « est $p = 0,3$.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
   1. Donner ses paramètres.

   On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

   • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
   • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

   Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

   2. Déterminer la probabilité que le nombre de « menu terroir « commandés soit inférieur ou égal à 315.

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
2. On décide d’approcher la loi binomiale précédente par la loi normale d'espérance $\mu = 300$ et d’écart type $\sigma = 14,49$.
   Justifier les valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
On approche $X$ par une loi normale qui a les mêmes paramètres.
Son espérance est donc $\mu =E(X)=np= 1000\times 0,3= 300$.
Son écart-type est $\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{300\times 0,7}=\sqrt{210}\approx 14,49$. Il est donc légitime d'approcher la loi binomiale $X$ par la loi normale d'espérance $\mu = 300$ et d’écart type $\sigma = 14,49$.
Dans la suite de l’exercice, on utilisera cette approximation par la loi normale. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
3. 1. Estimer $P(285 \leqslant X \leqslant315)$.
   Notons $Y$ la loi $\mathcal{N}(270,14,49)$ $$\begin{array}{rl} P(285 \leqslant X \leqslant315) & \approx P(285 \leqslant Y \leqslant315) \\ \end{array}$$

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   $P(285 \leqslant X \leqslant315)\approx 0.699$
   2. Estimer $P( X\geqslant 350) $ et interpréter le résultat obtenu.
   $$\begin{array}{rl} P( X\geqslant 350)&\approx P( Y\geqslant 350) \\ & \approx \\ &\text{normalFRép}(350,10^{99},300,14.49)\\ &\approx 2.8\times 10^{-4} \end{array}$$
   

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   $P( X \geqslant350)\approx 2.8\times 10^{-4}$. On est presque sûr que moins de 350 clients choisiront le menu terrroir.