Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2017 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et Bsont indépendantes.

Partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d'activités,
le programme A : cirque - éveil musical,
et le programme B : théâtre - arts plastiques.
À sa création en 2014, l'association compte 150 enfants qui suivent tous le programme A. Pour chacune des années suivantes, le nombre d'enfants inscrits dans l'association reste égal à $150$.
On dispose également des informations suivantes : Chaque enfant ne peut suivre qu'un seul programme: soit le programme A, soit le programme B.
D'une année à l'autre, 20% des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que 40% choisissent le programme B.
Les autres quittent l'association. D'une année à l'autre, 60% des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l'association.
Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.
On modélise le nombre d'inscrits au programme A et le nombre d'inscrits au programme B durant l'année $2014 + n$ respectivement par deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ et on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. On a donc $U_0 = \begin{pmatrix}150& 0\end{pmatrix}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n + 1} = U_n M$ où $M = \begin{pmatrix} 0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = \begin{pmatrix}75 + 75 \times 0,2^n &75 - 75 \times 0,2^n\end{pmatrix}$.
3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.

Partie B

L'association affecte à chaque enfant un numéro à 6 chiffres $c_1c_2c_3c_4c_5k$. Les deux premiers chiffres représentent l'année de naissance de l'enfant les trois suivants sont attribués à l'enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

• on effectue la somme $S = c_1 + c_3 + c_5 + a \times \left(c_2 + c_4\right)$ où $a$ est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
• on effectue la division euclidienne de $S$ par 10, le reste obtenu est la clé $k$.

Lorsqu'un employé saisit le numéro à 6 chiffres d'un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n'est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

1. Dans cette question seulement, on choisit a = 3.
   1. Le numéro 111383 peut-il être celui d'un enfant inscrit à l'association ?
   2. L'employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro 08$c_3c_4c_5k$ est transformé en $11c_3c_4c_5k$. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?
2. On note $c_1c_2c_3c_4c_5k$ le numéro d'un enfant. On cherche les valeurs de l'entier $a$ pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont intervertis. On suppose donc que les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont distincts.
   1. Montrer que la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$ si et seulement si $(a -1)\left(c_4 - c_3\right)$ est congru à 0 modulo 10.
   2. Déterminer les entiers $n$ compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier $p$ compris entre 1 et 9 tel que $np \equiv 0 \quad(10)$.
   3. En déduire les valeurs de l'entier $a$ qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l'interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$.