Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2017 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats


Dans tout l'exercice, les valeurs seront, si nécessaire, approchées au millième. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A


Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l'année écoulée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 2900 $euros et d'écart-type $\sigma = 1250 $ euros.

  1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l'entreprise, quelle est la probabilité que le montant du devis soit supérieur à 4000 euros ?
  2. Méthode 1:On cherche à calculer $ P(X \geqslant 4 000) $:

     

    2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    Méthode 2: On cherche à calculer
    $\begin{align*} P(X \geqslant 4~000) &= 0,5-P(2~900 \leqslant X \leqslant 4~000) \\
    & \approx 0,189
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Afin d'améliorer la rentabilité de son activité, l'entrepreneur décide de ne pas donner suite à 10 % des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimum d'un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l'euro près.
  4. On cherche la valeur de $x$ telle que $P(X \leqslant x)=0,1 $.
    D’après la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $x \approx 1~298$
    $\quad$

    2ND DISTR 2Fracnormale( \1 , \2, \3 )EXE
    Avec une calculatrice de type TI $FracNormale(\1,\2,\3) \approx \4$

    $$\Pi_{\2,\3}^{-1}(\1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\5} \text{ près.}$$

     

 

Partie B


Ce même entrepreneur décide d'installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé « dossier spam ». Le fabricant affirme que 95% des spams sont déplacés. De son côté, l'entrepreneur sait que 60% des messages qu'il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il constate que 58,6% des messages sont déplacés dans le dossier spam. Pour un message pris au hasard, on considère les évènements suivants :

  • $D$ : « le message est déplacé » ;
  • $S$ : « le message est un spam ».

 

  1. Calculer $P(S \cap D)$.
  2. On sait que $P(S)=0,6$ et $P_S(D)=0,95$.
    Par conséquent $P(S \cap D)=0,6\times 0,95=0,57$.
    $\quad$
  3. On choisit au hasard un message qui n'est pas un spam. Montrer que la probabilité qu'il soit déplacé est égale à $0,04$.
  4. On sait que $P(D)=0,586$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)=P(S\cap D)+P\left(\overline{S}\cap D\right) &\iff 0,586=0,57+P\left(\overline{S}\cap D\right) \\
    &\iff P\left(\overline{S}\cap D\right) = 0,016
    \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} P_{\overline{S}}(D)&=\dfrac{P\left(\overline{S}\cap D\right)}{P\left(\overline{S}\right)} \\
    &=\dfrac{0,016}{0,4} \\
    &=0,04
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam ?
  6. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\overline{D}}(S)&=\dfrac{P\left(\overline{D}\cap S\right)}{P\left(\overline{D}\right)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,05}{1-0,586} \\
    &\approx 0,072
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. Pour le logiciel choisi par l'entreprise, le fabricant estime que 2,7% des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l'efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés. Il trouve 13 messages fiables parmi les 231 messages déplacés pendant une semaine. Ces résultats remettent-ils en cause l'affirmation du fabricant?
  8. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

    On a $n=231 \geqslant 30$ et $p=0,027$.

    Par conséquent un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{231}&=\left[0,027-1,96\sqrt{\dfrac{0,027\times (1-0,027)}{231}};0,027+1,96\sqrt{\dfrac{0,027\times (1-0,027)}{231}}\right] \\
    &\approx [0,006;0,048]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{13}{231}\approx 0,056$.
    Par conséquent $f \notin I_{231}$.
    Ces résultats remettent donc en cause l’affirmation du fabricant.
    $\quad$
Exercice 2
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