Bac STI2D Antilles Guyane 22 juin 2015 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Probabilités

Étude de la production de plats préparés sous vide.
Les questions 1, 2 et 3 de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$
L'entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide. L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de cette production en exploitant divers outils mathématiques.

1. Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de $400$ grammes. Un plat est conforme lorsque sa masse, exprimée en gramme, est supérieure à $394$ grammes. On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en gramme. On suppose que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale d'espérance $400$ et d'écart type $5$.
   1. Déterminer la probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre $394$ et $404$ grammes.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   La probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre 394 et 404 grammes est 0,673.
   2. Déterminer la probabilité qu'un plat soit conforme.
   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate :

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   La probabilité qu'un plat soit conforme est 0,885.
2. Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de $300$. On arrondit la probabilité de l'évènement « un plat préparé prélevé au hasard dans la production n'est pas conforme » à $0,12$. On prélève au hasard $300$ plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $300$ plats, associe le nombre de plats préparés non conformes qu'il contient.
   1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   On assimile ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,12$.
   2. Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ et en donner une interprétation.
   $E(X)=300\times 0,12=36$
   Dans un lot de 300 plats on trouve en moyenne 36 plats non conformes.
   3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $300$ plats prélevés au hasard, au moins $280$ plats soient conformes.
   L'évènement « au moins 280 plats sont conformes » est l'èvènement contraire de l'événement « 19 plats au plus ne sont pas conformes » Avec la calculatrice, on trouve : $P(X\geq 280)=1-P(X\leq 19)\approx 0,999$

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   La probabilité que dans un échantillon de 300 plats prélevés au hasard, au moins 280 plats soient conformes est 0,999.
3. Le fabricant annonce sur les étiquettes de ses produits une proportion de produits non conformes de 12%. On prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 1200 dans lequel $150$ plats se révèlent être non conformes.
   1. Quelle est la fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé ?
   La frequence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé est $f=\dfrac{150}{1200}=0,125$.
   2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille 1200 .
      Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3 }$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille 1 200 est $I=[0,1010,139]$.
   3. L'échantillon est-il représentatif de la production du fabricant ? Justifier.
   La fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% donc cet échantillon est représentatif de la production du fabricant.