Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Suites


Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs. On admet qu'une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

  • $u_0 > 1$,
  • pour tout $n \geqslant 0$, $u_n \geqslant 0$,
  • pour tout $n > 0$, $u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.

 

  1. On choisit $u_0 = 3$. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
  2. On veut $u_0+u_1=u_0\times u_1$
    Soit $3+u_1=3u_1$
    $\iff 3=2u_1$
    $\iff u_1=1,5$
    $\quad$
    On veut que $u_0+u_1+u_2=u_0\times u_1 \times u_2$
    Soit $3+1,5+u_2=4,5u_2$
    $\iff 4,5=3,5u_2$
    $\iff u_2=\dfrac{9}{7}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$. On a en particulier $s_1 = u_0$·
    1. Vérifier que pour tout entier $n > 0$, $s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
    2. Pour tout entier naturel $n >0$ on a :
      $\begin{align*} s_{n+1}&=u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n\\
      &=s_n+u_n
      \end{align*}$
      Par conséquent $s_{n+1}-s_n=u_n \geqslant 0$.
      La suite $\left(s_n\right)$ est donc croissante.
      On sait que $s_1=u_0>1$.
      Puisque la suite $\left(s_n\right)$ est croissante, cela signifie donc, que pour tout entier naturel $n>0$ on a $s_n \geqslant s_1$ soit $s_n > 1$.
      $\quad$
    3. En déduire que pour tout entier $n > 0$, \[u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}.\]
    4. On a
      $\begin{align*} s_{n+1}&=u_0\times u_1\times \ldots \times u_{n-1}\times u_n \\
      &=s_n \times u_n
      \end{align*}$
      Par conséquent $s_n+u_n=s_n\times u_n$
      $\iff s_n=s_n\times u_n-u_n$
      $\iff s_n=u_n\left(s_n-1\right)$
      $\iff u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}$
      $\quad$
    5. Montrer que pour tout $n \geqslant 0$, $u_n > 1$.
    6. On sait que $s_n>1$ donc $s_n-1>0$.
      Ainsi $s_n$ et $s_n-1$ sont positifs et $s_n>s_n-1$.
      Donc $u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}>1$.
      $\quad$
  4. À l'aide de l'algorithme ci-contre, on veut calculer le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
    1. Recopier et compléter la partie traitement de l'algorithme ci-dessous.
    2. Dans la partie traitement on a :
      $u$ prend la valeur $\dfrac{s}{s-1}$
      $s$ prend la valeur $s+u$
      $\quad$
    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de $u_n $pour différentes valeurs de l'entier $n$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0& 5& 10 &20 &30 &40\\ \hline u_n & 3 &1,140 &1,079 &1,043 &1,030 &1,023\\ \hline \end{array} $$ Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? $$\begin{array}{|r X|}\hline \text{Entrée }: &\text{Saisir } n \\ &\text{ Saisir } u \\ \text{Traitement }: & s \text{ prend la valeur } u \\ &\text{ Pour }i \text{ allant de } 1 \text{ à } n :\\ &\begin{array}{ |l} & u \text{ prend la valeur } \ldots\\ & s \text{ prend la valeur } \ldots\\ \end{array}\\ &\text{Fin Pour }\\ \text{Sortie} : &\text{ Afficher} U\\ \hline \end{array} $$
  5. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $1$.
    $\quad$
    1. Justifier que pour tout entier $n > 0$, $s_n > n$.
    2. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n >0$ on a $s_n>n$.
      Initialisation : On a $s_1=u_0>1$
      La propriété est vraie au rang $1$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $s_n>n$.
      On a $s_{n+1}=s_n+u_n >n+u_n>n+1$
      car d’après la question 2.c. on a $u_n>1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n>0$ on a $s_n>n$.
      $\quad$
    3. En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
    4. On sait que $\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$
      D’après le théorème de comparaison on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty$
      $\quad$
      On a
      $\begin{align*} u_n&=\dfrac{s_n}{s_n-1} \\
      &=\dfrac{s_n}{s_n\left(1-\dfrac{1}{s_n}\right)} \\
      &=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{s_n}}
      \end{align*}$
      Puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty$ cela signifie donc que $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{s_n}=0$
      Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1$
      $\quad$
Exercice 4
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