Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (6 points)


Commun à tous les candidats


Fonction exponentielle, calcul intégral et suites


La pharmacocinétique étudie l'évolution d'un médicament après son administration dans l'organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c'est-dire sa concentration dans le plasma. On étudie dans cet exercice l'évolution de la concentration plasmatique chez un patient d'une même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.

Partie A : administration par voie intraveineuse


On note $f(t)$ la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre ($\mu$g.L$^{-1}$), du médicament, au bout de $t$ heures après administration par voie intraveineuse. Le modèle mathématique est : $f(t) = 20\mathrm{e}^{-0,1t}$, avec $ t \in [0~;~ +\infty[$. La concentration plasmatique initiale du médicament est donc $f(0) = 20\: \mu$g.L$^{-1}$.

  1. La demi-vie du médicament est la durée (en heure) après laquelle la concentration plasmatique du médicament est égale à la moitié de la concentration initiale. Déterminer cette demi-vie, notée $t_{0,5}$.
  2. On a $f(0)=20$. On veut donc résoudre :
    $\begin{align*} f(t)=10 &\iff 20\text{e}^{-0,1t}=10 \\
    &\iff \text{e}^{-0,1t}=0,5 \\
    &\iff -0,1t=\ln(0,5) \\
    &\iff t=-10\ln(0,5) \\
    &\iff t=10\ln(2)
    \end{align*}$
    On a donc $t_{0,5}=10\ln(2)$.
    $\quad$
  3. On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieure à $0,2 \mu$g.L$^{-1}$. Déterminer le temps à partir duquel le médicament est éliminé. On donnera le résultat arrondi au dixième.
  4. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} f(t)\leq 0,2 &\iff 20\text{e}^{-0,1t} \leq 0,2 \\
    &\iff \text{e}^{-0,1t} \leq 0,01 \\
    &\iff -0,1t\leq \ln(0,01) \\
    &\iff t \geq -10\ln(0,01) \\
    &\iff t\geq 10\ln(100)
    \end{align*}$
    Or $10\ln(100) \approx 46,05$
    C’est après environ $46,1$ h soit $46h$ et $6$ minutes que le médicament est éliminé.
    $\quad$
  5. En pharmacocinétique, on appelle ASC (ou « aire sous la courbe »), en $\mu$g.L$^{-1}$, le nombre $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\int_0^x f(t)\:\text{d}t$. Vérifier que pour ce modèle, l' ASC est égal à $200\: \mu$g.L$^{-1}$.
  6. Montrons qu’une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(t)=-200\text{e}^{-0,1t}$
    La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme composée de fonctions dérivables.
    $F'(t)=-200\times (-0,1)\text{e}^{-0,1t}=20\text{e}^{-0,1t}=f(t)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^x f(t)\text{d}t &=F(x)-F(0) \\
    &=-200\text{e}^{-0,1x}+200
    \end{align*}$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -0,1x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty}-200\text{e}^{-0,1x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x f(t)\;\text{d}t=200$.
    Pour ce modèle, l’ASC est égal à $200$ µg.L$^{-1}$.h.
    $\quad$

 

Partie B : administration par voie orale


On note $g(t)$ la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par litre (µg.L$^{-1}$), au bout de $t$ heures après ingestion par voie orale. Le modèle mathématique est : $g(t) = 20 \left(\mathrm{e}^{- 0,1t} - \mathrm{e}^{-t}\right)$ , avec $t \in [0~;~+ \infty[ $. Dans ce cas, l'effet du médicament est retardé, puisque la concentration plasmatique initiale est égale à: $g(0) = 0~\mu$g.L$^{-1}$.

  1. Démontrer que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a : $g'(t) = 20\text{e}^{-t}\left(1 - 0,1\text{e}^{0,9t} \right)$.
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} g'(t)&=20\left(-0,1\text{e}^{-0,1t}-(-1)\text{e}^{-t}\right) \\
    &=20\left(-0,1\text{e}^{-0,1t}+\text{e}^{-t}\right) \\
    &=20\text{e}^{-t}\left(-0,1\text{e}^{-0,1t+t}+1\right)\\
    &=20\text{e}^{-t}\left(1-0,1\text{e}^{0,9t}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. (On ne demande pas la limite en $+\infty$.) En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près.
  4. La fonction exponentielle est strictement positive donc le signe de $g'(t)$ ne dépend que du signe de $1-0,1\text{e}^{0,9t}$.
    $\begin{align*} 1-0,1\text{e}^{0,9t}=0&\iff 1=0,1\text{e}^{0,9t} \\
    &10=\text{e}^{0,9t} \\
    &\ln(10)=0,9t \\
    &t=\dfrac{\ln(10)}{0,9}
    \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 1-0,1\text{e}^{0,9t}\geq 0&\iff 1\geq 0,1\text{e}^{0,9t} \\
    &10\geq \text{e}^{0,9t} \\
    &\ln(10)\geq 0,9t \\
    &t\leq \dfrac{\ln(10)}{0,9}
    \end{align*}$
    La fonction $g$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{\ln(10)}{0,9}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{\ln(10)}{0,9};+\infty\right[$.
    $\quad$
    Or $\dfrac{\ln(10)}{0,9} \approx 2,56$ h soit $\approx 2$ h $34$ min.
    La concentration est donc maximale au bout de $2$ h $34$ min.
    $\quad$

 

Partie C : administration répétée par voie intraveineuse


On décide d'injecter à intervalles de temps réguliers la même dose de médicament par voie intraveineuse. L'intervalle de temps (en heure) entre deux injections est choisi égal à la demi-vie du médicament, c'est-à-dire au nombre $t_{0,5}$ qui a été calculé en A - 1. Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de la concentration plasmatique de $20 \mu$g.L$^{-1}$. On note $u_n$ la concentration plasmatique du médicament immédiatement après la $n$-ième injection. Ainsi, $u_1 = 20$ et, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $u_{n+1} = 0,5 u_n + 20$. On remarque qu'avec ce modèle, la concentration initiale du médicament après la première injection, soit $20 \mu$g.L$^{-1}$, est analogue à celle donnée par le modèle de la partie A, soit $f(0)$.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $u_n = 40 - 40 \times 0,5^n$.
  2. Initialisation : $u_1=20$ et $40-40\times 0,5^1=40-20=20$
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=40-40\times 0,5^n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,5u_n+20 \\
    &=0,5\left( 40-40\times 0,5^n\right) +20 \\
    &=20-40\times 0,5^{n+1}+20 \\
    &=40-40\times 0,5^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n \geq 1$ on a $u_n=40-40\times 0,5^n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
  4. $-1<0,5<1$ : donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 40$
    $\quad$
  5. On considère que l'équilibre est atteint dès que la concentration plasmatique dépasse 38 $\mu$g.L-$^{-1}$. Déterminer le nombre minimal d'injections nécessaires pour atteindre cet équilibre.
  6. On veut donc trouver le plus petit entier naturel tel que :
    $\begin{align*} u_n \geq 38 &\iff 40-40\times 0,5^n \geq 38 \\
    &\iff -40 \times 0,5^n \geq -2 \\
    &\iff 0,5^n \leq 0,05 \\
    &\iff n\ln(0,5) \leq \ln(0,05) \\
    &\iff n \geq \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)} \\
    &\iff n \geq 5
    \end{align*}$
    Il faut donc au minimum $5$ injections pour atteindre cet équilibre.
    $\quad$
Exercice 4
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