Exercice 1 3 points

Commun à tous les candidats

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d'une mutuelle étudiante enregistre un nombre record d'appels. Les appelants sont d'abord mis en attente et entendent une musique d'ambiance et un message préenregistré. Lors de cette première phase, le temps d'attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,02$ s$^{-1}$. Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions. Le temps d'échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la variable aléatoire $Y$, exprimée en secondes, qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 96$ s et d'écart-type $\sigma = 26$ s.

1. Quelle est la durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique (temps d'attente et temps d'échange avec le chargé de clientèle)?
2. Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.
   1. Calculer la probabilité que l'étudiant soit mis en attente plus de 2 minutes.
   2. Calculer la probabilité pour que le temps d'échange avec le conseiller soit inférieur à 90 secondes.
3. Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d'une minute d'être mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci. Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à $30$ secondes l'attente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne ?

Correction de l'exercice 1 (3 points)

Commun à tous les candidats

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d'une mutuelle étudiante enregistre un nombre record d'appels. Les appelants sont d'abord mis en attente et entendent une musique d'ambiance et un message préenregistré. Lors de cette première phase, le temps d'attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,02$ s$^{-1}$. Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions. Le temps d'échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la variable aléatoire $Y$, exprimée en secondes, qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 96$ s et d'écart-type $\sigma = 26$ s.

1. Quelle est la durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique (temps d'attente et temps d'échange avec le chargé de clientèle)?
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=50$.
Donc en moyenne, le temps d’attente d’un appel est de $50$ s.
La durée totale moyenne d’un appel au standard téléphonique est donc de $96+50=146$ s soit $2$ min et $26$ s.

2. Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.
   1. Calculer la probabilité que l'étudiant soit mis en attente plus de 2 minutes.
   On veut calculer :
   $P(X \geq 2) = \text{e}^{-2\times 60\lambda} = \text{e}^{-2,4}$
   $\quad$
   
   2. Calculer la probabilité pour que le temps d'échange avec le conseiller soit inférieur à 90 secondes.
   On veut calculer :
   $P(Y\leq 90) = 0,5-P(90 \leq Y \leq 96) \approx 0,409$ ou de façon plus directe :

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d'une minute d'être mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci. Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à $30$ secondes l'attente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne ?
On a :
$\begin{align*} P_{X > 60}(X<60+30)&=1-P_{X>60}(X>60+30) \\
&=1-P(X>30) \quad (*)\\
&=P(X\leq 30)
\end{align*}$
$(*)$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
Le fait de raccrocher puis de rappeler n’augmente pas (mais ne diminue pas non plus) ses chances de limiter à $30$ secondes l’attente supplémentaire.
$\quad$

Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1 + \text{i}$ et $1 - \text{i}$.
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose \[S_n = (1 + \text{i})^n + (1 - \text{i})^n.\]
   1. Déterminer la forme trigonométrique de $S_n$.
   2. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.
      Affirmation A : Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_n$ est un nombre réel.
      Affirmation B : Il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $S_n = 0$.

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1 + \text{i}$ et $1 - \text{i}$.
$|1+\text{i}|=\sqrt{2}$
Donc $1+\text{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4}$ (forme exponentielle).
On a aussi $1+\text{i}=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text{i} \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$ (forme trigonométrique).
$\quad$
On remarque que $1-\text{i}=\overline{1+\text{i}}=\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\pi/4}$ (forme exponentielle).
Par conséquent $1-\text{i}=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\text{i} \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$ (forme trigonométrique).
$\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose \[S_n = (1 + \text{i})^n + (1 - \text{i})^n.\]
   1. Déterminer la forme trigonométrique de $S_n$.
   La formule d’Euler nous permet d’écrire $\cos \theta = \dfrac{\text{e}^{\text{i} \theta}+\text{e}^{\text{i} \theta}}{2}$
   $\begin{align*} S_n&=(1+\text{i})^n+(1-\text{i})^n \\
   &=\sqrt{2}^n\text{e}^{n\text{i}\pi/4}+\sqrt{2}^n\text{e}^{-n\text{i}\pi/4} \\
   &=\sqrt{2}^n \left(\text{e}^{n\text{i}\pi/4}+\text{e}^{-n\text{i}\pi/4}\right) \\
   &=\sqrt{2}^n \times 2\times \dfrac{\text{e}^{n\text{i}\pi/4}+\text{e}^{-n\text{i}\pi/4}}{2}\\
   &=2\sqrt{2}^n\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right) \quad(*)
   \end{align*}$
   $\dfrac{n\pi}{4}$ va prendre les valeurs $0$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{4}$, $\pi$, $\dfrac{5\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{2}$ et $\dfrac{7\pi}{4}$ à $2\pi$ près.
   Donc
   $\bullet$ si $n$ est de la forme $8k+3$, $8k+4$ ou $8k+5$ alors la forme trigonométrique de $S_n$ est $S_n= 2\sqrt{2}^n\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}-\pi\right)\left(\cos \pi+\text{i}\sin \pi\right)$ où $k\in \mathbb{Z}$
   $\bullet$ si $n$ est de la forme $8k+2$, $8k+6$ alors $S_n=0$ où $k\in \mathbb{Z}$
   $\bullet$ dans les autres cas, la forme trigonométrique de $S_n$ est $S_n=2\sqrt{2}^n\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right) \left(\cos 0+\text{i}\sin 0\right)$ où $k\in \mathbb{Z}$.
   Remarque : La forme $(*)$ n’est pas la forme trigonométrique mais la forme algébrique de $S_n$
   $\quad$
   
   2. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.
      Affirmation A : Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_n$ est un nombre réel.
      Affirmation B : Il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $S_n = 0$.
   Affirmation A vraie
   D’après la réponse précédente $S_n=2\sqrt{2}^n\cos\left(\dfrac{n\pi}{4}\right) \in \mathbb{R}$.
   $\quad$
   Affirmation B vraie
   si $n$ est de la forme $8k+2$, $8k+6$ alors $S_n=0$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
   

Exercice 3 4 points

GéométrieCommun à tous les candidats

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant $t$, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point $S_1(t)$ et le second sous-marin est repéré par le point $S_2(t)$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ dont l'unité est le mètre.
Le plan défini par $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ représente la surface de la mer. La cote $z$ est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

1. On admet que, pour tout réel $t \geqslant 0$, le point $S_1(t)$ a pour coordonnées: \[\left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& \phantom{-}140 - 60t\\ y(t) &=& \phantom{-}105 - 90t\\ z(t) &=& -170 - 30 t \end{array}\right.\]
   1. Donner les coordonnées du sous- marin au début de l'observation.
   2. Quelle est la vitesse du sous-marin ?
   3. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. Déterminer l'angle $\alpha$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal. On donnera l'arrondi de $\alpha$ à $0,1$ degré près.
      
2. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point $S_2(0)$ de coordonnées $(68~;~135~;~- 68)$ et atteint au bout de trois minutes le point $S_2(3)$ de coordonnées $(-202~;~-405~;~ - 248)$ avec une vitesse constante. À quel instant $t$, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Géométrie

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant $t$, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point $S_1(t)$ et le second sous-marin est repéré par le point $S_2(t)$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ dont l'unité est le mètre.
Le plan défini par $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ représente la surface de la mer. La cote $z$ est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

1. On admet que, pour tout réel $t \geqslant 0$, le point $S_1(t)$ a pour coordonnées: \[\left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& \phantom{-}140 - 60t\\ y(t) &=& \phantom{-}105 - 90t\\ z(t) &=& -170 - 30 t \end{array}\right.\]
   1. Donner les coordonnées du sous- marin au début de l'observation.
   Quand $t=0$ alors le sous-marin a pour coordonnées $A(140,105,-170)$.
   $\quad$
   
   2. Quelle est la vitesse du sous-marin ?
   Le vecteur vitesse du sous marin est $\vec{V_1}(-60;-90;-30)$.
   La vitesse du sous-marin est donc $v_1=\sqrt{(-60)^2+(-90)^2+(-30)^2}$ $=\sqrt{12~600}$ $=30\sqrt{14}$.
   $\quad$
   3. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. Déterminer l'angle $\alpha$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal. On donnera l'arrondi de $\alpha$ à $0,1$ degré près.
      
   On considère le point $B(80,15,-200)$ quand $t=1$ et le point $C(80,15,-170)$.
   Le plan $(ABC)$ correspond donc au plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
   On a alors $\vec{AB}(-60;-90;-30)$ et $\vec{AC}(-60;-90;0)$.
   Donc $AB=\sqrt{12~600}$ et $AC=\sqrt{11~700}$
   D’une part $\vec{AB}.\vec{AC}=-60\times (-60)+(-90)\times (-90)+0=11~700$.
   D’autre part $\vec{AB}.\vec{AC}=\sqrt{12~600}\times \sqrt{11~700}\cos \alpha$.
   Ainsi $\cos \alpha =\dfrac{11~700}{\sqrt{12~600}\times \sqrt{11~700}}=\dfrac{\sqrt{11~700}}{\sqrt{12~600}}$
   Par conséquent $\alpha \approx 15,5$°
   $\quad$
2. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point $S_2(0)$ de coordonnées $(68~;~135~;~- 68)$ et atteint au bout de trois minutes le point $S_2(3)$ de coordonnées $(-202~;~-405~;~ - 248)$ avec une vitesse constante. À quel instant $t$, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?
La vitesse du second sous-marin est constante.
Par conséquent le point $S_2(t)$ a pour coordonnées :
$$\begin{cases} x(t)=68+at\\y(t)=135+bt\\z(t)=-68+ct\end{cases}$$
On sait que $S_2(3)$ a pour coordonnées $(-202;-405;-248)$.
Ainsi
$\begin{cases} 68+3a=-202\\135+3b=-405\\-68+3t=-248\end{cases} \iff \begin{cases} a=-90\\b=-180\\c=-60\end{cases}$.
le point $S_2(t)$ a pour coordonnées :
$$\begin{cases} x(t)=68-90t\\y(t)=135-180t\\z(t)=-68-60t\end{cases}$$
$\quad$
Les deux sous-marins sont à la même profondeur quand :
$-170-30t=-68-60t \iff 30t=102 \iff t=3,4$
Les deux sous-marins sont à la même profondeur au bout de $3$ min $24$ s.
$\quad$

Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats

On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l'intervalle $[1~;~5] $par: \[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\] . Pour tout entier $n > 0$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n$ appartenant à $\{1~;~2~;~3~;~4\}$.

1. Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~5] $: \[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\]
2. Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5]. On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum. Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation \[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\]
3. 1. Montrer que, pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~5] $: \[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]
   2. Montrer que pour tout entier $n > 1$ : \[\displaystyle\int_1^5 \dfrac{1}{x^n} \:\text{d}x = \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n - 1}} \right).\]
   3. Pour tout entier $n > 0$, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface sous la courbe $f_n$, c'est-à-dire l'aire du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 1$, $x = 5$, $y = 0$ et la courbe $\mathcal{C}_n$. Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+ \infty$.

Correction Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats
On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l'intervalle $[1~;~5] $par: \[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\] . Pour tout entier $n > 0$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n$ appartenant à $\{1~;~2~;~3~;~4\}$.

1. Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~5] $: \[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\]
Pour entier naturel $n$ non nul, la fonction $f_n$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
$\begin{align*} f’_n(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^n-nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}} \\
&=\dfrac{x^{n-1}-nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}} \\
&=\dfrac{x^{n-1}\left(1-n\ln(x)\right)}{x^{2n}} \\
&=\dfrac{1-n\ln(x)}{x^{n+1}}
\end{align*}$

2. Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5]. On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum. Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation \[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\]
Pour tout entier naturel $n$ non nul, le maximum est atteint quand $f’_n(x)=0$
$\iff 1-n\ln(x)=0$
$\iff \ln(x)=\dfrac{1}{n}$
$\iff x=\text{e}^{1/n}$
L’ordonnée du maximum est alors :
$\begin{align*} f_n\left(\text{e}^{1/n}\right)&=\dfrac{~~\dfrac{1}{n}~~}{\text{e}^{n\times 1/n}} \\
&=\dfrac{~~\dfrac{1}{n}~~}{ \text{e}} \\
&=\dfrac{\ln\left(\text{e}^{1/n}\right)}{\text{e}}
\end{align*}$
Les points $A_n$ appartiennent donc à la courbe $\Gamma$.

3. 1. Montrer que, pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~5] $: \[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]
   La fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
   par conséquent :
   $\begin{align*} 1\leq x\\5 &\iff \ln(1) \leq \ln(x) \leq \ln(5) \\
   &\iff 0 \leq \ln(x) \leq \ln(5) \\
   &\iff 0\leq \dfrac{\ln(x)}{x^n}\leq \dfrac{\ln(5)}{x^n}
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Montrer que pour tout entier $n > 1$ : \[\displaystyle\int_1^5 \dfrac{1}{x^n} \:\text{d}x = \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n - 1}} \right).\]
   $\begin{align*} \displaystyle \int_1^5 \dfrac{1}{x^n}\:\text{d}x &=\int_1^5 x^{-n}\:\text{d}x \\
   &=\left[\dfrac{x^{-n+1}}{-n+1}\right]_1^5 \\
   &=\dfrac{5^{-n+1}-1^{-n+1}}{-n+1} \\
   &=\dfrac{1-5^{-n+1}}{n-1} \\
   &=\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Pour tout entier $n > 0$, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface sous la courbe $f_n$, c'est-à-dire l'aire du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 1$, $x = 5$, $y = 0$ et la courbe $\mathcal{C}_n$. Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+ \infty$.
   Pour tout entier naturel $n$ non nul, la fonction $f_n$ est positive sur l’intervalle $[1;5]$ comme quotient de fonction positive sur cet intervalle.
   Ainsi l’aire cherchée est $I_n=\displaystyle \int_1^5 \dfrac{1}{x^n}\:\text{d}x $.
   Or, d’après la question précédente $I_n=\dfrac{1}{n-1}\left(1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}\right)$
   On a $-1<\dfrac{1}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n-1} = 0$.
   De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n-1}=0$.
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=0$.
   $\quad$

Exercice 5 : 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

• Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$ ;
• Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
• La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement  " la $n^\text{e}$ partie est gagnée "  et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.

1. Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.
3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ : $$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline p_n & 1 & 0,4375 & 0,3906 & 0,4023 & 0,3994 & 0,4001 & 0,3999 \\ \hline \end{array}$$ Quelle conjecture peut -on émettre ?
4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   3. La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.

Correction de l'exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

• Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$ ;
• Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
• La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement  " la $n^\text{e}$ partie est gagnée "  et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.

1. Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
On utilise l'arbre pondéré ci-dessous :

D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_2&=p\left(G_2\right) \\
&=p\left(G_1\cap G_2\right)+p\left(\overline{G_1}\cap G_2\right) \\
&=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{7}{16}
\end{align*}$

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.
On utilise l'arbre pondéré ci-dessous :

’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(G_{n+1}\right) \\
&=p\left(G_n\cap G_{n+1}\right)+p\left(\overline{G_n}\cap G_{n+1}\right) \\
&=\dfrac{1}{4}\times p_n+\dfrac{1}{2}\times \left(1-p_n\right) \\
&=\dfrac{p_n}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{p_n}{2} \\
&=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}
\end{align*}$
$\quad$
3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ : $$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline p_n & 1 & 0,4375 & 0,3906 & 0,4023 & 0,3994 & 0,4001 & 0,3999 \\ \hline \end{array}$$ Quelle conjecture peut -on émettre ?
Il semblerait que la limite de la suite $\left(p_n\right)$ soit $0,4$.

4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}$ soit $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}$.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-\dfrac{2}{5} \\
   &=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5} \\
   &=-\dfrac{1}{4}\left(u_n+\dfrac{2}{5}\right)+\dfrac{1}{10} \\
   &=-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10} \\
   &=-\dfrac{1}{4}u_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   Or $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{2}{5}$.
   $\quad$
   
   3. La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
   On a $-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
   Donc la suite $\left(p_n\right)$ converge vers $\dfrac{2}{5}=0,4$.
   Sur le long terme, la probabilité qu’un joueur gagne une partie est $0,4$.
   $\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On définit la suite de réels $\left(a_n\right)$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} a_0 &= &0\\ a_1 &= &1\\ a_{n+1} &=& a_n + a_{n-1}\: \text{ pour }\: n \geqslant 1. \end{array}\right.\] On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution la variable $A$ contienne le terme $a_n$. $$\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets \ldots \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets \ldots \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} $$ On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} $$
2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$. Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$. Vérifier que $A^5 = \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
3. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[A^n = \begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{pmatrix}.\]
   1. Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit $A^p \times A^q$ et en déduire que \[a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p-1} \times a_q.\]
   2. En déduire que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$.
   3. Soit $p$ un entier naturel non nul. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
4. 1. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 5. Montrer que si $n$ est un entier naturel qui n'est pas premier, alors $a_n$ n'est pas un nombre premier.
   2. On peut calculer $a_{19} = 4181 = 37 \times 113$. Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a. ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On définit la suite de réels $\left(a_n\right)$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} a_0 &= &0\\ a_1 &= &1\\ a_{n+1} &=& a_n + a_{n-1}\: \text{ pour }\: n \geqslant 1. \end{array}\right.\] On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution la variable $A$ contienne le terme $a_n$. $$\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets \ldots \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets \ldots \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} $$ On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} $$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets B \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets C \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} $$ On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} $$
Remarque : la valeur de départ $i=2$ donnée par l’énoncé est fausse. Il faut en effet que la boucle commence à $i=1$ pour que l’algorithme réponde précisément à la question posée. Une autre alternative serait par exemple de faire varier la variable $i$ de $2$ à $n+1$.
$\quad$
2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$. Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$. Vérifier que $A^5 = \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
On a $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$
Donc $A^2=\begin{pmatrix} 1+1&1+0\\1+0&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$
$A^3=\begin{pmatrix}2+1&1+1\\2+0&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$
$A^4=\begin{pmatrix}5+2&2+1\\3+0&2+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}$
$A^5=\begin{pmatrix}5+3&3+2\\5+0&3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
$\quad$
3. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[A^n = \begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{pmatrix}.\]
   1. Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit $A^p \times A^q$ et en déduire que \[a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p-1} \times a_q.\]
   On a $A^p\times A^q=A^{p+q}$
   $A^p=\begin{pmatrix} a_{p+1}&a_p\\a_p&a_{p-1}\end{pmatrix}$
   $A^q=\begin{pmatrix} a_{q+1}&a_p\\a_q&a_{q-1}\end{pmatrix}$
   Dans le produit $A_p\times A_q$ on regarde le terme situé sur la deuxième ligne et la première colonne.
   Ainsi $a_{p+q}=a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$.
   Si $r$ divise $a_p$ et $a_q$ alors :
   $a_p\times a_{q+1} \equiv 0~~[r]$ et $a_{p-1}\times a_q\equiv 0~~[r]$.
   Donc, par somme, $a_{p+q}\equiv 0~~[r]$.
   $r$ divise également $a_{p+q}$.
   $\quad$
   
   3. Soit $p$ un entier naturel non nul. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $a_{np}=a_p$. $a_p$ divise donc $a_{np}$
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ non nul : $a_p$ divise $a_{np}$.
   alors $a_{(n+1)p}=a_{np+p}$
   $a_p$ divise $a_p$ et $a_{np}$ donc, d’après la question précédente, $a_p$ divise également $a_{(n+1)p}$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
   $\quad$
4. 1. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 5. Montrer que si $n$ est un entier naturel qui n'est pas premier, alors $a_n$ n'est pas un nombre premier.
   Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $5$ qui n’est pas premier alors il existe deux entiers naturels non nul $p$ et $q$ tels que $n=pq$.
   Ainsi d’après la question précédente $a_p$ divise $a_{pq}=a_n$.
   Par conséquent $a_n$ n’est pas un nombre premier.
   $\quad$
   
   2. On peut calculer $a_{19} = 4181 = 37 \times 113$. Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a. ?
   La réciproque de la propriété obtenue à la question 4.a. est “Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $5$. Si $a_n$ n’est pas un nombre premier alors $n$ n’est pas un nombre premier.
   Or $a_{19}$ n’est pas un nombre premier alors que $19$ l’est.
   La réciproque est donc fausse.
   $\quad$

Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel. Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant. Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minute. À l'instant $t = 0$, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant $20$ minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO$_2$ contenu dans le local au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression $f(t)$, où $f$ est la fonction définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~20]$ par : \[f(t) = (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03.\] On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~20]$. Ainsi, la valeur $f(0) = 0,23$ traduit le fait que le taux de CO$_2$ à l'instant $0$ est égal à 23 %.
 

1. Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
   1. Calculer $f (20)$.
   2. Déterminer le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local pendant l'expérience.
2. On souhaite que le taux de CO$_2$ dans le local retrouve une valeur $V$ inférieure ou égale à $3,5$ %.
   1. Justifier qu'il existe un unique instant $T$ satisfaisant cette condition.
   2. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array} {|l |}\hline t \gets 1,75 \\ p \gets 0,1 \\ V \gets 0,7 \\ \text{Tant que } V > 0,035 \\ \hspace{0.75cm} t \gets t + p \\ \hspace{0.75cm} V \gets (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03 \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array} $$ Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l'algorithme ? Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
3. On désigne par $V_m$ le taux moyen ( en pourcentage) de CO$_2$ présent dans le local pendant les Il premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
   1. Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~11]$ par : \[F(t) = (-1,6t -3,6)\text{e}^{-0,5t} +0,03t.\] Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~11]$.
   2. En déduire le taux moyen $V_m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~11]$. Arrondir le résultat au millième, soit à $0,1$ %.

Correction de l'exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel. Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant. Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minute. À l'instant $t = 0$, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant $20$ minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO$_2$ contenu dans le local au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression $f(t)$, où $f$ est la fonction définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~20]$ par : \[f(t) = (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03.\] On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~20]$. Ainsi, la valeur $f(0) = 0,23$ traduit le fait que le taux de CO$_2$ à l'instant $0$ est égal à 23 %.
 

1. Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
   1. Calculer $f (20)$.
   $f(20)=(16+0,2)\text{e}^{-10}+0,03=16,2\text{e}^{-10}+0,03 \approx 0,031$
   $\quad$
   
   2. Déterminer le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local pendant l'expérience.
   La fonction $f$ admet, d’après le tableau de variation un maximum pour $t=1,75$.
   $f(1,75)=1,6\text{e}^{-0,875}+0,03\approx 0,697$.
   Le taux maximal de CO$_2$ est donc d’environ $69,7\%$.
2. On souhaite que le taux de CO$_2$ dans le local retrouve une valeur $V$ inférieure ou égale à $3,5$ %.
   1. Justifier qu'il existe un unique instant $T$ satisfaisant cette condition.
   Sur l’intervalle $[0;1,75]$ la fonction $f$ est strictement croissante. On a donc $f(t) \geqslant 0,23 > 0,035$.
   L’équation $f(x)=0,035$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[1,75;20]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
   De plus $f(1,75)\approx 0,697 > 0,035$ et $f(20)\approx 0,031<0,035$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0,035$ possède une unique solution $T$ sur l’intervalle $[1,75;20]$.
   Par conséquent, l’équation $f(t)=0,035$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;20]$.
   $\quad$
   
   2. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array} {|l |}\hline t \gets 1,75 \\ p \gets 0,1 \\ V \gets 0,7 \\ \text{Tant que } V > 0,035 \\ \hspace{0.75cm} t \gets t + p \\ \hspace{0.75cm} V \gets (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03 \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array} $$ Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l'algorithme ? Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
   À l’aide de la calculatrice on trouve que la variable $t$ à la fin de l’algorithme vaut $15,75$.
   Cela signifie qu’il faut attendre $15$ minutes et $45$ secondes pour obtenir un taux de CO$_2$ inférieur ou égal à $3,5\%$.
   $\quad$
3. On désigne par $V_m$ le taux moyen ( en pourcentage) de CO$_2$ présent dans le local pendant les Il premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
   1. Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~11]$ par : \[F(t) = (-1,6t -3,6)\text{e}^{-0,5t} +0,03t.\] Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~11]$.
   La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;11]$ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;11]$ on a :
   $\begin{align*} F'(t)&=-1,6\text{e}^{-0,5t}-0,5(-1,6t-3,6)\text{e}^{-0,5t}+0,03 \\
   &=(-1,6+0,8t+1,8)\text{e}^{-0,5t}+0,03\\
   &=(0,8t+0,2)\text{e}^{-0,5t}+0,03\\
   &=f(t)
   \end{align*}$
   La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f $sur l’intervalle $[0;11]$.
   $\quad$
   
   2. En déduire le taux moyen $V_m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~11]$. Arrondir le résultat au millième, soit à $0,1$ %.
   On a :
   $\begin{align*} V_m&=\dfrac{1}{11-0}\displaystyle \int_0^{11} f(t)\;\text{d} t \\
   &=\dfrac{1}{11}\left[F(11)-F(0)\right] \\
   &=\dfrac{-21,2\text{e}^{-5,5}+0,33+3,6}{11}\\
   &=\dfrac{-21,2\text{e}^{-5,5}+3,93}{11}\\
   &\approx 0,349
   \end{align*}$
   Le taux moyen $V_m$ est  donc envion égal à $34,9\%$.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. Un type d'oscilloscope a une durée de vie, exprimée en année, qui peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que la durée de vie moyenne de ce type d'oscilloscope est de $8$ ans.
   Affirmation 1 : pour un oscilloscope de ce type choisi au hasard et ayant déjà fonctionné $3$ ans, la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $10$ ans, arrondie au centième, est égale à $0,42$.
   On rappelle que si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a pour tout réel $t$ positif : $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
2. En 2016, en France, les forces de l'ordre ont réalisé $9,8$ millions de dépistages d'alcoolémie auprès des automobilistes, et 3,1 % de ces dépistages étaient positifs.
   Source : OFDT (Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies)
   Dans une région donnée, le 15 juin 2016, une brigade de gendarmerie a effectué un dépistage sur $200$ automobilistes.
   Affirmation 2 : en arrondissant au centième, la probabilité que, sur les $200$ dépistages, il y ait eu strictement plus de $5$ dépistages positifs, est égale à $0,59$.
3. On considère dans $\mathbb R$ l'équation : \[\ln (6 x - 2) + \ln (2x - 1) = \ln (x).\]
   Affirmation 3 : l'équation admet deux solutions dans l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.
4. On considère dans $\mathbb C$ l'équation : \[\left(4z^2 - 20z + 37\right)(2z -7 + 2\text{i}) = 0.\]
   Affirmation 4 : les solutions de l'équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point P d'affixe $2$.

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. Un type d'oscilloscope a une durée de vie, exprimée en année, qui peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que la durée de vie moyenne de ce type d'oscilloscope est de $8$ ans.
   Affirmation 1 : pour un oscilloscope de ce type choisi au hasard et ayant déjà fonctionné $3$ ans, la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $10$ ans, arrondie au centième, est égale à $0,42$.
   On rappelle que si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a pour tout réel $t$ positif : $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
On a $E(D)=\dfrac{1}{\lambda}=8$ donc $\lambda=\dfrac{1}{8}$.

La loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement. Donc :

$\begin{align*} P_{D\geqslant 3}(D\geqslant 10)&=P_{D\geqslant 3}(D\geqslant 7+3) \\ &=P(D \geqslant 7) \\ &=1-P(X\leqslant 7) \\ &=\text{e}^{-7/8} \\ &\approx 0,42 \end{align*}$

L’affirmation 1 est vraie.

1. En 2016, en France, les forces de l'ordre ont réalisé $9,8$ millions de dépistages d'alcoolémie auprès des automobilistes, et 3,1 % de ces dépistages étaient positifs.
   Source : OFDT (Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies)
   Dans une région donnée, le 15 juin 2016, une brigade de gendarmerie a effectué un dépistage sur $200$ automobilistes.
   Affirmation 2 : en arrondissant au centième, la probabilité que, sur les $200$ dépistages, il y ait eu strictement plus de $5$ dépistages positifs, est égale à $0,59$.
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de dépistages positifs.

On effectue $200$ tirages indépendants, aléatoires et identiques.

Chaque tirage possède $2$ issues : “le test est positif” dont la probabilité est $0,031$ et “le test est négatif”.

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,031$.

D’après la calculatrice on a :

$P(X> 5) = 1-P(X \leqslant 5) \approx 0,59$

L’affirmation 2 est vraie.

$\quad$
1. On considère dans $\mathbb R$ l'équation : \[\ln (6 x - 2) + \ln (2x - 1) = \ln (x).\]
   Affirmation 3 : l'équation admet deux solutions dans l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.
$\ln(6x-2)$ existe si, et seulement si, $6x-2 > 0 \iff 6x > 2 \iff x > \dfrac{1}{3}$

$\ln(2x-1)$ existe si, et seulement si, $2x-1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2}$

$\ln(x)$ existe si, et seulement si, $x>0$.

On ne peut donc résoudre l’équation que sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

Sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$,

$\begin{align*} \ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)&\iff \ln \left[(6x-2)(2x-1)\right]=\ln(x) \\ &\iff (6x-2)(2x-1)=x \\ &\iff 12x^2-6x-4x+2=x \\ &\iff 12x^2-11x+2=0 \end{align*}$

Pour résoudre $12x^2-11x+2=0$, on calcule $\Delta=(-11)^2-4\times 12\times 2=25>0$.

Les solutions dans $\mathbb R$ de $12x^2-11x+2=0$ sont donc :

$x_1=\dfrac{11-\sqrt{25}}{24}=\dfrac{1}{4}$ et $x_2=\dfrac{11+\sqrt{25}}{24}=\dfrac{2}{3}$

Or $\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2}{3}>\dfrac{1}{2}$

L’équation $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$ n’admet qu’une seule solution $\dfrac{2}{3}$
  dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

 

$\quad$
1. On considère dans $\mathbb C$ l'équation : \[\left(4z^2 - 20z + 37\right)(2z -7 + 2\text{i}) = 0.\]
   Affirmation 4 : les solutions de l'équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point P d'affixe $2$.
$\left(4z^2-20z+37\right)\left(2z-7+2\text{i}\right)=0 \iff \begin{cases} 4z^2-20z+37=0\\2z-7+2\text{i}=0 \end{cases}$.

 

Or $2z-7+2\text{i}=0 \iff 2z=7-2\text{i} \iff z=\dfrac{7-2\text{i}}{2}$

 

On appelle $A$ le point d’affixe $\dfrac{7-2\text{i}}{2}$.

 

Ainsi $AP=\left|\dfrac{7-2\text{i}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{3}{2}-\text{i}\right|=\sqrt{3,25}$.

 

$\quad$

 

On considère maintenant l’équation $4z^2-20z+37=0$.

 

$\Delta=(-20)^2-4\times 4\times 37=-192<0$

 

L’équation possède donc deux solutions complexes :

 

$z_1=\dfrac{20-\sqrt{192}\text{i}}{8}=\dfrac{5-2\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{5+2\text{i}\sqrt{3}}{2}$.

 

On appelle $B$ le point d’affixe $\dfrac{5-2\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $C$ le point d’affixe $\dfrac{5+2\text{i}\sqrt{3}}{2}$.

 

Ainsi $BP=\left|\dfrac{5-2\text{i}\sqrt{3}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{1}{2}-\text{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{3,25}$.

 

De même $CP=\left|\dfrac{5+2\text{i}\sqrt{3}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{1}{2}+\text{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{3,25}$.

 

Ainsi $AP=BP=CP$.

 

Les trois points appartiennent au cercle de centre $P$ d’affixe $2$ et de rayon $\sqrt{3,25}$.

 

$\quad$

 

---

Exercice 3 5 points


Probabilités et suites


Les parties A et B sont indépendantes .
Un détaillant en fruits et légumes étudie l'évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes.

Partie A


Le détaillant constate que ses melons se vendent bien lorsque leur masse est comprise entre $900$ g et 1200 g. Dans la suite, de tels melons sont qualifiés « conformes ». Le détaillant achète ses melons auprès de trois maraîchers, notés respectivement A, B et C. Pour les melons du maraîcher A, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire $M_{\text{A}}$ qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $[850~;~x]$, où $x$ est un nombre réel supérieur à 1200 . La masse en gramme des melons du maraîcher B est modélisée par une variable aléatoire $M_{\text{B}}$ qui suit une loi normale de moyenne 1050 et d'écart-type inconnu $\sigma$. Le maraîcher C affirme, quant à lui, que 80 % des melons de sa production sont conformes.

1. Le détaillant constate que 75 % des melons du maraîcher A sont conformes. Déterminer $x$.
2. Il constate que 85 % des melons fournis par le maraîcher B sont conformes. Déterminer l'écart-type $\sigma$ de la variable aléatoire $M_{\text{B}}$. En donner la valeur arrondie à l'unité.
3. Le détaillant doute de l'affirmation du maraîcher C. Il constate que sur $400$ melons livrés par ce maraîcher au cours d'une semaine, seulement $294$ sont conformes. Le détaillant a-t-il raison de douter de l'affirmation du maraîcher C ?

 

Partie B


Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que:

• parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90 % d'entre eux achètent un melon la semaine suivante;
• parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, 60 % d'entre eux n'achètent pas de melon la semaine suivante.


On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on note $A_n$ l'évènement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ». On a ainsi $p\left(A_1\right) = 1$.

1. 1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.
   2. Démontrer que $p\left(A_3\right) = 0,85$.
   3. Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ? Arrondir au centième.


Dans la suite, on pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n = P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1 = 1$.

1. Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.
   2. Démontrer que la suite (p n) est décroissante.
   3. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente ?
3. On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n - 0,8$.
   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$, $p_n = 0,8 + 0,2 \times 0,5^{n-1}$.
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.

---

Correction de l'exercice 3 (7 points)


Commun à tous les candidats


Probabilités et suites


Les parties A et B sont indépendantes .
Un détaillant en fruits et légumes étudie l'évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes.

Partie A


Le détaillant constate que ses melons se vendent bien lorsque leur masse est comprise entre $900$ g et 1200 g. Dans la suite, de tels melons sont qualifiés « conformes ». Le détaillant achète ses melons auprès de trois maraîchers, notés respectivement A, B et C. Pour les melons du maraîcher A, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire $M_{\text{A}}$ qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $[850~;~x]$, où $x$ est un nombre réel supérieur à 1200 . La masse en gramme des melons du maraîcher B est modélisée par une variable aléatoire $M_{\text{B}}$ qui suit une loi normale de moyenne 1050 et d'écart-type inconnu $\sigma$. Le maraîcher C affirme, quant à lui, que 80 % des melons de sa production sont conformes.

1. Le détaillant constate que 75 % des melons du maraîcher A sont conformes. Déterminer $x$.
$M_A$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[850;x]$.
Ainsi $P\left(900\leqslant M_A\leqslant 1~200\right)=\dfrac{1~200-900}{x-850}=\dfrac{300}{x-850}$
Par conséquent
$\begin{align*} \dfrac{300}{x-850}&=0,75 &\iff 300=0,75x-637,5 \\
&\iff 937,5=0,75x \\
&\iff x = 1250
\end{align*}$
$\quad$
2. Il constate que 85 % des melons fournis par le maraîcher B sont conformes. Déterminer l'écart-type $\sigma$ de la variable aléatoire $M_{\text{B}}$. En donner la valeur arrondie à l'unité.
La variable aléatoire $X=\dfrac{M_B-1~050}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} P\left(900\leqslant M_B\leqslant 1200\right)=0,85 &\iff P\left(-150\leqslant M_B-1~050 \leqslant 150\right)=0,85 \\
&\iff P\left(-\dfrac{150}{\sigma} \leqslant \dfrac{M_B-1~050}{\sigma} \leqslant \dfrac{150}{\sigma}\right) =0,85 \\
&\iff  P\left(-\dfrac{150}{\sigma} \leqslant X \leqslant \dfrac{150}{\sigma}\right) =0,85 \\
&\iff 2P\left(X \leqslant \dfrac{150}{\sigma}\right)-1=0,85 \\
&\iff 2P\left(X \leqslant \dfrac{150}{\sigma}\right)=1,85 \\
&\iff  P\left(X \leqslant \dfrac{150}{\sigma}\right)=0,925
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{150}{\sigma} \approx 1,440$.
Par conséquent $\sigma \approx 104$.
$\quad$
3. Le détaillant doute de l'affirmation du maraîcher C. Il constate que sur $400$ melons livrés par ce maraîcher au cours d'une semaine, seulement $294$ sont conformes. Le détaillant a-t-il raison de douter de l'affirmation du maraîcher C ?
On a $n=400$ et $p=0,8$.
Donc $n\geqslant 30$, $np=320\geqslant 5$ et $n(1-p)=80\geqslant 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de melons conformes est donc :
$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{400}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{400}}\right] \\
&=[0,760~8;0,839~2]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{294}{400}=0,735 \notin I_{400}$.
Au risque d’erreur de $5\%$, le détaillant a raison de douter de l’affirmation du maraîcher C.
$\quad$

 

Partie B


Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que:

• parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90 % d'entre eux achètent un melon la semaine suivante;
• parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, 60 % d'entre eux n'achètent pas de melon la semaine suivante.


On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on note $A_n$ l'évènement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ». On a ainsi $p\left(A_1\right) = 1$.

1. 1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.
   
   
   2. Démontrer que $p\left(A_3\right) = 0,85$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\overline{A_2}\cap A_3\right) \\
   &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
   &=0,81+0,04 \\
   &=0,85
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ? Arrondir au centième.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
   &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
   &=\dfrac{81}{85} \\
   &\approx 0,95
   \end{align*}$


Dans la suite, on pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n = P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1 = 1$.

1. Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :

D’après la formule des probabilités totales, on a :
$\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\overline{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
&=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
&=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
$\quad$
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.
   Initialisation : si $n=1$ alors $p_1=1 > 0,8$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $p_n > 0,8$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $p_{n+1}> 0,8$.
   $\begin{align*} p_n> 0,8&\iff 0,5p_n > 0,4 \\
   &\iff 0,5p_n+0,4> 0,8 \\
   &\iff p_{n+1} > 0,8
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n> 0,8$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que la suite (p n) est décroissante.
   Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
   &=-0,5p_n+0,4 \\
   &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
   \end{align*}$
   On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \iff 0,8-p_n<0$.
   Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
   La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
   
   3. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente ?
   La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par $0,8$. Elle est donc convergente.
3. On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n - 0,8$.
   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
   Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \iff p_n=v_n+0,8$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
   &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
   &=0,5p_n-0,4 \\
   &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
   &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
   &=0,5p_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
   $\quad$
   
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$, $p_n = 0,8 + 0,2 \times 0,5^{n-1}$.
   Par conséquent, pour tout entier $n\geqslant 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
   Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
   n a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
   Et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.

---

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les trois points I, J, K sont définis par les conditions suivantes :

• I est le milieu du segment [AD] ;
• J est tel que $\vec {\text{AJ}} = \dfrac{3}{4} \vec {\text{AE}}$ ;
• K est le milieu du segment [FG].



Partie A

 

1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.
2. En déduire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

 

Partie B


On se place désormais dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

1. 1. Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.
   2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\vec {n} (4~;~a~;~b)$ soit orthogonal aux vecteurs $\vec {\text{IJ}}$ et $\vec {\text{IK}}$.
   3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : $4x - 6y - 4z + 3 = 0$.
2. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).
   2. Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).
   3. Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).

 

Partie C


On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l'unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK). On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que $\left\{\begin{array}{l} 0 < x < 1\\ 0 < y < 1\\ 0 < z < 1 \end{array}\right.$ Le point R est-il à l'intérieur du cube ?

Annexe



 

---

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les trois points I, J, K sont définis par les conditions suivantes :

• I est le milieu du segment [AD] ;
• J est tel que $\vec {\text{AJ}} = \dfrac{3}{4} \vec {\text{AE}}$ ;
• K est le milieu du segment [FG].



Partie A

 

1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite (EH). On laissera les traits de construction sur la figure.
Le point $P$ est l’intersection de la droite $(IJ)$ avec la droite $(EH)$.
$\quad$
2. En déduire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).
Les points $K$ et $P$ appartiennent aux plans $(IJK)$ et $(EFG)$.
La droite $(KP)$ est donc incluses dans les deux plans.
C’est par conséquent l’intersection de ces deux plans.
$\quad$

 

Partie B


On se place désormais dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

1. 1. Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.
   Le point $I$ est le milieu du segment $[AD]$.
   Par conséquent le point $I$ a pour coordonnées $(0;0,5;0)$.
   On a $\vec{AJ}=\dfrac{3}{4}\vec{AE}$.
   Le point $J$ a donc pour coordonnées $(0;0;0,75)$.
   $K$ est le milieu du segment $[FG]$.
   Par conséquent le point $K$ a pour coordonnées $(1;0,5;1)$
   $\quad$
   
   2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\vec {n} (4~;~a~;~b)$ soit orthogonal aux vecteurs $\vec {\text{IJ}}$ et $\vec {\text{IK}}$.
   On a $\vec{IJ}(0;-0,5;0,75)$ et $\vec{IK}(1;0;1)$.
   $\vec{n}$ orthogonal aux vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$
   $\iff \vec{n}.\vec{IJ}=0$ et $\vec{n}.\vec{IK}=0$
   $\iff \begin{cases} -0,5a+0,75b=0 \\4+b=0 \end{cases}$
   $\iff \begin{cases} b=-4\\-0,5a-0,75\times 4=0 \end{cases} $
   $\iff \begin{cases} b=-4\\a=-6\end{cases}$
   Ainsi le vecteur $\vec{n}$ a pour coordonnées $(4;-6;-4)$.
   $\quad$
   
   3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : $4x - 6y - 4z + 3 = 0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$ (les coordonnées nulles ne sont pas les mêmes).
   Ainsi une équation du plan $(IJK)$ est de la forme $4x-6y-4z+d=0$.
   Le point $I(0;0,5;0)$ appartient à ce plan donc :
   $0-3-0+d=0 \iff d=3$.
   Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc $4x-6y-4z+3=0$.$\quad$
2. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).
   Un vecteur directeur de la droite $(CG)$ est $\vec{CG}(0;0;1)$.
   De plus le point $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(CG)$ est donc $\begin{cases} x=1 \\y=1\\z=t\end{cases} \quad, t \in \mathbb R$.
   $\quad$
   
   2. Calculer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJK) et de la droite (CG).
   Les coordonnées du point $N$ sont solutions du système suivant :
   $\begin{align*} \begin{cases}x=1\\y=1\\z=t\\4x-6y-4z+3=0 \end{cases} &\iff \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\4-6-4t+3=0\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\1-4t=0\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\t=0,25\end{cases}
   \end{align*}$
   Ainsi le point $N$ a pour coordonnées $(1;1;0,25)$.
   $\quad$
   
   3. Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).
   

 

Partie C

 

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l'unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK). On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que $\left\{\begin{array}{l} 0 < x < 1\\ 0 < y < 1\\ 0 < z < 1 \end{array}\right.$ Le point R est-il à l'intérieur du cube ?

La droite $(FR)$ est orthogonale au plan $(IJK)$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite. Le point $F(1;0;1)$ appartient à cette droite.
Une représentation paramétrique de la droite $(FR)$ est ainsi $\begin{cases} x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\end{cases}, k\in \mathbb R$.
Les coordonnées du point $R$ sont solutions du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\4x-6y-4z+3=0\end{cases}&\iff \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\4+16k+36k-4+16k+3=0\end{cases} \\
&\iff  \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\68k+3=0\end{cases} \\
&\iff  \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\k=-\dfrac{3}{68}\end{cases} \\
&\iff  \begin{cases}x=\dfrac{14}{17}\\y=\dfrac{9}{34}\\z=\dfrac{20}{17}\\k=-\dfrac{3}{68}\end{cases}
\end{align*}$
On a donc $z_R>1$.
Le point $R$ n’est pas à l’intérieur du cube.
$\quad$

---

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le but de cet exercice est d'envisager une méthode de cryptage à clé publique d'une information numérique, appelée système RSA, en l'honneur des mathématiciens Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman, qui ont inventé cette méthode de cryptage en 1977 et l'ont publiée en 1978.
Les questions 1 et 2 sont des questions préparatoires, la question 3 aborde le cryptage, la question 4 le décryptage.

1. Cette question envisage de calculer le reste dans la division euclidienne par $55$ de certaines puissances de l'entier $8$.
   1. Vérifier que $8^7 \equiv 2 \mod 55$. En déduire le reste dans la division euclidienne par $55$ du nombre $8^{21}$.
   2. Vérifier que $8^2 \equiv 9 \mod 55$, puis déduire de la question a. le reste dans la division euclidienne par $55$ de $8^{23}$.
2. Dans cette question, on considère l'équation $(E)$ : $23 x - 40 y = 1$, dont les solutions sont des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs.
   1. Justifier le fait que l'équation $(E)$ admet au moins un couple solution.
   2. Donner un couple, solution particulière de l'équation $(E)$.
   3. Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation $(E)$.
   4. En déduire qu'il existe un unique entier $d$ vérifiant les conditions $0 \leqslant d < 40$ et $23 d \equiv 1 \mod 40$.
3. Cryptage dans le système RSA Une personne A choisit deux nombres premiers $p$ et $q$, puis calcule les produits $N = p q$ et $n = (p - 1)(q - 1)$. Elle choisit également un entier naturel $c$ premier avec $n$. La personne A publie le couple $(N~;~c)$, qui est une clé publique permettant à quiconque de lui envoyer un nombre crypté. Les messages sont numérisés et transformés en une suite d'entiers compris entre $0$ et $N -1$. Pour crypter un entier $a$ de cette suite, on procède ainsi : on calcule le reste $b$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $a^c$, et le nombre crypté est l'entier $b$.
   Dans la pratique, cette méthode est sûre si la personne A choisit des nombres premiers $p$ et $q$ très grands, s'écrivant avec plusieurs dizaines de chiffres. On va l'envisager ici avec des nombres plus simples : $p = 5$ et $q = 11$. La personne A choisit également $c = 23$.
   1. Calculer les nombres $N$ et $n$, puis justifier que la valeur de $c$ vérifie la condition voulue.
   2. Un émetteur souhaite envoyer à la personne A le nombre $a = 8$. Déterminer la valeur du nombre crypté $b$.
4. Décryptage dans le système RSA La personne A calcule dans un premier temps l'unique entier naturel $d$ vérifiant les conditions $0 \leqslant d < n$ et $cd \equiv 1 \mod n$. Elle garde secret ce nombre $d$ qui lui permet, et à elle seule, de décrypter les nombres qui lui ont été envoyés cryptés avec sa clé publique. Pour décrypter un nombre crypté $b$, la personne A calcule le reste $a$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $bd$, et le nombre en clair , c'est-à-dire le nombre avant cryptage, est le nombre $a$. On admet l'existence et l'unicité de l'entier $d$, et le fait que le décryptage fonctionne. Les nombres choisis par A sont encore $p = 5$, $q = 11$ et $c = 23$.
   1. Quelle est la valeur de $d$ ?
   2. En appliquant la règle de décryptage, retrouver le nombre en clair lorsque le nombre crypté est $b = 17$.

 

---

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le but de cet exercice est d'envisager une méthode de cryptage à clé publique d'une information numérique, appelée système RSA, en l'honneur des mathématiciens Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman, qui ont inventé cette méthode de cryptage en 1977 et l'ont publiée en 1978.
Les questions 1 et 2 sont des questions préparatoires, la question 3 aborde le cryptage, la question 4 le décryptage.

1. Cette question envisage de calculer le reste dans la division euclidienne par $55$ de certaines puissances de l'entier $8$.
   1. Vérifier que $8^7 \equiv 2 \mod 55$. En déduire le reste dans la division euclidienne par $55$ du nombre $8^{21}$.
   $8^2=64 \equiv 9 $ mod $55$.
   Ainsi $8^6=\left(8^2\right)^3 \equiv 9^3 \equiv 729\equiv 14$ mod $55$.
   Par conséquent $8^7=8\times 8^6\equiv 8\times 14\equiv 112\equiv 2$ mod $55$.
   $\quad$
   $8^{21}=\left(8^7\right)^3 \equiv 2^3 \equiv 8$ mod $55$.
   $\quad$
    
   2. Vérifier que $8^2 \equiv 9 \mod 55$, puis déduire de la question a. le reste dans la division euclidienne par $55$ de $8^{23}$.
   $8^2=64 \equiv 9 $ mod $55$.
   $\quad$
   $8^{23}=8^{21}\times 8^2 \equiv 8\times 9 \equiv 72 \equiv 17$ mod $55$.
2. Dans cette question, on considère l'équation $(E)$ : $23 x - 40 y = 1$, dont les solutions sont des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs.
   1. Justifier le fait que l'équation $(E)$ admet au moins un couple solution.
   $23$ et $40$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, l’équation $23x-40y=1$ possède un couple de solution $(x,y)$ avec $x$ et $y$ entiers relatifs.
   $\quad$
   b. Le couple $(7,4)$ est solution de l’équation $(E)$.
   En effet $7\times 23-4\times 40=161-160=1$.
   $\quad$
   
   2. Donner un couple, solution particulière de l'équation $(E)$.
   Le couple $(7,4)$ est solution de l’équation $(E)$.
   En effet $7\times 23-4\times 40=161-160=1$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation $(E)$.
   Soit $(x,y)$ un couple solution.
   On a donc $7\times 23-4\times 40=1$ et $23x-40y=1$.
   Par différence, on obtient $23(7-x)-40(4-y)=0$.
   Soit $23(7-x)=40(4-y)$.
   Les nombres $23$ et $40$ sont premiers entre-eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $7-x=40k$ et $4-y=23k$.
   Soit $x=7-40k$ et $y=4-23k$.
   $\quad$
   Donc si $(x,y)$ est un couple solution alors $x=7-40k$ et $y=4-23k$.
   Réciproquement, soit $k$ un entier relatif. Vérifions que le couple $(7-40k,4-23k)$ est solution de l’équation $(E)$.
   $23(7-40k)-40(4-23k)=161-920k-160+920k=1$.
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(7-40k,4-23k)$ pour tout entier relatif $k$.
   $\quad$
   
   4. En déduire qu'il existe un unique entier $d$ vérifiant les conditions $0 \leqslant d < 40$ et $23 d \equiv 1 \mod 40$.
   $23x-40y=1 \iff 23x=1+40y$.
   D’après la question précédente les solutions de l’équation $23d \equiv 1$ mod $40$ sont de la forme $7-40k$ avec $k\in \mathbb Z$.
   On veut que $0 \leqslant 7-40k<40 \iff -7\leqslant -40k <33 \iff \dfrac{7}{40} \geqslant k >- \dfrac{33}{40}$ avec $k\in \mathbb Z$.
   La seule solution est donc pour $k=0$.
   Le seule entier $d$ vérifiant les conditions $0\leqslant d>40$ et $23d\equiv 1$ mod $40$ est donc $7$.
   $\quad$
3. Cryptage dans le système RSA Une personne A choisit deux nombres premiers $p$ et $q$, puis calcule les produits $N = p q$ et $n = (p - 1)(q - 1)$. Elle choisit également un entier naturel $c$ premier avec $n$. La personne A publie le couple $(N~;~c)$, qui est une clé publique permettant à quiconque de lui envoyer un nombre crypté. Les messages sont numérisés et transformés en une suite d'entiers compris entre $0$ et $N -1$. Pour crypter un entier $a$ de cette suite, on procède ainsi : on calcule le reste $b$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $a^c$, et le nombre crypté est l'entier $b$.
   Dans la pratique, cette méthode est sûre si la personne A choisit des nombres premiers $p$ et $q$ très grands, s'écrivant avec plusieurs dizaines de chiffres. On va l'envisager ici avec des nombres plus simples : $p = 5$ et $q = 11$. La personne A choisit également $c = 23$.
   1. Calculer les nombres $N$ et $n$, puis justifier que la valeur de $c$ vérifie la condition voulue.
   On a $N=pq=55$ et $n=(p-1)(q-1)=40$.
   On a $40=2^3\times 5$ et $23$ est un nombre premier.
   Par conséquent $40$ et $23$ sont premiers entre-eux.
   $\quad$
   
   2. Un émetteur souhaite envoyer à la personne A le nombre $a = 8$. Déterminer la valeur du nombre crypté $b$.
   $a^c=8^{23}\equiv 17$ mod $55$ d’après la question 1.b.
   Par conséquent $b=17$.
   $\quad$
4. Décryptage dans le système RSA La personne A calcule dans un premier temps l'unique entier naturel $d$ vérifiant les conditions $0 \leqslant d < n$ et $cd \equiv 1 \mod n$. Elle garde secret ce nombre $d$ qui lui permet, et à elle seule, de décrypter les nombres qui lui ont été envoyés cryptés avec sa clé publique. Pour décrypter un nombre crypté $b$, la personne A calcule le reste $a$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $bd$, et le nombre en clair , c'est-à-dire le nombre avant cryptage, est le nombre $a$. On admet l'existence et l'unicité de l'entier $d$, et le fait que le décryptage fonctionne. Les nombres choisis par A sont encore $p = 5$, $q = 11$ et $c = 23$.
   1. Quelle est la valeur de $d$ ?
   D’après la question 2.d. on a $d=7$.
   $\quad$
   
   2. En appliquant la règle de décryptage, retrouver le nombre en clair lorsque le nombre crypté est $b = 17$.
   $b^d=17^7=410~338~673=55\times 7~460~703+8$
   Donc $b^d \equiv 8$ mod $55$.
   On retrouve bien le nombre en clair de la question 3.
   $\quad$

 

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

On étudie certaines caractéristiques d'un supermarché d'une petite ville.

Partie A - Démonstration préliminaire

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$. On rappelle que l'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est égale à: \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\int_{0}^{x} 0,2t\text{e}^{-0,2t}\:\text{d}t.\] Le but de cette partie est de démontrer que $E(X) = 5$.

1. On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $g(t) = 0,2t\text{e}^{-0,2t}$. On définit la fonction $G$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $G(t) = (- t - 5)\text{e}^{-0,2t}$. Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
2. En déduire que la valeur exacte de $E(X)$ est 5.
   Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \text{e}^{- 0,2x} = 0.\]

Partie B - Étude de la durée de présence d'un client dans le supermarché

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d'espérance $40$ minutes et d'écart type un réel positif noté $\sigma$. Grâce à cette étude, on estime que $P(T < 10) = 0,067$.

1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
2. Dans cette question, on prend $\sigma = 20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché ?

Partie C - Durée d'attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d'utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

1. La durée d'attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$ min$^{-1}$.
   1. Donner la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement.
   2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes.
2. L'étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante:
   • parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, 86 % attendent moins de $10$ minutes ;
   • parmi les clients passant en caisse, 63 % attendent moins de $10$ minutes.
   
   On choisit un client du magasin au hasard et on définit les évènements suivants :
   $B$ : « le client paye à une borne automatique » ;
   $\overline{B}$ : « le client paye à une caisse avec opérateur » ;
   $S$ : « la durée d'attente du client lors du paiement est inférieure à $10$ minutes ».
   Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de 75 % des clients attendent moins de $10$ minutes. Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?

Partie D - Bons d'achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de $10$ € d'achats. Par exemple, si le montant des achats est 58,64 €, alors le client obtient $5$ cartes ; si le montant est 124,31 €, le client obtient $12$ cartes. Les cartes gagnantes représentent $0,5$ % de l'ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.

1. Un client effectue des achats pour un montant de 158,02 €. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'il obtienne au moins une carte gagnante ?
2. À partir de quel montant d'achats, arrondi à 10 €, la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à 50 % ?

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

On étudie certaines caractéristiques d'un supermarché d'une petite ville.

Partie A - Démonstration préliminaire

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$. On rappelle que l'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est égale à: \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\int_{0}^{x} 0,2t\text{e}^{-0,2t}\:\text{d}t.\] Le but de cette partie est de démontrer que $E(X) = 5$.

1. On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $g(t) = 0,2t\text{e}^{-0,2t}$. On définit la fonction $G$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $G(t) = (- t - 5)\text{e}^{-0,2t}$. Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} G'(t)&=-\text{e}^{-0,2t}-0,2(-t-5)\text{e}^{-0,2t} \\
&=(-1+0,2t+1)\text{e}^{-0,2t} \\
&=0,2t\text{e}^{-0,2t} \\
&=g(t)
\end{align*}$
La fonction $G$ est bien une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
2. En déduire que la valeur exacte de $E(X)$ est 5.
   Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \text{e}^{- 0,2x} = 0.\]
On a :
$\displaystyle \int_0^x 0,2t\text{e}^{-0,2t}\:\text{d}t =G(x)-G(0)=-x\text{e}^{-0,2x}-5\text{e}^{-0,2x}+5$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} x\text{e}^{-0,2x}=0$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X = 0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-0,2x}=0$.
Ainsi $E(X)=\lim\limits_{x\to +\infty} x\text{e}^{-0,2x}-5\text{e}^{-0,2x}+5=5$.

Partie B - Étude de la durée de présence d'un client dans le supermarché

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d'espérance $40$ minutes et d'écart type un réel positif noté $\sigma$. Grâce à cette étude, on estime que $P(T < 10) = 0,067$.

1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} P(T<10)=0,067&\iff P(T-40<-30)=0,067 \\
&\iff P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
& \iff P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
\end{align*}$
À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,476$
Donc $\sigma \approx 20$.

2. Dans cette question, on prend $\sigma = 20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché ?
On veut calculer :
$P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
$\quad$

Partie C - Durée d'attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d'utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

1. La durée d'attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$ min$^{-1}$.
   1. Donner la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement.
   $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=5$.
   En moyenne un client attend $5$ min à une borne automatique.
   
   2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes.
   $P(T>10)=\text{e}^{-0,2\times 10}=\text{e}^{-2}\approx 0,135$.
   La probabilité que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes est environ égal à $0,135$.
   $\quad$
2. L'étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante:
   • parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, 86 % attendent moins de $10$ minutes ;
   • parmi les clients passant en caisse, 63 % attendent moins de $10$ minutes.
   
   On choisit un client du magasin au hasard et on définit les évènements suivants :
   $B$ : « le client paye à une borne automatique » ;
   $\overline{B}$ : « le client paye à une caisse avec opérateur » ;
   $S$ : « la durée d'attente du client lors du paiement est inférieure à $10$ minutes ». Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de 75 % des clients attendent moins de $10$ minutes. Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?
On appelle $x$ la probabilité qu’un client choisissent une borne automatique de paiement.

D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(S) \geq 0,75&\iff p(S\cap B)+p\left( S\cap \overline{B}\right) \\
&\iff 0,86x+0,63(1-x)\geq 0,75 \\
&\iff 0,23x \geq 0,12 \\
&\iff x \geq \dfrac{12}{23}
\end{align*}$
Il faut donc que la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que l’objectif soit atteint est donc $\dfrac{12}{23}$.

Partie D - Bons d'achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de $10$ € d'achats. Par exemple, si le montant des achats est 58,64 €, alors le client obtient $5$ cartes ; si le montant est 124,31 €, le client obtient $12$ cartes. Les cartes gagnantes représentent $0,5$ % de l'ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.

1. Un client effectue des achats pour un montant de 158,02 €. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'il obtienne au moins une carte gagnante ?
On appelle $C$ la variable aléatoire comptant le nombre de cartes gagnantes.
Le client effectue pour $158,02$ € d’achats. Il obtient donc $15$ cartes.
On effectue donc $15$ tirages aléatoires, identiques, indépendants. Chaque tirage possède deux issues : $G$, “la carte est gagnante”, et $\overline{G}$.
De plus $p(G)=0,005$.
La variable aléatoire $C$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,005$.
Ainsi $P(C\geq 1)=1-P(C=0)=1-(1-0,005)^{15} \approx 0,07$.
$\quad$
2. À partir de quel montant d'achats, arrondi à 10 €, la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à 50 % ?
On appelle $D$ la variable aléatoire comptant le nombre de cartes gagnantes.
On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques, indépendants. Chaque tirage possède deux issues : $G$, “la carte est gagnante”, et $\overline{G}$.
De plus $p(G)=0,005$.
La variable aléatoire $D$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,005$.
$\begin{align*} P(D\geq 1)>0,5 &\iff 1-(1-0,005)^n > 0,5 \\
&\iff 0,995^n<0,5 \\
&\iff n\ln(0,995)<\ln (0,5) \\
&\iff n>\dfrac{\ln (0,5)}{\ln(0,995)}
\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \approx 138,3$.
Il faut donc que $n \geq 139$.
Cela signifie que le montant d’achats soit supérieur à $1~390$ €.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre. Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté. On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1[ par: \[f(x) = bx + 2\ln (1- x)\] où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l'abscisse du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

1. La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1[. On note $f'$ sa fonction dérivée. On admet que la fonction $f$ possède un maximum sur l'intervalle [0 ; 1[ et que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1[ : \[f'(x) = \dfrac{- bx + b - 2}{1 - x}.\] Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b - 2 + 2\ln \left(\dfrac{2}{b}\right)$.
2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
3. Dans cette question, on choisit $b = 5,69$. L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$.

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre. Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté. On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1[ par: \[f(x) = bx + 2\ln (1- x)\] où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l'abscisse du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

1. La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1[. On note $f'$ sa fonction dérivée. On admet que la fonction $f$ possède un maximum sur l'intervalle [0 ; 1[ et que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1[ : \[f'(x) = \dfrac{- bx + b - 2}{1 - x}.\] Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b - 2 + 2\ln \left(\dfrac{2}{b}\right)$.
Etudions le signe de la dérivée :
$f$ admet un maximum sur l’intervalle $[0;1[$ quand :
$\begin{align*} f'(x)=0 &\iff \dfrac{-bx+b-2}{1-x}=0 \\
&\iff -bx+b-2=0 \\
&\iff bx=b-2 \\
&\iff x=1-\dfrac{2}{b}
\end{align*}$
Le maximum est donc :
$\begin{align*} f\left(1-\dfrac{2}{b}\right)&=b-2+2\ln\left(1-1+\dfrac{2}{b}\right)\\
&=b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)\end{align*}$
$\quad$ Par ailleurs ici $x\in [0 ; 1[$, donc $x<1$, donc $ 1-x > 0$.

2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
On considère la fonction $g$ définie sur $[2;+\infty[$ par $g(x)=x-2+2\ln\left(\dfrac{2}{x}\right)$.
La fonction $g$ est dérivable sur $[2;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$g'(x)=1+2\times \dfrac{-\dfrac{2}{x^2}}{\dfrac{2}{x}}=1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x}$.
Etude du signe de la dérivée :
On travaille sur $[2;+\infty[$, donc $x-2\geq 0$ et $x>0$, donc $g'(x)\geq 0$.
$ g'(x)=0\iff x=2$.
La fonction $g$ est donc strictement croissante et continue (car dérivable) sur l’intervalle $[2;+\infty[$.
$g(2)=0<1,6$
$g(x)=x\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x}\ln\left(\dfrac{2}{x}\right)\right)$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}= 0$ et $\lim\limits_{t \to 0} t\ln t=0$.
Donc par composée $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
Ainsi $1,6\in [0;+\infty[$.

D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=1,6$ possède donc, sur l’intervalle $[2;+\infty[$ une unique solution $\alpha \approx 5,69$.
La fonction $g$ est strictement croissante.
Ainsi la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre quand $b$ appartient à l’intervalle $[2;\alpha]$.
$\quad$
3. Dans cette question, on choisit $b = 5,69$. L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$.
On a $f'(x)=\dfrac{-5,69x+5,69-2}{1-x}$
Donc $f'(0)=3,69$.
Un vecteur directeur de la tangente est par conséquent $\vec{u}(1;3,69)$.
Par conséquent $\tan \theta =\dfrac{3,69}{1}$ donc $\theta \approx 74,8$°.
$\quad$

Exercice 3 5 points

Géométrie

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé dont l'origine est le point A. On considère les points B$(10~;~-8~;~2)$, C$(-1~;~-8~;~5)$ et D$(14~;~4~;~8)$.

1. 1. Déterminer un système d'équations paramétriques de chacune des droites (AB) et (CD).
   2. Vérifier que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires.
2. On considère le point I de la droite (AB) d'abscisse 5 et le point J de la droite (CD) d'abscisse 4.
   1. Déterminer les coordonnées des points I et J et en déduire la distance IJ.
   2. Démontrer que la droite (IJ) est perpendiculaire aux droites (AB) et (CD). La droite (IJ) est appelée perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).
3. Cette question a pour but de vérifier que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB) et (CD). Sur le schéma ci -dessous on a représenté les droites (AB) et (CD), les points I et J, et la droite $\Delta$ parallèle à la droite (CD) passant par I. On considère un point $M$ de la droite (AB) distinct du point I. On considère un point $M'$ de la droite (CD) distinct du point J.
   
   
   1. Justifier que la parallèle à la droite (IJ) passant par le point $M'$ coupe la droite $\Delta$ en un point que l'on notera $P$.
   2. Démontrer que le triangle $MPM'$ est rectangle en $P$.
   3. Justifier que $MM' > IJ$ et conclure.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé dont l'origine est le point A. On considère les points B$(10~;~-8~;~2)$, C$(-1~;~-8~;~5)$ et D$(14~;~4~;~8)$.

1. 1. Déterminer un système d'équations paramétriques de chacune des droites (AB) et (CD).
   Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vec{AB}(10;-8;2)$.
   Un vecteur directeur de $(CD)$ est $\vec{CD}(15;12;3)$.
   Une représentation paramétrique de $(AB)$ est :
   $\begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\end{cases} \quad, t\in \mathbb{R}$.
   Une représentation paramétrique de $(CD)$ est :
   $\begin{cases} x=-1+15k\\y=-8+12k\\z=5+3k\end{cases} \quad,k\in\mathbb{R}$
   Remarque : Attention à bien prendre deux paramètres différents pour la suite.
   $\quad$
   
   2. Vérifier que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires.
   On a $\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$
   Et $\dfrac{-8}{12}=-\dfrac{2}{3}$.
   Les coordonnées ne sont pas proportionnelles.
   Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas colinéaires et les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
   Regardons maintenant si les droites sont sécantes.
   Cherchons les solutions du système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\x=-1+15k\\y=-8+12k\\z=5+3k\end{cases} &\iff \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\10t=-1+15k\\-8t=-8+12k\\2t=5+3k \end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\10t=-1+15k \quad (1)\\-8t=-8+12k\\10t=25+15k \quad (2) \end{cases}
   \end{align*}$
   Les lignes $(1)$ et $(2)$ sont incompatibles. Il n’y a donc pas de point d’intersection.
   Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
2. On considère le point I de la droite (AB) d'abscisse 5 et le point J de la droite (CD) d'abscisse 4.
   1. Déterminer les coordonnées des points I et J et en déduire la distance IJ.
   L’abscisse du point $I$ est $5$.
   Par conséquent $10t=5 \iff t=0,5$.
   Ainsi les coordonnées du point $I$ sont $\begin{cases} x_I=5\\y_I=-4\\z_I=1\end{cases}$.
   $\quad$
   L’abscisse du point $J$ est $4$.
   par conséquent $-1+15k=4 \iff 15k=5 \iff k=\dfrac{1}{3}$.
   Ainsi les coordonnées du point $J$ sont $\begin{cases}x_J=4\\y_J=-4\\z_J=6\end{cases}$.
   $\quad$
   Donc :
   $\begin{align*} IJ&=\sqrt{(4-5)^2+\left(-4-(-4)\right)^2+(6-1)^2} \\
   &=\sqrt{1+0+25} \\
   &=\sqrt{26}
   \end{align*}$
   $\quad$
   2. Démontrer que la droite (IJ) est perpendiculaire aux droites (AB) et (CD). La droite (IJ) est appelée perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).
   On a $\vec{IJ}(-1;0;5)$, $\vec{AB}(10;-8;2)$ et $\vec{CD}(15;12;3)$
   D’une part $\vec{IJ}.\vec{AB}=-10+0+10=0$
   D’autre part $\vec{IJ}.\vec{AB}=-15+0+15=0$.
   Le vecteur $\vec{IJ}$ est donc normal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$.
   Les droites $(IJ)$ et $(AB)$ d’une part et $(IJ)$ et $(CD)$ d’autre part sont donc orthogonales.
   Mais $(IJ)$ et $(AB)$ sont sécantes en $I$ et les droites $(IJ)$ et $(CD)$ sont sécantes en $J$.
   La droite $(IJ)$ est donc perpendiculaire aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
   $\quad$
3. Cette question a pour but de vérifier que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB) et (CD). Sur le schéma ci -dessous on a représenté les droites (AB) et (CD), les points I et J, et la droite $\Delta$ parallèle à la droite (CD) passant par I. On considère un point $M$ de la droite (AB) distinct du point I. On considère un point $M'$ de la droite (CD) distinct du point J.
   
   
   1. Justifier que la parallèle à la droite (IJ) passant par le point $M'$ coupe la droite $\Delta$ en un point que l'on notera $P$.
   Le point $I$ n’appartenant pas à la droite $(CD)$; le point $I$ et la droite $(CD)$ définissent le plan $(IJM’)$.
   La droite $\Delta$ est parallèle à $(CD)$ et passe par le point $I$ : elle est donc incluse dans le plan $(IJM’)$.
   Ainsi, dans le plan $(IJM’)$, les droites $(JM’)$ et $\Delta$ sont parallèles et la droite $(IJ)$ est perpendiculaire à la droite $\Delta$.
   La droite parallèle à la droite $(IJ)$ passant par le point $M’$ est donc également perpendiculaire à la droite $\Delta$ : ces deux droites ont bien un point d’intersection appelé $P$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que le triangle $MPM'$ est rectangle en $P$.
   Les droites $(IJ)$ et $(M’P)$ sont parallèles par conséquent les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{M’P}$ sont colinéaires.
   Le vecteur $\vec{M’P}$ est alors orthogonal à $\vec{IP}$ ($(M’P)$ et $\Delta$ sont perpendiculaires) et à $\vec{IM}$ (car $\vec{IJ}$ et $\vec{AB}$ le sont).
   La droite $\Delta$ est parallèle à $(CD)$. D’après la question 1.b. elle n’est donc pas parallèle à la droite $(AB)$.
   Les droites $\Delta$ et $(AB)$ sont sécantes en $I$ : elles définissent le plan $(IMP)$.
   Le vecteur $\vec{M’P}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IMP)$. Il est par conséquent orthogonal à tous les vecteurs de ce plan en particulier à $\vec{MP}$.
   Le triangle $MPM’$ est ainsi rectangle en $P$.
   $\quad$
   
   3. Justifier que $MM' > IJ$ et conclure.
   Dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse est plus grande que la longueur des deux côtés de l’angle droit.
   Ainsi $MM’> M’P$ or $IJ=M’P$.
   Par conséquent $MM’>IJ$.

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux graphiques donnés en annexe seront à compléter et à rendre avec la copie.
Un scooter radio commandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de 1 m.s$^{-1}$. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse. On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d'unité 1 mètre. L'origine de ce repère est la position initiale du chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d'équation $x = 5$. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.
Dans la suite de l'exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite

La situation est représentée par le graphique no 1 donné en annexe. À l'instant initial, le scooter est représenté par le point $S_0$. Le chien qui le poursuit est représenté par le point $M_0$. On considère qu'à chaque seconde, le chien s'oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de 1 mètre. Ainsi, à l'instant initial, le chien s'oriente en direction du point $S_0$, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point $M_1$. À cet instant, le scooter est au point $S_1$. Le chien s'oriente en direction de $S_1$ et se déplace en ligne droite en parcourant 1 mètre, et ainsi de suite. On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées $\left(M_n\right)$ et $\left(S_n\right)$. Au bout de $n$ secondes, les coordonnées du point $S_n$ sont $(5~;~n)$. On note $\left(x_n~;~y_n\right)$ les coordonnées du point $M_n$.

1. Construire sur le graphique no 1 donné en annexe les points $M_2$ et $M_3$.
2. On note $d_n$ la distance entre le chien et le scooter $n$ secondes après le début de la poursuite. On a donc $d_n = M_nS_n$. Calculer $d_0$ et $d_1$.
3. Justifier que le point $M_2$ a pour coordonnées $\left(1 + \dfrac{4}{\sqrt{17}}~;~\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ :  \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}& = &x_n + \dfrac{5 - x_n}{d_n}\\ y_{n+1}&=&y_n + \dfrac{n - y_n}{d_n} \end{array}\right.\]
   1. Le tableau ci-dessous, obtenu à l'aide d'un tableur, donne les coordonnées des points $M_n$ et $S_n$ ainsi que la distance $d_n$ en fonction de $n$. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules C5 et F5 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes C et F ?
      
   2. On admet que la suite $\left(d_n\right)$ est strictement décroissante. Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l'aide du tableau.

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction

On modélise maintenant la trajectoire du chien à l'aide de la courbe $\mathcal{F}$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~5[ par: \[f(x) = -2,5\ln (1 - 0, 2x) - 0,5x + 0,05x^2.\]
Cela signifie que le chien se déplace sur la courbe $\mathcal{F}$ de la fonction $f$.

1. Lorsque le chien se trouve au point $M$ de coordonnées $(x~;~f(x))$ de la courbe $\mathcal{F}$, où $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~5[$, le scooter se trouve au point $S$, d'ordonnée notée $y_S$.
   Ainsi le point $S$ a pour coordonnées $\left(5~;~y_S\right)$. La tangente à la courbe $\mathcal{F}$ au point $M$ passe par le point $S$.
   Cela traduit le fait que le chien s'oriente toujours en direction du scooter. On note $d(x)$ la distance $MS$ entre le chien et le scooter lorsque $M$ a pour abscisse $x$.
   1. Sur le graphique  no 2 donné en annexe, construire, sans calcul, le point $S$ donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe $\mathcal{F}$ et lire les coordonnées du point $S$.
   2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5[ et on admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~5[ : \[f'(x) = \dfrac{x(1 - 0,1x)}{5 - x}.\] Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l'ordonnée du point $S$ lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe $\mathcal{F}$.
2. On admet que $d(x) = 0,1x^2 - x + 5$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~5[$. Justifier qu'au cours du temps la distance $MS$ se rapproche d'une valeur limite que l'on déterminera.

Partie A, question 1 Graphique n°1

Partie A, question 1 Graphique n°2

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux graphiques donnés en annexe seront à compléter et à rendre avec la copie.
Un scooter radio commandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de 1 m.s$^{-1}$. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse. On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d'unité 1 mètre. L'origine de ce repère est la position initiale du chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d'équation $x = 5$. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.
Dans la suite de l'exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite

La situation est représentée par le graphique no 1 donné en annexe. À l'instant initial, le scooter est représenté par le point $S_0$. Le chien qui le poursuit est représenté par le point $M_0$. On considère qu'à chaque seconde, le chien s'oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de 1 mètre. Ainsi, à l'instant initial, le chien s'oriente en direction du point $S_0$, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point $M_1$. À cet instant, le scooter est au point $S_1$. Le chien s'oriente en direction de $S_1$ et se déplace en ligne droite en parcourant 1 mètre, et ainsi de suite. On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées $\left(M_n\right)$ et $\left(S_n\right)$. Au bout de $n$ secondes, les coordonnées du point $S_n$ sont $(5~;~n)$. On note $\left(x_n~;~y_n\right)$ les coordonnées du point $M_n$.

1. Construire sur le graphique no 1 donné en annexe les points $M_2$ et $M_3$.

2. On note $d_n$ la distance entre le chien et le scooter $n$ secondes après le début de la poursuite. On a donc $d_n = M_nS_n$. Calculer $d_0$ et $d_1$.
$d_0=5$
$d_1=\sqrt{(5-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$
$\quad$
3. Justifier que le point $M_2$ a pour coordonnées $\left(1 + \dfrac{4}{\sqrt{17}}~;~\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.
Déterminons une équation de la droite $\left(M_1S_1\right)$.
Les points $M_1$ et $S_1$ n’ont pas la même abscisse.
Une équation de cette droite sera donc de la forme $y=ax+b$.
$a=\dfrac{1-0}{5-1}=\dfrac{1}{4}$.
Donc une équation de la droite est de la forme $y=\dfrac{1}{4}x+b$.
Le point $M_1$ de coordonnées $(1;0)$ appartient à la droite.
Ainsi $0=\dfrac{1}{4}+b \iff b=-\dfrac{1}{4}$.
Une équation de la droite $\left(M_1S_1\right)$ est donc $y=\dfrac{1}{4}(x-1)$
Si $x=1+\dfrac{4}{\sqrt{17}}$ alors
$y=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{4}{\sqrt{17}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}$.
Le point $A\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$ appartient bien à la droite.
$\quad$
Vérifions que $M_1A=1$.
$M_1A=\sqrt{\left(\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{16}{17}+\dfrac{1}{17}}=1$.
Le point $M_2$ a donc pour coordonnées $\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.

4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}& = &x_n + \dfrac{5 - x_n}{d_n}\\ y_{n+1}&=&y_n + \dfrac{n - y_n}{d_n} \end{array}\right.\]
   1. Le tableau ci-dessous, obtenu à l'aide d'un tableur, donne les coordonnées des points $M_n$ et $S_n$ ainsi que la distance $d_n$ en fonction de $n$. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules C5 et F5 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes C et F ?
      
   En $C5$ on doit écrire $=C4+(A4-B4)/F4$
   En $F5$ on doit écrire $=\text{RACINE}((D5-B5)\hat{~}2+(E5-C5)\hat{~}2)$.
   $\quad$
   
   2. On admet que la suite $\left(d_n\right)$ est strictement décroissante. Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l'aide du tableau.
   La suite $\left(d_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$ (une distance est positive). Cette suite est donc convergente.
   Il semblerait que sa limite soit $2,773~165~8$.

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction

On modélise maintenant la trajectoire du chien à l'aide de la courbe $\mathcal{F}$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~5[$ par: \[f(x) = -2,5\ln (1 - 0, 2x) - 0,5x + 0,05x^2.\]
Cela signifie que le chien se déplace sur la courbe $\mathcal{F}$ de la fonction $f$.

1. Lorsque le chien se trouve au point $M$ de coordonnées $(x~;~f(x))$ de la courbe $\mathcal{F}$, où $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~5[$, le scooter se trouve au point $S$, d'ordonnée notée $y_S$.
   Ainsi le point $S$ a pour coordonnées $\left(5~;~y_S\right)$. La tangente à la courbe $\mathcal{F}$ au point $M$ passe par le point $S$.
   Cela traduit le fait que le chien s'oriente toujours en direction du scooter. On note $d(x)$ la distance $MS$ entre le chien et le scooter lorsque $M$ a pour abscisse $x$.
   1. Sur le graphique  no 2 donné en annexe, construire, sans calcul, le point $S$ donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe $\mathcal{F}$ et lire les coordonnées du point $S$.
   Graphiquement, les coordonnées du point $S$ sont alors $(5;3,3)$.
   $\quad$
   
   2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~5[$ et on admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~5[$ : \[f'(x) = \dfrac{x(1 - 0,1x)}{5 - x}.\] Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l'ordonnée du point $S$ lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe $\mathcal{F}$.
   On a $f'(3)=\dfrac{3(1-0,3)}{5-3}=1,05$.
   Une équation de la tangente en $M$ à la courbe est donc de la forme $y=1,05x+b$.
   $f(3)=-2,5\ln(1-0,6)-0,5\times 3+0,05\times 9=-2,5\ln(0,4)-1,05$.
   Le point $M$ de coordonnées $\left(3;f(3)\right)$ appartient à la tangente.
   Ainsi $-2,5\ln(0,4)-1,05=1,05\times 3+b \iff b=-2,5\ln(0,4)-4,2$.
   Une équation de la tangente est donc $y=1,05x-2,5\ln(0,4)-4,2$.
   Le point $S$ a pour abscisse $5$.
   Son ordonnée est donc $y_S=1,05\times 5-2,5\ln(0,4)-4,2\approx 3,34$.
   $\quad$
2. On admet que $d(x) = 0,1x^2 - x + 5$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~5[$. Justifier qu'au cours du temps la distance $MS$ se rapproche d'une valeur limite que l'on déterminera.
$\lim\limits_{x \to 5}d(x)=0,1\times 5^2-5+5=2,5$.
Par conséquent la distance $MS$ se rapproche de $2,5$.
$\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une région, on s'intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols.
Au 1er juillet 2012, on estime qu'il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.
On note $u_n$ le nombre de campagnols et $v_n$ le nombre de renards au 1er juillet de l'année $2012+ n$.

Partie A - Un modèle simple

On modélise l'évolution des populations par les relations suivantes : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1}& =& 1,1u_n - 2000 v_n\\ v_{n+1} & =& 2 \times 10^{-5}u_n + 0,6v_n \end{array}\right. \quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec } \:u_0 = 2000000 \: \text{et} \: v_0 = 120.$$

1. 1. On considère la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Déterminer la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = A \times U_n$ pour tout entier $n$ et donner la matrice $U_0$.
   2. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au 1er juillet 2018.
2. Soit les matrices $P = \begin{pmatrix} 20000 & 5000 \\1&1\end{pmatrix} , \: D = \begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}$ et $P^{- 1} = \dfrac{1}{ 15000} \begin{pmatrix}1& -5000 \\- 1& 20000 \end{pmatrix}$. On admet que $P^{- 1}$ est la matrice inverse de la matrice $P$ et que $A = P \times D \times P^{- 1}$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_n = P \times D^n \times P^{- 1} \times U_0$.
   2. Donner sans justification l'expression de la matrice $D^n$ en fonction de $n$.
   3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_n &=& \dfrac{2,8 \times 10^7 + 2 \times 10^6 \times 0,7^n}{15}\\ v_n &=&\dfrac{ 1400 + 400 \times 0,7^n}{15} \end{array}\right.$$ Décrire l'évolution des deux populations.

Partie B - Un modèle plus conforme à la réalité

Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n'est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d'observations à l'aide des relations suivantes : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1} &=& 1,1u_n - 0,001 u_n \times v_n\\ v_{n+1} &=& 2 \times 10^{-7} u_n \times v_n + 0,6v_n \end{array}\right.\quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec }\:u_0 = 2000000 \: \text{et }\: v_0 = 120.$$
Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les $25$ premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l'unité :

1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules B4 et C4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B et C ?
2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?

Partie C

Dans cette partie on utilise le modèle de la partie B. Est - il possible de donner à $u_0$ et $v_0$ des valeurs afin que les deux populations restent stables d'une année sur l'autre, c'est-à-dire telles que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_{n+1} = u_n$ et $v_{n+1} = v_n$ ? (On parle alors d'état stable.)

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une région, on s'intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols.
Au 1er juillet 2012, on estime qu'il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.
On note $u_n$ le nombre de campagnols et $v_n$ le nombre de renards au 1er juillet de l'année $2012+ n$.

Partie A - Un modèle simple

On modélise l'évolution des populations par les relations suivantes : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1}& =& 1,1u_n - 2000 v_n\\ v_{n+1} & =& 2 \times 10^{-5}u_n + 0,6v_n \end{array}\right. \quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec } \:u_0 = 2000000 \: \text{et} \: v_0 = 120.$$

1. 1. On considère la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Déterminer la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = A \times U_n$ pour tout entier $n$ et donner la matrice $U_0$.
   On a
   $\begin{pmatrix} u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$
   Donc $A=\begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}$.
   Et $U_0=\begin{pmatrix}2~000~000\\120\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au 1er juillet 2018.
   Au $1^\text{er}$ juillet 2018 on a $n=6$.
   Donc $U_6=A^6\times U_0 \approx \begin{pmatrix} 1~882~353\\96\end{pmatrix}$
   Il y aura donc environ $1~882~353$ campagnols et $96$ renards.
   $\quad$
2. Soit les matrices $P = \begin{pmatrix} 20000 & 5000 \\1&1\end{pmatrix} , \: D = \begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}$ et $P^{- 1} = \dfrac{1}{ 15000} \begin{pmatrix}1& -5000 \\- 1& 20000 \end{pmatrix}$. On admet que $P^{- 1}$ est la matrice inverse de la matrice $P$ et que $A = P \times D \times P^{- 1}$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_n = P \times D^n \times P^{- 1} \times U_0$.
   Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : si $n=0$ alors $P\times D^n\times P^{-1}\times U_0=P\times I_2\times P^{-1}\times U_0=U_0$
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $U_{n+1}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0$.
   $\begin{align*} U_{n+1}&=A\times U_n \\
   &=P\times D\times P^{-1} \times P\times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
   &=P\times D \times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
   &=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0
   \end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
   $\quad$
   
   2. Donner sans justification l'expression de la matrice $D^n$ en fonction de $n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $D_n=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,7^n\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_n &=& \dfrac{2,8 \times 10^7 + 2 \times 10^6 \times 0,7^n}{15}\\ v_n &=&\dfrac{ 1400 + 400 \times 0,7^n}{15} \end{array}\right.$$ Décrire l'évolution des deux populations.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}+\dfrac{2\times 10^6}{15}\times 0,7^n$ et $v_n=\dfrac{1400}{15}+\dfrac{400}{15}\times 0,7^n$.
   Puisque $0<0,7<1$, cela signifie que la suite géométrique de raison $0,7$ est décroissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n=0$
   Par conséquent les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont décroissantes.
   De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\dfrac{1400}{15}=\dfrac{280}{3}$
   $\quad$
   Le nombre de renards et de campagnols va donc décroître pour se stabiliser à environ $93$ individus pour les renards et environ $1~866~667$ pour les campagnols.
   $\quad$

Partie B - Un modèle plus conforme à la réalité

Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n'est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d'observations à l'aide des relations suivantes : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1} &=& 1,1u_n - 0,001 u_n \times v_n\\ v_{n+1} &=& 2 \times 10^{-7} u_n \times v_n + 0,6v_n \end{array}\right.\quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec }\:u_0 = 2000000 \: \text{et }\: v_0 = 120.$$
Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les $25$ premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l'unité :

1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules B4 et C4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B et C ?
En $B4$ on a pu écrire $=1,1\times B3-0,001\times B3\times C3$.
En $C4$ on a pu écrire $=2\times 10^{-7}\times B3\times C3+0,6\times C3$.

2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?
En utilisant le menu table de la calculatrice on constate qu’à partir de $n=104$ on observe le phénomène décrit, soit à partir de l’année 2116.
$\quad$

Partie C

On appelle $\begin{pmatrix} U&V\end{pmatrix}$ l’état stable
On veut donc résoudre le système
$\begin{align*} \begin{cases} U=1,1U\times -0,001U\times V\\V=2\times 10^{-7}U\times V+0,6V\end{cases}&\iff \begin{cases} 0,1U=0,001U\times V \\0,4V=2\times 10^{-7}U\times V \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} 0,1U(1-0,01V)=0\\2V\left(0,2-10^{-7}V\right)=0\end{cases} \quad (*)\\
&\iff \begin{cases} V=100\\U=2\times 10^6\end{cases}\end{align*}$
$(*)$ $U$ et $V$ ne sont pas nuls.
S’il y a $2~000~000$ campagnols et $100$ renards alors les deux populations sont stables.
$\quad$

Si on ne suppose pas que les deux populations sont présentes, on peut prendre une suite constante égale à 0 pour $U$ ou pour $V$, mais cela rend caduc le modèle (s’il y a 0 campagnols, que mangent lesrenards? ou s’il n’y a pas de renards pour manger les campagnols, qui limitera la croissance de la population de campagnols?)

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que:

• parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur);
• 45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune;
• les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

Partie A

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard. On considère les événements suivants:

• $C$: « l'arbre abattu est un chêne»;
• $S$: « l'arbre abattu est un sapin»;
• $E$: « l'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire»;
• $H$: « l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune».

1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
2. Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
3. Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587\;7$.
4. Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin~?
   On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

Partie B

Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu= 4 \;000 $ et d'écart-type $\sigma=300$.

1. Déterminer la probabilité qu'il y ait entre $3 ;400$ et $4\;600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
2. Calculer la probabilité qu'il y ait plus de $4\;500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

Partie C

L'exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.
Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.
Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant ?

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que:

• parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur);
• 45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune;
• les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

Partie A

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard. On considère les événements suivants:

• $C$: « l'arbre abattu est un chêne»;
• $S$: « l'arbre abattu est un sapin»;
• $E$: « l'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire»;
• $H$: « l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune».

1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.


2. Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
On veut calculer $p(C\cap H)=0,3\times 0,459=0,137~7$.
La probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est $0,137~7$.

3. Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587\;7$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(H)&=p(C\cap H)+p(S\cap H)+p(E\cap H) \\
&=0,3\times 0,459+0,5\times 0,8 +0,2\times 0,25 \\
&=0,137~7+0,4+0,05 \\
&=0,587~7
\end{align*}$
$\quad$
4. Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?
   On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
On veut calculer :
$\begin{align*} p_H(S)&=\dfrac{p(S\cap H)}{p(H)} \\
&=\dfrac{0,5\times 0,8}{0,587~7} \\
&\approx 0,681
\end{align*}$
La probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin est environ égale à $0,681$.
$\quad$

Partie B

Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu= 4 \;000 $ et d'écart-type $\sigma=300$.

1. Déterminer la probabilité qu'il y ait entre $3 ;400$ et $4\;600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
On a $p(3~400 \leqslant X \leqslant 4~600)=p(\mu-2\sigma \leqslant X\leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,954$
ou

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

2. Calculer la probabilité qu'il y ait plus de $4\;500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
$p(X \geqslant 4~500)=0,5-p(4~000\leqslant X \leqslant 4~500) \approx 0,048$
ou

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

Partie C

On a $n=200$ et $p=0,5$.
Donc $n \geqslant 30$, $np=100 \geqslant 5$ et $n(1-p)=100 \geqslant 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{200} &=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}}\right] \\
&\approx [0,431;0,570]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{106}{200}=0,53 \in I_{200}$.

Ce résultat ne remet pas en cause l’affirmation de l’exploitant.

$\quad$

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête. Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre. Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:

• $L$ est le point tel que $\vec{FL}=\frac23\vec{FE}$;
• $M$ est le point d'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
• $S$ est le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.

1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
2. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
3. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
   2. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
4. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.
   1. Vérifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
   2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est: \[ 3x+3y+2z-18=0. \]
   3. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&0\\ y&=&s~~~~(s\in\mathbb R)\\ z&=&6 \end{array} \right. \] Calculer les coordonnées du point $M$.
5. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante: \[ V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}. \]
6. L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55$^{o}$ et 60$^{o}$.
   Cette contrainte d'angle est-elle respectée ?

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête. Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre. Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:

• $L$ est le point tel que $\vec{FL}=\frac23\vec{FE}$;
• $M$ est le point d'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
• $S$ est le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.

1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
Les plans $(FGH)$ et $(BCD)$ sont parallèles.
La droite $(LM)$ est l’intersection du plan $(FGH)$ avec le plan $(SLM)$.
La droite $(BD)$ est l’intersection du plan $(BCD)$ avec le plan $(SLM)$.
Par conséquent les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
$\quad$
2. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
Dans le repère $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ on a :
$F(6;0;6)$, $E(0;0;6)$.
Par conséquent $\vec{FE}(-6;0;0)$.
Donc :
$$\begin{align*} \vec{FL}=\dfrac{2}{3}\vec{FE} &\iff \begin{cases} x_L-6=\dfrac{2}{3}\times (-6) \\y_L-0=\dfrac{2}{3}\times 0 \\z_L-6=\dfrac{2}{3}\times 0 \end{cases} \\
&\iff \begin{cases}x_L-6=-4\\y_L=0\\z_L=6\end{cases}
\end{align*}$$
Les coordonnées du point $L$ sont donc $(2;0;6)$.
$\quad$
3. 1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
   On a $B(6;0;0)$ et $\vec{BL}(-4;0;6)$
   Une représentation paramétrique de la droite $(BL)$ est :
   $$\begin{cases} x=6-4t\\y=0\\z=6t\end{cases}, \quad t \in \mathbb R$$
   $\quad$
   
   2. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
   Le point $S$ appartient à la droite $(AE)$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;0;z_S\right)$.
   De plus le point $S$ appartient à la droite $(BL)$.
   On a donc :
   $$\begin{align*} \begin{cases} 0=6-4t\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=6t\end{cases} &\iff \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=\dfrac{3}{2}\times 6\end{cases}
   \end{align*}$$
   Le point $S$ a donc pour coordonnées $(0;0;9)$.
   $\quad$
4. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.
   1. Vérifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
   On a $B(6;0;0)$ et $D(0;6;0)$. Par conséquent $\vec{BD}(-6;6;0)$.
   De plus $\vec{BL}(-4;0;6)$.
   Ainsi $\vec{n}.\vec{BD}=3\times (-6)+3\times 6+2\times 0=0$
   et $\vec{n}.\vec{BL}=3\times (-4)+3\times 0+2\times 6=0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(BDL)$.
   $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(BDL)$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est: \[ 3x+3y+2z-18=0. \]
   Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est ainsi de la forme $$3x+3y+2z+d=0$$
   Le point $B(6;0;0)$ appartient à ce plan.
   Donc $3\times 6+0+0+d=0 \iff d=-18$.
   Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est par conséquent $$3x+3y+2z-18=0$$
   $\quad$
   
   3. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&0\\ y&=&s~~~~(s\in\mathbb R)\\ z&=&6 \end{array} \right. \] Calculer les coordonnées du point $M$.
   Le point $M$ est le point d’intersection de la droite $(EH)$ et du plan $(BDL)$.
   Ses coordonnées sont donc solution du système :
   $\begin{align*} \begin{cases}x=0\\y=s\\z=6\\3x+3y+2z-18=0\end{cases} &\iff \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\0+3s+12-18=0\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\3s=6 \end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} s=2\\x=0\\y=2\\z=6\end{cases}
   \end{align*}$
   Le point $M$ a pour coordonnées $(0;2;6)$.
   $\quad$
5. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante: \[ V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}. \]
On a $\vec{EL}(2;0;0)$ donc $EL=2$
et $\vec{EM}(0;2;0)$ donc $EM=2$
L’aire du triangle $ELM$ est donc $\mathscr{A}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$ m$^2$.
De plus $\vec{ES}(0;0;3)$ donc $ES=3$.
Le volume du tétraèdre $SELM$ est $V=\dfrac{2\times 3}{3}=2$ m$^3$.
$\quad$
6. L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55$^{o}$ et 60$^{o}$.
   Cette contrainte d'angle est-elle respectée ?
On a $\vec{LS}(-2;0;3)$ et $\vec{LE}(-2;0;0)$.
Par conséquent $LS=\sqrt{(-2)^2+0^2+3^2}=\sqrt{13}$ et $LE=2$
D’une part $\vec{LS}.\vec{LE}=-2\times (-2)+0+0=4$
D’autre part $\vec{LS}.\vec{LE}=2\sqrt{13}\cos\widehat{SLE}$
Donc $\cos\widehat{SLE}=\dfrac{4}{2\sqrt{13}}$
Ainsi $\widehat{SLE} \approx 56,3$°.
La contrainte d’angle est respectée.
$\quad$

Exercice 3 5 points

Fonctions

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:

Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par: \[ f(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{ et } g(x)=-\text{e}^{-x}\cos x. \] On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb R$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

1. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R$:\[ -\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}.\]
2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
3. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
   1. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
   2. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.

Partie B — Aire du logo

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

1. Étudier la position relative dela courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbre $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb R$.
2. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[ H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}. \] On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x}$ sur $\mathbb R$ . On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
   1. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
   2. Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^{2}$.

ANNEXE

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:

Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par: \[ f(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{ et } g(x)=-\text{e}^{-x}\cos x. \] On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb R$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

1. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R$:\[ -\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}.\]
Pour tout réel $x$ on a $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ donc $-1\leqslant -\cos x \leqslant 1$
et $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$
Ainsi $-1-1+1 \leqslant -\cos x+\sin x+1 \leqslant 1+1+1 \iff -1\leqslant -\cos x+\sin x+1 \leqslant 3$
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$.
On a alors $-\text{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 3\text{e}^{-x}$.
$\quad$
2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{t \to -\infty} \text{e}^t=0$.
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}-\text{e}^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 3\text{e}^{-x}=0$.
D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
$\quad$
3. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-\text{e}^{-x}\left(-\cos x+\sin x+1\right)+\text{e}^{-x}\left(-(-\sin x)+\cos x\right) \\
&=\left(\cos x-\sin x-1+\sin x+\cos x\right)\text{e}^{-x} \\
&=\left(2\cos x-1\right)\text{e}^{-x}
\end{align*}$
$\quad$
4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
   1. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $[-\pi;\pi]$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\cos x-1$.
   Or, sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$ :
   $2\cos x-1=0 \\ \iff \cos x =0,5 \\ \iff \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{3}\\\text{ou}\\x=-\dfrac{\pi}{3}\end{cases}$
   et $2\cos x-1>0 \\ \iff \cos x>0,5 \\ \iff x \in \left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
   Ainsi sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$, $f'(x)<0$ sur $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$.
   $\quad$
   
   
   2. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.
   La fonction $f$ est donc décroissante sur les intervalles $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[$ et $\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$ et elle est croissante sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
   $\quad$

Partie B — Aire du logo

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

1. Étudier la position relative dela courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbre $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb R$.
Pour tout réel $x$ on a : $f(x)-g(x)=\text{e}^{-x}\left(\sin x+1\right)$.
Or $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$ donc $0\leqslant \sin x +1 \leqslant 2$.
Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur$mathbb R$, cela signifie donc que $f(x)-g(x) \geqslant 0$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est par conséquent toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$.

2. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[ H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}. \] On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x}$ sur $\mathbb R$ . On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
   1. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
   
   2. Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^{2}$.
   La fonction $h$ définie sur $\mathbb R$ par $ h(x)=f(x)-g(x)$ est positive (question B.1) et continue (somme de fonctions continues sur $\mathbb R$).
   Par conséquent l’aire du domaine $\mathcal{D}$ est :
   $\begin{align*} \displaystyle \mathscr{A}&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \left(f(x)-g(x)\right) \text{d}x \\
   &=H\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-H\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \\
   &=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\text{e}^{-3\pi/2}-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\text{e}^{\pi/2} \\
   &=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-3\pi/2}+\dfrac{1}{2}\text{e}^{\pi/2} \text{ u.a.}
   \end{align*}$
   Or $1$ u.a. $=2^2=4$ cm$^2$.
   Ainsi $\mathscr{A}\approx 9,60$ cm$^2$.
   $\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le directeur d'une réserve marine a recensé $3\;000$ cétacés dans cette réserve au 1$^{er}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\;000$.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:

• entre le 1$^{er}$ juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
• entre le 1$^{er}$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{er}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0= 3\;000$ .

1. Justifier que $u_1= 2\;926 $.
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,95 u_n+76$.
3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 1& n &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2& u_n & 3\;000 & 2\;926 & 2\;856 & 2\;789 & 2\;725 & 2\;665 & 2\;608 & 2\;553 \\ \hline \end{array}$$ Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
4. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1 \;520 $.
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
5. On déisgne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n- 1\;520 $.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n= 1\;480 \times 0,95 ^n+ 1\;520 $.
   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
6. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\;000 . $$\begin{array}{|l|}\hline n\leftarrow 0 \\ u\leftarrow 3\;000 \\ \text{ Tant que } \ldots\\ \phantom{xxxx} n\leftarrow \ldots \\ \phantom{xxxx} u\leftarrow \ldots \\ \text{Fin de Tant que }\\\hline \end{array}$$ La notation « $\leftarrow$» correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$».
7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le directeur d'une réserve marine a recensé $3\;000$ cétacés dans cette réserve au 1$^{er}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\;000$.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:

• entre le 1$^{er}$ juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
• entre le 1$^{er}$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{er}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0= 3\;000$ .

1. Justifier que $u_1= 2\;926 $.
n a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
$\quad$
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,95 u_n+76$.
$80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
Il y a ensuite une baisse de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
$\quad$
3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 1& n &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2& u_n & 3\;000 & 2\;926 & 2\;856 & 2\;789 & 2\;725 & 2\;665 & 2\;608 & 2\;553 \\ \hline \end{array}$$ Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
$\quad$
4. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1 \;520 $.
   Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \geqslant 1~520$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~520$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \geqslant 1~520$
   $$\begin{array} {ll}u_n \geqslant 1~520 &\iff 0,95u_n \geqslant 1~444 \\ &\iff 0,95u_n+76 \geqslant 1~520 \\ \ &\iff u_{n+1} \geqslant 1~520 \end{array}$$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\geqslant 1~520$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
   &=-0,05u_n+76 \\
   &\\\leqslant 0,05\times 1~520+76 \\
   &\\\leqslant 0
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
   
   3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
   La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
5. On déisgne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n- 1\;520 $.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \\ \iff u_n=v_n+1~520$.
   $$\begin{array}{ll} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\ &=0,95u_n+76-1~520 \\ &=0,95u_n-1~444 \\ &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\ &=0,95v_n+1~444-1~444 \\ &=0,95v_n \end{array}$$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n= 1\;480 \times 0,95 ^n+ 1\;520 $.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
   $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
   On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
   $\quad$
6. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\;000 . $$\begin{array}{|l|}\hline n\leftarrow 0 \\ u\leftarrow 3\;000 \\ \text{ Tant que } \ldots\\ \phantom{xxxx} n\leftarrow \ldots \\ \phantom{xxxx} u\leftarrow \ldots \\ \text{Fin de Tant que }\\\hline \end{array}$$ La notation « $\leftarrow$» correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$».
On obtient l’algorithme :
$\begin{array}{|l|}
\hline
n \leftarrow 0\\
u \leftarrow 3~000 \\
\text{Tant que } u>2~000 \\
\hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
\text{Fin de Tant que }\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
La réserve marine fermera donc un jour.
On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
$$\begin{array} {ll} u_n \leqslant 2~000 & \iff 1~480\times 0,95^n+1~520 \leqslant 2~000 \\ & \iff 1~480\times 0,95^n \leqslant 480 \\ &\\& \iff 0,95^n \leqslant \dfrac{12}{37} \\ & \iff n\ln(0,95) \leqslant \ln \dfrac{12}{37} \\ & \iff n \geqslant \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)} \end{array}$$
Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
Donc $n \geqslant 22$.
La réserve marine fermera en 2039.
$\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

• une carte de pêche dite « libre » entre parenthèse le pêcheur mais pas limité en nombre de poissons pêchés);
• une carte de pêche dite « avec quota »(le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poisson).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.
On note, pour l'année $2017+n$:

• $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
• $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que:

• chaque année, 65 % des possesseurs de la carte de pêche libres achète de nouveaux une carte de pêche libre l'année suivante;
• Chaque année, 45 % des possesseurs de la carte de pêche avec quota acheté une carte de pêche libre l'année suivante ;
• En 2017, 40 % des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0= 0,4 $ et $q_0= 0,6 $.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n \end{pmatrix}$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65 & 0,45 \\ 0,35 & 0,55 \end{pmatrix}$.
2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
   
   En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
   1. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
      On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
   2. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+7\times 0,2 ^n&9-9\times 0,2^n\\ 7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n \end{pmatrix}. \]
   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
   2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$: \[ \ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times 0,2^n. \]
5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60 % ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

• une carte de pêche dite « libre » entre parenthèse le pêcheur mais pas limité en nombre de poissons pêchés);
• une carte de pêche dite « avec quota »(le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poisson).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.
On note, pour l'année $2017+n$:

• $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
• $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que:

• chaque année, 65 % des possesseurs de la carte de pêche libres achète de nouveaux une carte de pêche libre l'année suivante;
• Chaque année, 45 % des possesseurs de la carte de pêche avec quota acheté une carte de pêche libre l'année suivante ;
• En 2017, 40 % des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0= 0,4 $ et $q_0= 0,6 $.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n \end{pmatrix}$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65 & 0,45 \\ 0,35 & 0,55 \end{pmatrix}$.
On appelle $L$ l’événement “le pêcheur possède une carte de pêche libre” et $Q$ l’événement “le pêcheur possède une carte de pêche avec quota”.
On obtient donc le graphe probabiliste suivant :

Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a :
$\ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n$ et $q_{n+1}=0,55q_n+0,35\ell$.
Par conséquent $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,65&0,45\\0,35&0,55 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ell_n\\ q_n \end{pmatrix}$
Soit $P_{n+1}=MP_n$.
$\quad$
2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
En 2019, on a $n=2$.
Donc $P_2=M\times P_1=M^2P_0=\begin{pmatrix}0,556\\0,444\end{pmatrix}$.
Ainsi $q_2=0,444$.
$44,4\%$ des pêcheurs achètent une carte avec quota en 2019.
$\quad$
3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
   
   En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
   1. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
      On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
   On a $TQ=QT=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.
   La matrice $Q$ est donc inversible et $Q^{-1}=T$.
   $\quad$
   
   2. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
   On a $D=Q^{-1}MQ \\\iff QDQ^{-1}=M$.
   $\quad$
   Montrons par récurrence sur $n$ que $M^n=QD^nQ^{-1}$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $QD^1Q^{-1}=QDQ^{-1}=M$
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=QD^nQ^{-1}$.
   Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}$.
   Alors
   $\begin{align*} M^{n+1}&=M\times M^n \\
   &=QDQ^{-1}\times QD^nQ^{-1} \\
   &=QDD^nQ^{-1} \\
   &=QD^{n+1}Q^{-1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=QD^nQ^{-1}$.
   $\quad$
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+7\times 0,2 ^n&9-9\times 0,2^n\\ 7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n \end{pmatrix}. \]
   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
   Montrons par récurrence sur $n$ que $P_n=M^nP_0$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $P_1=MP_0$.
   La propriété est vraie ai rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $P_n=M^nP_0$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $P_{n+1}=M^{n+1}P_0$.
   $\begin{align*} P_{n+1}&=MP_n \\
   &=M\times M^nP_0 \\
   &=M^{n+1}P_0
   \end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $P_n+M^nP_0$.
   $\quad$
   
   2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$: \[ \ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times 0,2^n. \]
   Ainsi
   $P_{n}=M_n\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}$
   Par conséquent
   $\begin{align*} \ell_n&=\dfrac{1}{16}\left[0,4\left(9+7\times 0,2^n\right)+0,6\left(9-9\times 0,2^n\right)\right] \\
   &=\dfrac{1}{16}\left(3,6+2,8\times 0,2^n+5,4-5,4\times 0,2^n\right) \\
   &=\dfrac{1}{16}\left(9-2,6\times 0,2^n\right) \\
   &=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n
   \end{align*}$
   $\quad$
5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60 % ?
Pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{13}{80}\times 0,2^n>0$
Donc $\ell_n < \dfrac{9}{16}<0,6$
La proportion de pêcheur achetant la carte de pêche libre ne dépassera jamais $60\%$.
$\quad$