Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 - Exercice 3

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Exercice 3 : 6 points


Géométrie dans l'espace


Soit ABCDEFGH le cube représenté ci-dessous.
On considère:

  • I et J les milieux respectifs des segments [AD] et [BC];
  • P le centre de la face ABFE, c'est-à-dire l'intersection des diagonales (AF) et (BE);
  • Q le milieu du segment [FG].

Cube
On se place dans le repère orthonormé $\left ( \text{A}~;~\frac{1}{2}\vec{AB}\;,\;\frac{1}{2}\vec{AD}\;,\;\frac{1}{2}\vec{AE}\right )$. Dans tout l'exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.
On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (IJ) est \[\left \lbrace \begin{array}{l !{=} l} x& r\\ y & 1\\ z & 0\\ \end{array} \right . , \quad r\in\mathbb{R}\]

  1. Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite (PQ) est \[\left \lbrace \begin{array}{l !{=} r} x& 1+t\\ y & t \\ z & 1+t\\ \end{array} \right . ,\quad t\in\mathbb{R}\]
  2. Soient $t$ un nombre réel et M $(1+t~;~t~;~1+t)$ le point de la droite (PQ) de paramètre $t$.

    1. On admet qu'il existe un unique point K appartenant à la droite (IJ) tel que (MK) soit orthogonale à (IJ). Démontrer que les coordonnées de ce point K sont $(1+t~;~1~;~0)$.
    2. En déduire que $\text{MK} = \sqrt{2+2t^2}$.
    1. Vérifier que $y-z=0$ est une équation cartésienne du plan (HGB).
    2. On admet qu'il existe un unique point L appartenant au plan (HGB) tel que (ML) soit orthogonale à (HGB).
      Vérifier que les coordonnées de ce point L sont $\left (1+t~;~\dfrac{1}{2}+t~;~\dfrac{1}{2}+t\right )$.
    3. En déduire que la distance ML est indépendante de $t$.
  3. Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle la distance MK est égale à la distance ML?
Correction Exercice 3
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