BAC STL, STI2D Métropole 16 juin 2017 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)

Suites

La climatisation d’un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l’habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d’étanchéité, le système perd naturellement 0,1 gramme de ce gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de 660 grammes.

Partie A

Initialement, il y a 660 grammes de gaz dans le réservoir, il devra recharger ce réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 grammes. Il se sera échappé 220 grammes de gaz, ( 660-440= 220). Ces 220 grammes se seront échappés en 2200 jours. ( 2200/0,1= 2200).
L'automobiliste devra donc recharger le réservoir au bout de 2200 jours( 6 ans et 10 jours).

Partie B

Lors d’une visite d’entretien, le garagiste signale à l’automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de 0,1 gramme, le système perd 1 % de sa masse de gaz chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,99u_n -0,1$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$$\begin{array}{rl} u_{ 1} &= 0,99u_0 -0,1 \\ & = 0,99\times 660 -0,1\\ &= 653,3 \end{array}$$ $$\begin{array}{rl} u_{ 2} &= 0,99u_1 -0,1 \\ & = 0,99\times 653,3 -0,1\\ &\approx 646,7 \text{à 0,1 près} \end{array}$$ $u_{ 1}=653,3$ et $u_{ 2}\approx 646,7 \text{à 0,1 près} $
2. Voici un algorithme qui, lorsque l’on saisit un nombre N non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système. $$ \begin{array}{|r l|}\hline &\text{Variables}\\ &\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} k : \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} u : \text{ un nombre réel }\\ &\text{Entrée}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Saisir } N\\ &\text{Initialisation}\\ &\hspace{0.6cm} u \text{ prend la valeur } 660\\ &\text{Traitement}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Pour } k \text{ allant de 1 à }\cdots\\ &\hspace{1cm} u \text{ prend la valeur } \cdots \\ &\hspace{0.6cm} \text{ Fin Pour} \\ &\text{Sortie}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } u \\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter la partie relative au traitement de cet algorithme.
   $$\begin{array}{rl} u_{ 1} &= 0,99u_0 -0,1 \\ & = 0,99\times 660 -0,1\\ &= 653,3 \end{array}$$ $$\begin{array}{rl} u_{ 2} &= 0,99u_1 -0,1 \\ & = 0,99\times 653,3 -0,1\\ &\approx 646,7 \text{à 0,1 près} \end{array}$$ $u_{ 1}=653,3$ et $u_{ 2}\approx 646,7 \text{à 0,1 près} $
   2. Voici un algorithme qui, lorsque l’on saisit un nombre N non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système. $$ \begin{array}{|r l|}\hline &\text{Variables}\\ &\hspace{0.6cm} N: \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} k : \text{ un nombre entier naturel}\\ &\hspace{0.6cm} u : \text{ un nombre réel }\\ &\text{Entrée}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Saisir } N\\ &\text{Initialisation}\\ &\hspace{0.6cm} u \text{ prend la valeur } 660\\ &\text{Traitement}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Pour } k \text{ allant de 1 à }\color{red}{N }\\ &\hspace{1cm} u \text{ prend la valeur } \color{red}{0.99 u -0.1 }\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Fin Pour} \\ &\text{Sortie}\\ &\hspace{0.6cm} \text{ Afficher } u \\ \hline \end{array} $$
   3. Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours ? Arrondir au gramme près.
   Une méthode consiste à programmer la suite $\left( u_n\right) $ Il restera environ 538 grammes de gaz au bout de 20 jours.
3. Soit la suite $\left( y_n\right) $ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n + 10$.
   1. Calculer $v_0$.
   $v_0=u_0+10= 660 +10= 670$. $v_0=670$
   2. On admet que $\left( y_n\right) $ est une suite géométrique de raison 0,99.
      Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   Comme $\left( v_n\right) $ est une suite géométrique de raison 0,99, on déduit $v_n = q^n \times v_0$ $$\begin{array}{rl} v_n &= q^n \times v_0 \\ & =0,99^n \times 670\\ & \end{array}$$ $v_n =670\times 0,99^n$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n =670 \times 0,99^n -10$.
   Ayant $v_n=u_n + 10$, on déduit $u_n=v_n-10= 670 \times 0,99^n -10$
   4. À l’aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 2.b.
   On calcule $$\begin{array}{rl} u_{20}&= 670 \times 0,99^{20} -10 \\ & \approx538 \\ \end{array}$$ $u_{20}\approx 538$
4. On rappelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 g.
   Le coût d’une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros.
   Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système? Justifier la réponse.
Déterminons au bout de combien de jours il faudrait recharger le réservoir.
On résout $u_n < 440$ $$\begin{array}{rll} u_n < 440& \iff 670 \times 0,99^{n} -10 < 440& \\ & \iff 670 \times 0,99^{n} < 450 & \\ & \iff 0,99^{n} <\dfrac{450}{ 670} &\text{ car } 670 > 0 \\ &\iff \ln \left( 0,99^{n} \right) < \ln \left( \dfrac{450}{ 670} \right) &\text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ &\iff n\ln \left( 0,99 \right) < \ln \left( \dfrac{450}{ 670} \right) &\text{ car } \ln\left( a^n\right) =n \ln a \\ &\iff n > \dfrac{\ln \left( \dfrac{450}{ 670} \right)}{\ln \left( 0,99 \right)} &\text{ car } 0,99 < 1 \text{ donc } \ln 0,99 < 0 \\ \end{array}$$ Or $ \dfrac{\ln \left( \dfrac{450}{ 670} \right)}{\ln \left( 0,99 \right)}\approx 39,6$.
Donc dans ces conditions, il faudrait utiliser une recharge de 80 euros tous les 40 jours, on dépassera donc le montant de la réparation au bout de $ 5\times 40 = 200$ jours. $\dfrac{400}{80}= 5$
Au bout de 200 jours, les 5 recharges utilisées compensent le montant de la réparation, et donc il est plus économique pour cet automobiliste de réparer le système.