Bac STI2D Antilles Guyane 22 juin 2015 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 4 points

Suites

Étude du déficit d'une multinationale

Le déficit d'une multinationale a été de 15 millions d'euros en 2014. Devant l'ampleur de ce déficit, l'équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel à moins de $5$ millions d'euros. Jusqu'à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s'engage à ce que le déficit baisse de 8,6% tous les ans. On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la manière suivante : on note $u_n$ le déficit  en million d'euros  de cette multinationale lors de l'année $2014 + n$. Ainsi $u_0 = 15$. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

1. 1. Montrer que $u_1 = 0,914 u_0$.
   En 2015 le montant du déficit baisse de 8,6 % soit : $$u_1=u_0\times 1-\dfrac{8,6}{100}=u_0\times0,914$$
   Ainsi, $u_1=0,914⁢u_0$.
   2. Si l'équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?
   Après deux baisses successives de 8,6 %, en 2016 le montant du déficit serait de : $$u_2=15\times0,914\times0,914\approx 12,531$$
   En 2016, le déficit serait d'environ 12,531 millions d'euros.
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   Pour tout entier $n$ on a : $u_{n+1}=u_n\times 0,914$ donc $(u_n )$ est une suite géométrique de raison 0,914.
   $(u_n )$ est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme $u_0=15$ donc :
   pour tout entier $n, u_n=15\times 0,914^n.$
2. 1. Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue l'entier naturel $n$ : \[0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}\]
   $$\begin{array}{rll} 0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}& \iff \ln\left (0,914^n\right ) \leqslant \ln\left (\dfrac{1}{3} \right ) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante } \\ && \text{ sur } ]0; +\infty[ \\ &\iff n \ln\left (0,914 \right ) \leqslant -\ln 3 & \text{ car } \ln\left (a^n\right )=n\ln a \text{ et } \ln\left (\dfrac{1}{a} \right )=-\ln a\\ &\iff n\geq \dfrac{-\ln 3}{\ln\left (0,914 \right )}& \text{ car } 0,914< 1 \text{ ainsi } \ln\left (0,914 \right )< 0\\ \end{array}$$ Comme $\dfrac{-\ln 3}{\ln\left (0,914 \right )}\approx 12,2$ alors :
   les solutions entières de l'inéquation $0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}$ sont les entiers $n\geq 13. .$
   2. Quand l'engagement de l'équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous des 5 millions d'euros, sera-t-il atteint ?
   On cherche le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation
   $$15\times 0,914^n \leqslant 5 \iff 0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}$$
   Le déficit de la multinationale sera inférieur à 5 millions d'euros à partir de 2027.
3. On considère l'algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente. $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Tant que ... faire}\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} N \text{ prend la valeur } \ldots\\ U \text{ prend la valeur } \ldots \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{ Afficher } \ldots\\ \text{Fin} &\\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie l'année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de $5$ millions d'euros.
   $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Tant que } U > 5 \text{ faire }\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} N \text{ prend la valeur } N+1 \\ U \text{ prend la valeur } 0,914\times U \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{ Afficher } 2014+N\\ \text{Fin} &\\ \hline \end{array} $$
   2. On suppose l'algorithme complété. Proposer une modification de l'algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu'à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de $5$ millions d'euros.
   $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Tant que } U > 5 \text{ faire }\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} N \text{ prend la valeur } N+1 \\ U \text{ prend la valeur } 0,914\times U \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{ Afficher « Déficit en }   2014+N \text{ »} = U\\ \text{Fin} &\\ \hline \end{array} $$
4. 1. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l'année 2014 comprise, c'est-à-dire : $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{10}$·
   $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme $u_0=15 $ donc la somme des 11 premiers termes de cette suite est : $$\begin{array}{rl} u_0+u_1+u_2+\cdots +u_{10}&= \dfrac{1-\text{ Raison}^{\text{ Nombres de termes}}}{1-\text{ Raison}}\times \text{ Premier terme}\\ & \dfrac{1-0,914^{11}}{1-0,914}\times 15\\ &\approx 109,555 \end{array}$$
   En 11 ans, le déficit cumulé est d'environ 109,555 millions d'euros.
   2. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.
   $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } S \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &S \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Pour } N \text{ allant de } 1 \text{ à } 10\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} U \text{ prend la valeur } 0,914\times U \\ S \text{ prend la valeur } S+U \end{array}\\ &\text{Fin Pour}\\ &\text{ Afficher }   S &\\ \hline \end{array} $$