Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On définit la suite de nombres complexes $(z_n)$ de la manière suivante: $z_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[z_{n+1} = \dfrac{1}{3} z_{n} + \dfrac{2}{3}\text{i}.\] On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note A$_{n}$ le point du plan d'affixe $z_n$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=z_n-\text{i}$ et on note B$_n$ le point d'affixe $u_n$. On note C le point d'affixe $\text{i}$.

1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n=\left (\dfrac{1}{3}\right )^{n} \left (1-\text{i}\right ).\]
3. 1. Pour tout entier naturel $n$, calculer, en fonction de $n$, le module de $u_n$.
   2. Démontrer que \[\lim_{n\to +\infty} \left |z_n-\text{i} \right |=0.\]
   3. Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat?
4. 1. Soit $n$ un entier naturel. déterminer un argument de $u_n$.
   2. Démontrer que, lorsque $n$ décrit l'ensemble des entiers naturels, les points B$_n$ sont alignés.
   3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point A$_n$ appartient à la droite d'équation réduite: \[y=-x+1.\]