Bac STI2D Antilles Guyane 22 juin 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 4 points

Suites

 

Étude du déficit d'une multinationale

Le déficit d'une multinationale a été de 15 millions d'euros en 2014. Devant l'ampleur de ce déficit, l'équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel à moins de $5$ millions d'euros. Jusqu'à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s'engage à ce que le déficit baisse de 8,6% tous les ans. On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la manière suivante : on note $u_n$ le déficit  en million d'euros  de cette multinationale lors de l'année $2014 + n$. Ainsi $u_0 = 15$. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

1. 1. Montrer que $u_1 = 0,914 u_0$.
   2. Si l'équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?
   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2. 1. Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue l'entier naturel $n$ : \[0,914^n \leqslant \dfrac{1}{3}\]
   2. Quand l'engagement de l'équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous des 5 millions d'euros, sera-t-il atteint ?
3. On considère l'algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente. $$ \begin{array}{|l X|}\hline \text{Variables} &\\ &N \text{ un entier naturel}\\ &Q \text{ et } U \text{ deux nombres réels.}\\ \text{Début} &\\ &N \text{ prend la valeur } 0\\ &Q \text{ prend la valeur } 0,914\\ &U \text{ prend la valeur } 15\\ &\text{Tant que ... faire}\\ &\hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} N \text{ prend la valeur } \ldots\\ U \text{ prend la valeur } \ldots \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{ Afficher } \ldots\\ \text{Fin} &\\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie l'année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de $5$ millions d'euros.
   2. On suppose l'algorithme complété. Proposer une modification de l'algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu'à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de $5$ millions d'euros.
4. 1. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l'année 2014 comprise, c'est-à-dire : $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{10}$·
   2. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.