Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidatsGéométrie

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques : \[d_1 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 + t \\ y &=& 3 - t\\ z&=&t \end{array}\right., t\: \in \mathbb{R}\quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} x&=& - 5 + 2 t '\\ y&=& -1 + t ' \\ z&=&5 \end{array}\right., t'\:\in \mathbb{R}.\] On admet que les droites $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires. Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite $\Delta$ qui soit à la fois sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites.

1. Vérifier que le point A($2~;~3~;~0$) appartient à la droite $d_1$.
La représentation paramétrique de la doite $d_1$ est $\begin{cases}x=2+t\\y=3-t\\z=t \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}$.
Si on prend $t=0$ on obtient $\begin{cases}x=2\\y=3\\z=0\end{cases}$.
Le point $A(2;3;0)$ appartient donc à la droite $d_1$.
$\quad$
2. Donner un vecteur directeur $\vec{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\vec{u_2}$ de la droite $d_2$. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ?
Un vecteur directeur de la droite $d_1$ est $\vec{u}_1(1;-1;1)$ et un vecteur directeur de la droite $d_2$ est $\vec{u}_2(2;1;0)$.
$\dfrac{1}{2}\neq -\dfrac{1}{1}$.
Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont par conséquent pas parallèles.
$\quad$
3. Vérifier que le vecteur $\vec{v}(1~;~-2~;~-3)$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$.
$\vec{v}.\vec{u}_1=1+2-3=0$
$\vec{v}.\vec{u}_2=2-2+0=0$
Le vecteur $\vec{v}$ est donc bien orthogonal aux vecteurs $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$.
$\quad$
4. Soit $P$ le plan passant par le point A, et dirigé par les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{v}$. On étudie dans cette question l'intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$.
   1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est : $5x + 4 y - z - 22 = 0$.
   le vecteur $n(5;4;-1)$ est normal au plan dont une équation cartésienne est $5x+4y-z-22=0$.
   $\vec{n}.\vec{u}_1=5-4+1=0$
   $\vec{n}.\vec{v}=5-8+3=0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $P$ : il donc normal au plan $P$.
   $\quad$
   Regardons si le point $A(2;3;0)$ appartient au plan dont une équation cartésienne est $5x+4y-z-22=0$.
   $5\times 2+4\times 3-0-22=10+12-22=0$ : $A\in P$.
   $\quad$
   Par conséquent une équation cartésienne du plan $P$ est $5x+4y-z-22=0$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point B ($3~;~3~;~5$) .
   Regardons si le point $B$ appartient au plan $P$ :
   $5\times 3+4\times 3-5-22=15+12-5-22=0$ donc $B\in P$.
   Regardons si le point $B$ appartient à la droite $d_2$ :
   On résout le système :
   $\begin{cases} -5+2t’=3\\-1+t’=3\end{cases} \iff t’=4$
   Par conséquent $B\in d_2$.
   Un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u}_2(2;1;0)$.
   Or $\vec{n}.\vec{u}_2=10+4-0=14\neq 0$.
   La droite $d_2$ n’est donc pas incluse dans le plan $P$.
   On en déduit donc que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point $B(3;3;5)$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également résoudre un système et déterminer les coordonnées du point d’intersection du plan et de la droite.
   $\quad$
5. On considère maintenant la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\- 2\\- 3\end{pmatrix}$, et passant par le point B ($3~;~3~;~5$).
   1. Donner une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$.
   On a $B(3;3;5)$ et $\vec{v}(1;-2;-3)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $\begin{cases} x=3+k\\y=3-2k\\z=5-3k\end{cases} \qquad k\in\mathbb{R}$.
   $\quad$
   
   2. Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont-elles sécantes? Justifier la réponse.
   Pour déterminer si les droites $\Delta$ et $d_1$ sont sécantes nous allons résoudre le système :
   $\begin{align*} \begin{cases} 2+t=3+k\\3-t=3-2k\\t=5-3k\end{cases} &\iff \begin{cases}t=5-3k\\2+5-3k=3+k\\3-5+3k=3-2k\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} t=5-3k\\7=3+4k\\-2+5k=3\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} t=5-3k\\k=1\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} k=1\\t=2\end{cases} \end{align*}$
   Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont donc sécantes au point $C(4;1;2)$.
   $\quad$
   
   3. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ répond au problème posé.
   D’après la question 3. la droite $\Delta$ est orthogonale au droites $d_1$ et $d_2$.
   D’après la question 5b. les droites $d_1$ et $\Delta$ sont sécantes.
   Le point $B$ appartient aux droites $d_2$ et $\Delta$.
   La droite $\Delta$ est donc sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites.
   $\quad$