Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2017 - Exercice 2

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Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidatsGéométrie

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques : \[d_1 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + t \\ y &=& 3 - t\\ z&=&t \end{array}\right., t\: \in \mathbb{R}\quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} x&=& - 5 + 2 t '\\ y&=& -1 + t ' \\ z&=&5 \end{array}\right., t'\:\in \mathbb{R}.\] On admet que les droites $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires. Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite $\Delta$ qui soit à la fois sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites.

1. Vérifier que le point A($2~;~3~;~0$) appartient à la droite $d_1$.
2. Donner un vecteur directeur $\vec{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\vec{u_2}$ de la droite $d_2$. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ?
3. Vérifier que le vecteur $\vec{v}(1~;~-2~;~-3)$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$.
4. Soit $P$ le plan passant par le point A, et dirigé par les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{v}$. On étudie dans cette question l'intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$.
   1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est : $5x + 4 y - z - 22 = 0$.
   2. Montrer que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point B ($3~;~3~;~5$) .
5. On considère maintenant la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\- 2\\- 3\end{pmatrix}$, et passant par le point B ($3~;~3~;~5$).
   1. Donner une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$.
   2. Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont-elles sécantes? Justifier la réponse.
   3. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ répond au problème posé.