Baccalauréat S Métropole 21 juin 2017 - Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$.
Soit $(P) $le plan d’équation cartésienne : $2x - z - 3 = 0$. On note $A$ le point de coordonnées $(1 ; a ; a^2)$, où $a$ est un nombre réel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel $a$, le point $A $ n’appartient pas au plan $(P)$.
2. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ (de paramètre noté $t$) passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(P)$.
   2. Soit $M$ un point appartenant à la droite $(D)$, associé à la valeur $t$ du paramètre dans la représentation paramétrique précédente. Exprimer la distance $AM$ en fonction du réel $t$.
   On note $H$ le point d’intersection du plan $(P)$ et de la droite $(D)$ orthogonale à $(P)$ et passant par le point $A$. Le point $H$ est appelé le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(P)$, et la distance $AH$ est appelée distance du point $A$ au plan $(P)$.
   
3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance $AH$ du point A de coordonnées $(1 ; a ; a^2)$ au plan $(P)$ est minimale ? Justifier la réponse.