Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017

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Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

Partie A


À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

  • la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98.
  • la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.

À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : $A$ l' évènement: « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ; $C$ l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ». On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

  1. Montrer que $P(C) = 0,03x+ 0,95$.
  2. À l'issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

 

Partie B


Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle.
  2. Calculer $P(Z> 2)$.
  3. Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?

 

Partie C


On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d'espérance $\mu = 85$ et d'écart type $\sigma = 2$.

  1. Calculer $P(83 < X < 87)$. Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage ?
  2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: \[P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9 .\] Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  3. La chocolaterie vend un lot de  10000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7 ; 88,3]. Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère. Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?

 

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