BAC STL, STI2D Métropole 16 juin 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Equations différentielles

La fonte GS (graphite sphéroïdal) possède des caractéristiques mécaniques élevées et proches de celles des aciers. Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS qui sont utilisées dans l’industrie automobile.
Ces pièces sont coulées dans des moules de sable et ont une température de 1400 ℃ à la sortie du four. Elles sont entreposées dans un local dont la température ambiante est maintenue à une température de 30 ℃ . Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à 650 ℃ .
La température en degrés Celsius d’une pièce de fonte est une fonction du temps $t$, exprimé en heures, depuis sa sortie du four. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$, est une solution sur cet intervalle de l’équation différentielle $y' + 0,065y = 1,95$.

1. 1. Résoudre sur $[0 ; +\infty[$ l’équation différentielle $y' + 0,065y = 1,95$.
   L'équation différentielle $y' + 0,065y =1,95$ s'écrit $y'= -0,065y +1,95$.\\ Cette équation est donc du type $y'= ay +b$, où $a= -0,065$ et $b=1,9$.
   La solution générale de l'équation $y'= ay +b$ est $y= -\frac{b}{a}+C\text{e}^{at}$.
   Ici $-\frac{b}{a}= -\frac{1,95}{-0,065}=30$.
   La solution générale de l'équation est$y= 30+C\text{e}^{ -0,065t}$ où $C$ désigne une constante réelle.
   2. Donner$f(0)$ et vérifier que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(t)= 1370\text{e}^{-0,065t} + 30$.
   Les pièces sont à la température de 1400℃. Donc $f(0)= 1400$.
   Comme $f$ est une solution de léquation différentielle, on a $f(t)= 30+C\text{e}^{ -0,065t}$ où $C$ désigne une constante réelle. $$\begin{array}{rl} f(0)=1400& \iff 30+C\text{e}^{ -0,065\times 0 }=1400\\ & \iff 30+C\text{e}^{ 0 }=1400\\ & \iff 30+C =1400\\ & \iff C =1370\\ \end{array}$$ La fonction $f$ est donc définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(t)= 30+1370\text{e}^{ -0,065t}$
2. 1. Étudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
   On calcule la dérivée de $f$.
   $f(t)= 30+1370\text{e}^{ -0,065t}$ et $\left( e^u \right)' =u' e^u $ donc : $$\begin{array}{rl} f'(t)& = 1370\times \left( -0,065\right)\text{e}^{ -0,065t} \\ & = -89,05 \text{e}^{ -0,065t}\\ & \end{array}$$ La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$ , on déduit que pour tout $t\in [0 ; +\infty[$ on a $ \text{e}^{ -0,065t}> 0$ et donc $-89,05 \text{e}^{ -0,065t}< 0$.
   La dérivée étant strictement négative sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
   2. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?
   Comme la température ambiante est de 30 ℃, et comme les pièces sont à la température de 1400 ℃, la température des pièces va diminuer et donc $f$ est bien une fonction décroissante du temps.
3. La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée 5 heures dans le local?
Calculons $f(5) = 30+C\text{e}^{ -0,065\times 5 }\approx 1020$
Au bout de 5 heures,la température des piéces est de 1200 ℃ environ et donc les pièces ne peuvent pas être démoulées.
4. 1. Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce pourra être dé moulée. Arrondir le résultat à la minute près.
   On résout l'équation $f(t)< 650$ $$\begin{array}{rll} f(t)< 650 & \iff 30+1370\text{e}^{ -0,065t} < 650& \\ & \iff 1370\text{e}^{ -0,065t} < 620&\\ & \iff \text{e}^{ -0,065t} < \dfrac{620}{1370} & \text{ car } 1370> 0\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{ -0,065t}\right) < \ln \left( \dfrac{62}{137}\right) & \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,065t < \ln \left( \dfrac{62}{137}\right) & \\ & \iff t > \dfrac{\ln \left( \dfrac{62}{137}\right)}{-0,065} & \text{ car } -0,065 < 0 \\ \end{array}$$ Or $ \dfrac{\ln \left( \dfrac{62}{137}\right)}{-0,065}\approx 12,198 \; h$ soit environ 12 heures et 12 minutes.
   Les pièces pourront êtree démoulées au bout de 12 heures et 12 minutes.
   2. Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint 325 ℃.
      Dans ce cas, faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à 650 ℃ ? Justifier la réponse.
   On résout de même $f(t)<325$ $$\begin{array}{rll} f(t)< 650 & \iff 30+1370\text{e}^{ -0,065t} < 325& \\ & \iff 1370\text{e}^{ -0,065t} < 295&\\ & \iff \text{e}^{ -0,065t} < \dfrac{295}{1370} & \text{ car } 1370> 0\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{ -0,065t}\right) < \ln \left( \dfrac{59}{274}\right) & \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,065t < \ln \left( \dfrac{59}{274}\right) & \\ & \iff t > \dfrac{\ln \left( \dfrac{59}{274}\right)}{-0,065} & \text{ car } -0,065 < 0 \\ \end{array}$$ Or $ \dfrac{\ln \left( \dfrac{59}{274}\right)}{-0,065}\approx 23,624 \; h$ soit environ 23 heures et 38 minutes.
   Il est donc faux qu'il faut attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à 650 ℃ .